Pascal Lainé Ensembles-Applications

id est l’application identité déﬁnie par id(x)= x pour tout x 2[0;1] Donc f f =id signiﬁe f f(c)= x pour tout x 2[0;1] Indication pourl’exercice3 N Montrer que f est injective et surjective Indication pourl’exercice4 N 1 f est injective mais pas surjective 2 g est bijective 3 h aussi 4 k est injective mais par surjective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

2 L’application :ℕ3→ℕ:( , , )↦ᖋ ᖌ ᖎ est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ℕ∖{ᖉ,ᖊ} L’application ????:ℤ→ℕqui à l’entier ∈ℤ associe le reste de la division

TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives

Exercice 5 : Soient trois ensembles A, Bet Cet deux applications f: ABet g: BC Montrer que 1 Si fet gsont bijectives alors g fest bijective et (g f) 1 = f 1 g 1 2 Si g fest injective alors fest injective 3 Si g fest surjective alors gest surjective Exercice 6 : 1 Montrer que toute application de R dans R strictement monotone est injective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 }Soit ∈ℕ∖{0,1 L’application ????:ℤ→ℕ qui à l’entier ∈ℤassocie le reste de la division euclidienne de par est une application 4

Exercice n 1

Exercice n 10 Soient f une application de E dans F, g une application de F dans G et h = g f 1) Montrer que si h est injective, f l’est aussi et que si h est surjective, g l’est aussi 2) Montrer que si h est surjective et g injective, alors f est surjective 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective

Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct

Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modiﬁer pour qu’elle devienne bijective? Solution: Elle est injective car p x1 ˘ p x2)x1 ˘x2 Elle n’est pas surjective car Im f ˘R¯ et non pas R, donc elle n’est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f: R¯R¯ ExerciceII 4Ch2-Exercice4

Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le

L’application ci-dessous, n’est pas surjective : M0 4 n’a pas d’ant ec edent L’application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l’ensemble d’arriv ee on au moins un ant ec edent dans l’ensemble de d epart 1 1 2 Applications injectives On dit que f est injective, si pour tout point M0de Pil existe

TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles

5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque 1 f : R2 → R2 (x,y) → (x +y,x−y) 2 g :

Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse

Comme g est bijective, elle admet une application réciproqueg−1: G →F,quiestelleaussibijective Maisalors,l’application g−1 (g f) est bijective, car elle est la composée de deux bijections D’autre part, le produit de composition étantassociatif,nousavons g−1 (g f) = (g−1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8

Ensembles et applications

(c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB (d) Montrer que si f: ABest injective et que CardA CardB, alors fest bijective (e) Montrer que si g: ABest surjective et que CardA CardB, alors gest bijective Exercice 10 (ensembles in nis)

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Injection, surjection, bijection

Pascal Lainé Ensembles-Applications

TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives

Pascal Lainé Ensembles-Applications

Exercice n 1

Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct

Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le

TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles

Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse

Ensembles et applications