[PDF] Chapitre 12 : Polynômes

Racines d’un polynˆome

Exercice 3 3 Soit A un polynome non constant de K[X] Montrer que si a1,···,ap sont des racines de A d’ordres respectifs k1,···,kp alors A est divisible par (Xa1)k1 ···(Xap)kp En d´eduire qu’un polynome non nul de degr´e n de K[X] a au plus n racines (compt´ees avec multiplicit´e)

1 Fonctions polynôme de degré 2

2 4 Somme et produit des racines d’un trinôme Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur Rpar f(x) = ax2 +bx+c, avec a 6= 0 Si f admet les réels x1 et x2 pour racines, alors : • La somme des racines est : s = x1+x2 = − b a; • Le produit des racines est : p = x1×x2 = c a Propriété 5 Remarque 3

Formule de Taylor - Claude Bernard University Lyon 1

Racines d'un polynôme 2 Formule de ayloTr pour un polynôme Dérivées successives Énoncé Exemple 3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C Somme et produit des racines Factorisation sur R Théorème de Rolle et polynômes 5 Formule de ayloTr-Lagrange Énoncé Conséquences Applications 6 Compléments

Chapitre 12 : Polynômes

Remarque 2 Les propriétés énoncées pour la somme de polynômes et pour le cas particulier du produit que sont les produits de polynômes par des constantes font de K[X] ce qu’on appelle un espace vectoriel sur K Vous aurez bien sûr droit à une définition complète (et affreuse) dans un

Polynômes

somme des produits des coefficients devant xk et xn−k correspond au coefficient devant xn Propriété : La somme et le produit de deux polynômes sont des lois internes car les suites des coefficients (a i +b i) i∈N et (cn) n∈N ont tous leurs termes nuls à partir d’un certain rang Démonstration : Soit m =max(d P, d Q) • Si i >m

1 Les polynômes

3 Un monôme est un polynôme dont au plus un des coefficients est non nul 4 Un polynôme est unitaire si son coefficient adeg(P) de plus haut degré est égal à 1 5 La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d’un polynôme par un

Polynômes scindés - maquisdoc

des polynômes scindés Un polynôme est scindé si et seulement si la somme des multiplicitésde ses racines est égale à son degré Le développement du produit conduit aux elationsr entre e cientsoc et acinesr qui sont traitées dans la sous-section suivante après la dé nition des olynômesp symétriques élémentaires

I - L’anneau des polynômes - Free

De plus, la somme des multiplicités des racines est inférieure ou égale au degré du polynôme Exercice 6 Démontrer que X2 +X +1 divise X311 +X82 +X15 Corollaire 14 Un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui admet n+1 racines est nul En particulier, un polynôme qui admet une infinité de racines est nul

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Chapitre 3Les polynˆomes

Dans tout ce chapitreKd´esigne les corps1Q,RouC.

3.1 D´efinition

Je soup¸conne que tout lecteur de ce cours a d´ej`a une id´ee de ce qu"est un polynˆome. Il

a notamment fr´equent´e l"??ind´etermin´ee??Xsans que cela ne lui pose de probl`eme. Mais s"est-il

demand´e si on lui a un jour d´efini proprement cette ind´etermin´ee? Je vais m"attacher ici `a fournir

une d´efinition??propre??de l"ind´etermin´eeX. Cela va me conduire `a tomber dans un des travers

du matheux de base : je vais ˆetre, dans un premier temps, un peuformel. I am so sorry!

3.1.1 D´efinition de l"anneau des polynˆomes

D´efinition 3.1Un polynˆome `a coefficients dansKest une suite d"´el´ements deKnulles `a partir

d"un certain rang. On munit maintenant l"ensemble des polynˆomes de trois lois: ?La somme : (a0,a1,a2,...) + (b0,b1,b2,...)d´ef.= (a0+b0,a1+b1,a2+b2,...). ?Le produit : (a0,a1,a2,...)×(b0,b1,b2,...)d´ef.= (c0,c1,c2,...), avec : ?n?0, cnd´ef.=n? k=0a kbn-k. ?Le produit par un scalaire :pour toutλ?K: λ×(a0,a1,a2,...)d´ef.= (λa0,λa1,λa2,...).

1Je n"ai pas d´efini ce qu"est un corps et je ne le ferai pas. Vouspouvez cependant retenir que c"est un ensemble

dans lequel on sait ajouter, multiplier et tel que tout ´el´ement non nul est inversible. 41

42CHAPITRE 3. LES POLYNˆOMES

Il est facile de v´erifier que le r´esultat de toutes ces op´erations sont bien des polynˆomes (i.e.

des suites qui stationnent en z´ero `a partir d"un certain rang) ainsi que les formules :

P+ (0,0,0,...) =P, P+Q=Q+P, P+ (Q+R) = (P+Q) +R,

(c0,c1,c2,...) + (-c0,-c1,-c2,...) = (0,0,0,...), P×(1,0,0,0,...) =P, P×Q=Q×P,(P×Q)×R=P×(Q×R),

P×(Q+R) =P×Q+P×R.

ceci quels que soient les polynˆomesP,Q,R.

Remarque- Ces propri´et´es font de l"ensemble des polynˆomes muni des deux premi`eres lois un

anneau commutatif unitaire.

3.1.2 Vite, vite, la repr´esentation usuelle des polynˆomes

On a coutume - et bien raison - d"identifier le polynˆome (c0,0,0,0,...) (c0?K) `a

l"´el´ementc0deK; on le note donc simplementc0. Par exemple le polynˆome (1,0,0,...) est iden-

tifi´e `a 1. Quant au polynˆome (0,1,0,0,...), on le note souventXet on l"appellel"ind´etermin´eeX.

Cette ind´etermin´ee joue un rˆole tr`es important. Les formules de multiplication appliqu´ees aux

puissances de cette ind´etermin´ee permettent de montrer que : (0,0,1,0,0,...) = (0,1,0,0,...)2,(0,0,0,1,0,0,...) = (0,1,0,0,...)3,... si bien que : - le polynˆome (0,0,1,0,0,...) se noteX2, - le polynˆome (0,0,0,1,0,0,...) se noteX3, - etc... Pour finir, on remarque encore que tout polynˆome s"´ecrit : (c0,c1,c2,...,cd,0,0,...) =c0×(1,0,0,0,...) +c1×(0,1,0,0,0,...)+ c

2×(0,0,1,0,0,0,...) +···+cd×(0,...,0,1,0,0,0,...)

le 1 `a la (d+ 1)-`eme place si bien que : - le polynˆome (c0,c1,c2,...,cd,0,0,...) se notec0+c1X+c2X2+···+cdXd. Nous revoil`a en terrain connu, n"est-ce pas? Histoire d"encore plus revenir aux traditions, on notera, `a partir de maintenant, l"ensemble des polynˆomesparK[X].

3.1.3 Terminologie et premi`eres propri´et´es

Le fait qu"un polynˆome soit une suite d"´el´ements deKnulle `a partir d"un certain rang permet

de d´efinir : D´efinition 3.2SoitP=c0+c1X+c2X2+···+cd-1Xd-1+cdXd)un polynˆome non nul o`ucd est le dernier terme non nul de la suite. L"entierd?Ns"appelle ledegr´edePet se notedeg(P).

Quant au polynˆome nul (i.e. la suite nulle(0,0,0,...)), on lui affecte le degr´e-∞avec les

conventions-∞+d=-∞et-∞< dquel que soitd?N.

3.1. D´EFINITION43

Les polynˆomes de degr´e z´ero sont ditsconstants, ceux de la formecdXd(aveccd?K)

s"appellent desmonˆomes. On identifie les polynˆomesconstantsaux ´el´ements deKeux mˆemes.

Enfin, encore un petit peu de vocabulaire :

D´efinition 3.3SoitP=c0+c1X+c2X2+···+cdXdun polynˆome de degr´ed. - Les ´el´ementsci?Ks"appellent lescoefficientsdu polynˆomeP. - Le coefficientc0(respectivementcd) s"appelle le coefficientconstant(respectivementdom- inant) deP. - Si le coefficient dominant vaut1(i.e. sicd= 1) le polynˆomePest ditunitaire.

Les degr´es de la somme et du produit de deux polynˆomes s"expriment en fonction des degr´es

des polynˆomes de d´epart. Propri´et´e 3.4SoitP,Q?K[X]deux polynˆomes. On a : deg(P+Q)?max{deg(P),deg(Q)},etdeg(P×Q) = deg(P) + deg(Q), avec ´egalit´e dans la premi`ere in´egalit´e sideg(P)?= deg(Q).

Preuve -Introduisons les coefficients dePetQ:

P=a0+a1X+a2X2+···+amXm, Q=b0+b1X+b2X2+···+bnXn, et supposons par exemplem?n.

Alors la somme s"´ecrit :

P+Q= [(a0+b0) + (a1+b1)X+···+ (am+bm)Xm] +?bm+1Xm+1+···+bnXn?. Le deuxi`eme terme de cette somme est nul (ne contient aucun ´el´ement) sim=n. En tout ´etat de cause, on voit bien que deg(P+Q)?n= max{deg(P),deg(Q)}. Notons que le degr´e peut ˆetre strictement inf´erieur `a ce maximum dans le cas o`um=net o`uam=-bm(par exempleP=X2+X+ 1 etQ=-X2+X+ 2).

Quant au produit, il v´erifie :

P×Q=ambnXm+n+ [des termes de degr´e< m+n],

si bien que son degr´e est bienm+n.? Un polynˆomeP?K[X] est dit inversible s"il existeQ?K[X] tel quePQ= 1 (dansZ seuls±1 sont inversibles).

Corollaire 3.5Les polynˆomes inversibles sont les polynˆomes constants non nuls (i.e. de degr´e

z´ero) que l"on a identifi´es aux ´el´ements non nuls deKeux-mˆemes. Preuve -SoitP?K[X] inversible, alors il existeQ?K[X] tel quePQ= 1. Remarquons que niPniQne peuvent ˆetre nuls. En prenant les degr´es, on obtient deg(PQ) = deg(P)+deg(Q) = deg(1) = 0. Comme deg(P) et deg(Q) sont des entiers naturels et que leur somme vaut z´ero, n´ecessairement deg(P) = deg(Q) = 0.?

44CHAPITRE 3. LES POLYNˆOMES

3.2 Arithm´etique des polynˆomes

Dans cette section, on va voir que tous les r´esultats vus au chapitre 2 sur l"arithm´etique des

entiers peuvent s"adapter au cadre des polynˆomes. Nous ne donnerons pas les preuves de tous les

r´esultats´enonc´es ´etant donn´e qu"il suffit d"adapter celles vues dans le cadre des entiers. Cependant

un excellent exercice consiste `a reprendre seul ces preuves dans le cadre des polynˆomes.

3.2.1 Division et division euclidienne

D´efinition 3.6SoitAetBdeux polynˆomes deK[X]. On dit queAdiviseB, ou queAest un diviseur deB, ou queBest un multiple deA, s"il existeQ?K[X]tel queB=A×Q. Remarque- Quand on parle de divisibilit´e, il convient de pr´eciser le contexte. Par exemple,

l"entier 2 ne divise pas l"entier 3 dansZ. En revanche, le polynˆome constant 2 divise bel et bien le

polynˆome constant 3 dansR[X] car 3 = 2×3

2et on a bien32?R[X].

L"analogue de la propri´et´e 2.2 reste valide; son ´enonc´eet sa preuve sont laiss´es au lecteur.

Quant `a la proposition 2.3, elle s"´enonce ainsi dans le cadre des polynˆomes : Proposition 3.7(i) Les diviseurs d"un polynˆomeBnon nulsont tous de degr´e plus petit que celui deB; autrement dit : ?A,B?K[X]?, A|B=?deg(A)?deg(B).

(ii) Z´ero est le seul polynˆome divisible par des polynˆomes de degr´e plus grand que le sien, c"est-

`a-dire : ?A,B?K[X],[A|Betdeg(A)>deg(B)] =?B= 0. Enfin, et c"est la ressemblance la plus importante entre entiers et polynˆomes, on dispose d"une division euclidienne entre polynˆomes : Th´eor`eme 3.8 (Division euclidienne polynomiale)SoitAetBdeux polynˆomes deK[X], le polynˆomeA´etant suppos´e non nul. Il existe(Q,R)unique tel que :

B=AQ+Retdeg(R)

Preuve -On commence par noter :

A=a0+a1X+···+amXmetB=b0+b1X+···+bnXn avecm= deg(A) etn= deg(B). On se d´ebarrasse du casB= 0 en remarquant queB= 0×A+0 avec-∞= deg(0)3.2. ARITHM´ETIQUE DES POLYNˆOMES45

Cas initial.Si deg(B) = 0 c"est-`a-direB=b0alors on distingue deux cas. Ou bien deg(A)?1 auquel cas l"´ecritureB=A×0+b0permet de conclure. Ou bien on a aussi deg(A) = 0, c"est-`a- direA=a0n´ecessairement non nul,Al"´etant. Alors l"´ecritureB=b0=A×b0 a0+ 0 permet de conclure (rappel deg(0) =-∞<0 = deg(A)). Hypoth`ese de r´ecurrence.On suppose que pour tout polynˆomeBtel que deg(B)< n (n?N?fix´e) et pour tout polynˆomeAnon nul, il existeQ,R?K[X] tels queB=AQ+R avec deg(R) n= deg(B) alors l"´ecritureB=A×0+B permet de conclure. Sinon (i.e.n?m) on est en mesure de d´efinir un polynˆomeCvia :

C=B-bn

amXn-mA. Par construction il satisfait deg(C)B=A?bn amXn-m+Q? +R, ce qui permet de conclure.? Voici un petit exemple de division euclidienne o`u l"on divise le polynˆomeX4+ 2X2+X-1 par le polynˆomeX2-3X+ 1 : X

4+2X2+X-1

X2-3X+1

X4-3X3+X2X2+3X+10

3X3+X2+X-1

3X3-9X2+3X

10X2-2X-1

10X2-30X+10

28X-11

On trouve donc pour quotientX2+ 3X+ 10 et pour reste 28X-11. On relie encore la division euclidienne `a la divisibilit´evia : Propri´et´e 3.9Pour qu"un polynˆomeA?K[X]non nul divise un autre polynˆomeB?K[X], il faut et il suffit que le reste de la division euclidienne deBparAsoit nul. Preuve -Effectuons la division euclidienne deBparAen ´ecrivantB=AQ+Ravec deg(R)< deg(A).

SiR= 0, on aB=AQ, c"est-`a-direA|B.

R´eciproquement, siA|Balors il existeP?K[X] tel queB=AP. En r´e-injectant dans l"´egalit´e de d´epart, on obtientAP=AQ+Rou encoreA(P-Q) =Rou encoreA|R. Comme deg(R)46CHAPITRE 3. LES POLYNˆOMES

3.2.2pgcdetppcmde polynˆomes

Si on regarde bien le chapitre 2 dans le blanc des yeux, on s"aper¸coit que le th´eor`eme qui sert

de pierre d"achoppement `a tout l"´edifice est le th´eor`eme2.6. Voici la version polynomiale de ce

r´esultat. Th´eor`eme 3.10SoitAetBdeux polynˆomes deK[X]. Il existe un diviseur communD`aA etBde la forme :

D=AU+BV,

avecU,V?K[X]. Preuve -On se d´ebarrasse tout d"abord des casA= 0 ouB= 0 en remarquant que, dans ces

cas, la combinaisonA×1 +B×1 satisfait ce que l"on veut.`A partir de maintenant, on supposeA?= 0 etB?= 0. Comme pour la preuve du th´eor`eme 2.6,

on raisonne par r´ecurrence sur l"entierN= deg(A) + deg(B) cette fois. On note : A=a0+a1X+···+amXmetB=b0+b1X+···+bnXn avecm= deg(A) etn= deg(B). Si deg(A)+deg(B) = 0, cela veut dire que les deux polynˆomesAetBsont de degr´e nul donc

constants (non nuls) ´egaux respectivement `aa0etb0. Bien sˆur 1 les divise tous les deux et on a

par exemple 1 =a0×1 a0+b0×0. Supposons le th´eor`eme vrai pour tous les couples de polynˆomes (A,B) tels que deg(A) + deg(B)?N. Consid´eronsA,B?K[X] tel que deg(A) + deg(B) =N+ 1. Quitte `a ´echanger les rˆoles entreAetB, on peut supposer que deg(B)?deg(A). Le polynˆomeCd´efini par :

C=B-bn

amXdeg(B)-deg(A)A(3.1) v´erifie deg(C)De plus on a :

D=AU+?

B-bn amXdeg(B)-deg(A)A? V=A?

U-bnamXdeg(B)-deg(A)V?

+BV, ce que l"on voulait.? Comme dans le cadre des entiers, ce r´esultat permet de mettre un coup de projecteur sur un certain diviseur commun `a deux polynˆomes : Corollaire 3.11´Etant donn´es deux polynˆomesAetB?K[X]il existe un unique polynˆomeD v´erifiant les trois propri´et´es : (i) le polynˆomeDest unitaire; (ii) le polynˆomeDest un diviseur commun `aAetB(D|AetD|B);

3.2. ARITHM´ETIQUE DES POLYNˆOMES47

(iii) tout diviseur commun `aAetBdiviseD(D?|AetD?|BimpliqueD?|D). Comme dans le cadre des entiers, ce diviseur commun s"appelle le pgcd.

D´efinition 3.12

´Etant donn´es deux polynˆomesAetB?K[X], l"unique polynˆome du corollaire pr´ec´edent s"appelle leplus grand commun diviseur(en abr´eg´epgcd) deAetB; on le notepgcd(A,B).

Les formules contenues dans la propri´et´e 2.10 restent d"actualit´e. De mˆeme, l"algorithme

d"Euclide reprend du service pour calculer le pgcd de deux polynˆomes. En effet, partant de deux polynˆomesAetB?K[X], on peut calculer la suite des restes obtenus par divisionseuclidiennes successives : R

0→R1→R2→ ··· →Rn→ ···

o`u on a pos´eR0=A,R1=Bet d´efiniRi+1comme le reste par la division euclidienne deRi-1 parRipouri?1. Alors on a : deg(R1)>deg(R2)>···>deg(Rn)>···

mais les degr´es ´etant des entiers ou-∞, cette suite de degr´es finit forc´ement par atteindre la

valeur-∞. Autrement dit les restes finissent parˆetre nuls. Comme pour les entiers, on montre que

le dernier reste non nul est forc´ement le pgcd deAetB(ici `a une constante multiplicativeλ?K pr`es).

3.2.3 Polynˆomes premiers entre eux

Les polynˆomes constant (non nuls) divisent tous les polynˆomes. Deux polynˆomesAetBqui

n"ont que les polynˆomes constants (non nuls) comme diviseurs communs v´erifient pgcd(A,B) = 1.

Comme dans les entiers, on d´efinit :

D´efinition 3.13Deux polynˆomesAetBsont ditspremiers entre eux(ou ´etrangers) si leur pgcd est ´egal `a1.

Comme pour les entiers, les polynˆomes premiers entre eux sont caract´eris´es par la propri´et´e

suivante : Th´eor`eme 3.14 (de Bezout pour les polynˆomes)Deux polynˆomesAetB?K[X]sont premiers entre eux si et seulement s"il existeU,V?K[X]tels que :

1 =AU+BV.

De ce th´eor`eme d´ecoulent les versions polynomiales des corollaires du th´eor`eme de Bezout

pour les entiers. Je ne donne que les ´enonc´es, laissant au lecteur le soin de retranscrire les

d´emonstrations dans le cadre polynomial.

48CHAPITRE 3. LES POLYNˆOMES

Lemme 3.15 (de Gauss polynomial)SoientA,B,C?K[X]trois polynˆomes. SiAest pre- mier avecBet s"il diviseBCalors il diviseC. Corollaire 3.16SoientA1,A2,B?K[X]trois polynˆomes tels queA1etA2sont premiers entre eux. SiA1etA2divisentBalorsBest divisible par le produitA1A2. Corollaire 3.17SoientA1,...,Ar,B?K[X]des polynˆomes (r?1) tels queA1,...,Arsont premiers entre eux deux-`a-deux. Si tous les polynˆomesAi(1?i?r) divisentBalorsBest divisible par le produitA1× ··· ×Ar. Corollaire 3.18SoientA,B1,B2?K[X]des polynˆomes. SiAest premier avecB1etB2alors il est premier avec le produitB1B2. Corollaire 3.19SoientA,B1,...,Br?K[X]des polynˆomes. SiAest premier avec chacun desBi(1?i?r) alors il est premier avec le produitB1× ··· ×Br.

3.3 Racines de polynˆomes

La v´eritable sp´ecificit´e des polynˆomes par rapport aux entiers est la notion de racines sur

laquelle nous nous attardons dans cette section.

3.3.1 Fonction polynomiale

A tout polynˆomeP(X) =c0+c1X+···+cdXd?K[X] on peut associer une fonction, not´ee ?P, et d´efinie par :

P:K-→K

x?-→c0+c1x+···+cdxd.

On dit que

?Pest lafonction polynomialeassoci´ee au polynˆomeP. Cette distinction peut

paraˆıtre inutile et un peu obscure. Pourtant elle ne l"est point : il faut bien comprendre qu"un

polynˆome n"est pas une fonction et qu"une fonction n"est pas un polynˆome. N´eanmoins je dois bien

reconnaˆıtre que cette distinction prend tout son sens sur des corps des scalaires autres queQ,R

ouC. Sachez simplement que sur certains corps, deux polynˆomesdistincts peuvent avoir la mˆeme fonction polynomiale; par exemple un polynˆome non nul peutavoir une fonction polynomiale

identiquement nulle. Rassurez vous, ce genre de m´esaventure ne vous arrivera pas cette ann´ee.

Cela ´etant, pourx0?K, l"image dex0par la fonction?P, i.e.?P(x0), s"appelle lavaleurdu polynˆomePenx0. On dit quePs"annule enx0si?P(x0) = 0. En toute rigueur, il faudrait que je distingue le polynˆome de sa fonction polynomiale. Je ne le ferai pas pour ´eviter les lourdeurs. Aussi noterai-jeP(x0) la valeur dePenx0et non plus?P(x0).

3.3. RACINES DE POLYNˆOMES49

3.3.2 Racine??simple??

D´efinition 3.20Un scalairer?Kest ditracineouz´erod"un polynˆomeP?K[X]si et seulement siPs"annule enr, i.e.P(r) = 0. Proposition 3.21SoitP?K[X]etr?K. Le reste de la division euclidienne dePparX-r n"est rien d"autre queP(r)la valeur dePenr. Preuve -D"apr`es le th´eor`eme 3.8, il existe un unique couple (Q,R)?K[X]2tel queP(X) = (X-r)Q(X) +R(X) avec deg(R)P(r) = (r-r)Q(r) +R(r) =R(r) =R. On vient bien de montrer que le reste est le polynˆome constant ´egal `aP(r).? Corollaire 3.22SoitP?K[X]. Un ´el´ementr?Kest racine dePsi et seulement siX-r diviseP.

Preuve -Compte tenu de la proposition pr´ec´edente,P(r) est le reste par la division euclidienne

dePparX-r. D"autre part, grˆace `a la propri´et´e 3.9, on sait que (X-r) divisePsi et seulement

si le reste de la division euclidienne dePpar (X-r) est nul. Ici c"est donc ´equivalent au fait queP(r) = 0.? Ce corollaire admet une g´en´eralisation souvent utile; lavoici. Proposition 3.23Soitr1,...,rn?Kdes scalaires deux-`a-deux distincts et soitP?K[X]un

polynˆome. Sir1,...,rnsont des racines dePalors le produit(X-r1)×···×(X-rn)diviseP.

Preuve -D"apr`es le corollaire pr´ec´edent, puisquer1,...,rnsont des racines deP, tous les polynˆomesX-ri(1?i?n) divisentP. Comme de plus les polynˆomesX-risont premiers

entre eux deux-`a-deux (cf. exercice 20), grˆace `a la version polynomiale du corollaire 2.30, on en

d´eduit que le produit (X-r1)× ··· ×(X-rn) diviseP.?

Ces consid´erations permettent de reconnaˆıtre le polynˆome nul car c"est le seul v´erifiant la

proposition suivante.

Proposition 3.24Un polynˆome qui admet strictement plus de racines que son degr´e est n´ecessairement

nul. Preuve -NotonsPle polynˆome en question,dson degr´e etr1,...,rndes racines deux-`a-deux distinctes avecn?N?. On suppose donc quen > d. Compte tenu de la proposition 3.23, on sait que le produit (X-r1)···(X-rn) de degr´en, divisePde degr´ed. Commen > d, il s"ensuit quePest nul comme nous l"apprend la proposition 3.7.? Dans le mˆeme genre d"id´ees, le polynˆome nul se distingue des autres car : Corollaire 3.25Le polynˆome nul est le seul polynˆome qui admette une infinit´e de racines.

50CHAPITRE 3. LES POLYNˆOMES

3.3.3 Polynˆome d´eriv´e, Taylor et Multiplicit´e

SoitP(X) =c0+c1X+···+cdXdun polynˆome de degr´ed. On d´efinit le polynˆome d´eriv´e,

not´eP?ouP(1), par : P ?(X) =c1+ 2c2X+···+ (d-1)cd-1Xd-2+dcdXd-1. On propage cette d´efinition en posantP(i)(X) = (P(i-1)(X))?pouri?1, si bien queP(2)= (P?)? etc...

Bien entendu, la fonction polynomiale associ´ee au polynˆome d´eriv´eP?n"est rien d"autre que

la d´eriv´ee de la fonction polynomiale associ´ee `aP, d"o`u la terminologie. Enfin on retrouve toutes

les formules bien connues de d´erivation : (P+Q)?=P?+Q?,(λP)?=λP?,(PQ)?=PQ?+P?Q, pour tousP,Q?K[X] et toutλ?K. Nous pouvons maintenant donner la formule de Taylor

2. La version donn´ee ici est la restric-

tion aux polynˆomes d"un des th´eor`emes d"analyse les plusimportants. Vous reverrez, dans l"UE

??Analyse S2??, ce th´eor`eme dans toute sa g´en´eralit´e. Th´eor`eme 3.26 (Formule de Taylor)SoitP?K[X]un polynˆome de degr´edetx0?Kun scalaire. On a l"´egalit´e polynomiale :

P(X) =P(x0)+P?(x0)(X-x0)+P(2)(x0)

2!(X-x0)2+P(3)(x0)3!(X-x0)3+···+P(d)(x0)d!(X-x0)d.

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