[PDF] Polynômes

Racines d’un polynˆome

Exercice 3 3 Soit A un polynome non constant de K[X] Montrer que si a1,···,ap sont des racines de A d’ordres respectifs k1,···,kp alors A est divisible par (Xa1)k1 ···(Xap)kp En d´eduire qu’un polynome non nul de degr´e n de K[X] a au plus n racines (compt´ees avec multiplicit´e)

1 Fonctions polynôme de degré 2

2 4 Somme et produit des racines d’un trinôme Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur Rpar f(x) = ax2 +bx+c, avec a 6= 0 Si f admet les réels x1 et x2 pour racines, alors : • La somme des racines est : s = x1+x2 = − b a; • Le produit des racines est : p = x1×x2 = c a Propriété 5 Remarque 3

Formule de Taylor - Claude Bernard University Lyon 1

Racines d'un polynôme 2 Formule de ayloTr pour un polynôme Dérivées successives Énoncé Exemple 3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C Somme et produit des racines Factorisation sur R Théorème de Rolle et polynômes 5 Formule de ayloTr-Lagrange Énoncé Conséquences Applications 6 Compléments

Chapitre 12 : Polynômes

Remarque 2 Les propriétés énoncées pour la somme de polynômes et pour le cas particulier du produit que sont les produits de polynômes par des constantes font de K[X] ce qu’on appelle un espace vectoriel sur K Vous aurez bien sûr droit à une définition complète (et affreuse) dans un

Polynômes

somme des produits des coefficients devant xk et xn−k correspond au coefficient devant xn Propriété : La somme et le produit de deux polynômes sont des lois internes car les suites des coefficients (a i +b i) i∈N et (cn) n∈N ont tous leurs termes nuls à partir d’un certain rang Démonstration : Soit m =max(d P, d Q) • Si i >m

1 Les polynômes

3 Un monôme est un polynôme dont au plus un des coefficients est non nul 4 Un polynôme est unitaire si son coefficient adeg(P) de plus haut degré est égal à 1 5 La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d’un polynôme par un

Polynômes scindés - maquisdoc

des polynômes scindés Un polynôme est scindé si et seulement si la somme des multiplicitésde ses racines est égale à son degré Le développement du produit conduit aux elationsr entre e cientsoc et acinesr qui sont traitées dans la sous-section suivante après la dé nition des olynômesp symétriques élémentaires

I - L’anneau des polynômes - Free

De plus, la somme des multiplicités des racines est inférieure ou égale au degré du polynôme Exercice 6 Démontrer que X2 +X +1 divise X311 +X82 +X15 Corollaire 14 Un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui admet n+1 racines est nul En particulier, un polynôme qui admet une infinité de racines est nul

COLLE 20 Mathématiques