Exercice n 1

id est l’application identité déﬁnie par id(x)= x pour tout x 2[0;1] Donc f f =id signiﬁe f f(c)= x pour tout x 2[0;1] Indication pourl’exercice3 N Montrer que f est injective et surjective Indication pourl’exercice4 N 1 f est injective mais pas surjective 2 g est bijective 3 h aussi 4 k est injective mais par surjective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

2 L’application :ℕ3→ℕ:( , , )↦ᖋ ᖌ ᖎ est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ℕ∖{ᖉ,ᖊ} L’application ????:ℤ→ℕqui à l’entier ∈ℤ associe le reste de la division

TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives

Exercice 5 : Soient trois ensembles A, Bet Cet deux applications f: ABet g: BC Montrer que 1 Si fet gsont bijectives alors g fest bijective et (g f) 1 = f 1 g 1 2 Si g fest injective alors fest injective 3 Si g fest surjective alors gest surjective Exercice 6 : 1 Montrer que toute application de R dans R strictement monotone est injective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 }Soit ∈ℕ∖{0,1 L’application ????:ℤ→ℕ qui à l’entier ∈ℤassocie le reste de la division euclidienne de par est une application 4

Exercice n 1

Exercice n 10 Soient f une application de E dans F, g une application de F dans G et h = g f 1) Montrer que si h est injective, f l’est aussi et que si h est surjective, g l’est aussi 2) Montrer que si h est surjective et g injective, alors f est surjective 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective

Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct

Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modiﬁer pour qu’elle devienne bijective? Solution: Elle est injective car p x1 ˘ p x2)x1 ˘x2 Elle n’est pas surjective car Im f ˘R¯ et non pas R, donc elle n’est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f: R¯R¯ ExerciceII 4Ch2-Exercice4

Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le

L’application ci-dessous, n’est pas surjective : M0 4 n’a pas d’ant ec edent L’application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l’ensemble d’arriv ee on au moins un ant ec edent dans l’ensemble de d epart 1 1 2 Applications injectives On dit que f est injective, si pour tout point M0de Pil existe

TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles

5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque 1 f : R2 → R2 (x,y) → (x +y,x−y) 2 g :

Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse

Comme g est bijective, elle admet une application réciproqueg−1: G →F,quiestelleaussibijective Maisalors,l’application g−1 (g f) est bijective, car elle est la composée de deux bijections D’autre part, le produit de composition étantassociatif,nousavons g−1 (g f) = (g−1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8

Ensembles et applications

(c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB (d) Montrer que si f: ABest injective et que CardA CardB, alors fest bijective (e) Montrer que si g: ABest surjective et que CardA CardB, alors gest bijective Exercice 10 (ensembles in nis)

Universit´e de Rennes 1Licence 1`ere ann´ee

UFR Math´ematiquesmodule A04

Feuille de TD n

◦5Ann´ee????-???? Compr ehension de la notion d"applications

Exercice n◦1

D´eterminer toutes les applicationshdeE={0,1,2,3,4}dans lui-mˆeme telles que pour tout xet toutydeE, on aith(x+y) =h(x) +h(y).

Exercice n◦2

On noteEl"ensemble des applications deRdansR. SoitA={f?E;f(3) = 2f(1)}.

1)L"applicationg:x?→x2appartient-elle `aA? Mˆeme question pourh:x?→x+ 1.

2)A quelle condition suraetb, l"applicationf:x?→ax+bappartient-elle `aA?

Exercice n◦3

On noteEl"ensemble des applications deRdansRv´erifiant la propri´et´e : ?x?R, f(2x) =f(x).

1)Les applications d´efinies ci-dessous appartiennent-elles `aA?

a)fest une application constante b)f:x?→3x-1 c)f:?0?→0 x?→1 six?= 0 d)f:?1?→0 x?→1 six?= 1

2)On suppose quefappartient `aA.

a)D´emontrer que :?t?R,f(4t) =f(t). b)D´emontrer que :?x?R,?n?N,f?x 2n? =f(x).

Composition d"applications

Exercice n◦4

Soit l"application d´efinie surRparf(x) =x-4 etgl"application d´efinie sur [1,+∞[ par g(x) =⎷ x-1. D´eterminerf◦getg◦f.

Exercice n◦5

On d´efinit deux fonctionsfetgsur [0,1] `a valeurs dans [0,1] par f(x) =?1/2-xsix?[0,1/2[

0 sinong(x) =?0 six?[0,1/2[

x-1/2 sinon D´eterminerf◦getg◦f. Ces applications sont-elles ´egales?

Exercice n◦6

On d´efinit deux applicationsfetgde [0,1] dansRpar f(x) =?3xsix?[0,1/3]

1 sinong(x) =?0 six?[0,2/3]

3x-2 sinon

D´eterminerf◦getg◦f. Ces applications sont-elles ´egales? Trouver un sous-ensemble de

[0,1] sur lequelf◦getg◦font les mˆemes restrictions.

Injection - Surjection - Bijection

Exercice n◦7

Donner des fonctions r´eciproques des fonctions suivantes, en pr´ecisant le domaine de d´efinition

1)f1(x) =⎷

x-1

3-2xsix >1

Exercice n◦8

Soitfl"application deRdans ]-1,1[ d´efinie parf(x) =x/(1+|x|).Montrer quefest bien d´efinie, qu"elle est bijective et d´eterminer sa fonction r´eciproquef-1.

Exercice n◦9

Soit l"applicationf:??R\ {1} →R

x?→2x+ 5 x-1·

1)L"applicationfest-elle surjective? Est-elle injective?

2)Montrer qu"il existe un sous-ensembleFdeRet une bijectiongdeR\ {1}surFtels

queg(x) =f(x) pour toutxdeR\ {1}. D´eterminerg-1.

Exercice n◦10

Soientfune application deEdansF,gune application deFdansGeth=g◦f.

1)Montrer que sihest injective,fl"est aussi et que sihest surjective,gl"est aussi.

2)Montrer que sihest surjective etginjective, alorsfest surjective.

3)Montrer que sihest injective etfsurjective alorsgest injective.

Exercice n◦11

Soient un ensembleEetfune application deEdansE.

On d´efinit par r´ecurrence surn fnparf1=fetfn=f◦fn-1.

1)On supposefinjective. Montrer que, pour tout entiernstrictement positif,fnest

injective.

[PDF] Exercice n 1

Universit´e de Rennes 1Licence 1`ere ann´ee

UFR Math´ematiquesmodule A04

Feuille de TD n

Exercice n◦1

Exercice n◦2

1)L"applicationg:x?→x2appartient-elle `aA? Mˆeme question pourh:x?→x+ 1.

2)A quelle condition suraetb, l"applicationf:x?→ax+bappartient-elle `aA?

Exercice n◦3

1)Les applications d´efinies ci-dessous appartiennent-elles `aA?

2)On suppose quefappartient `aA.

Composition d"applications

Exercice n◦4

Exercice n◦5

0 sinong(x) =?0 six?[0,1/2[

Exercice n◦6

1 sinong(x) =?0 six?[0,2/3]

3x-2 sinon

Injection - Surjection - Bijection

Exercice n◦7

1)f1(x) =⎷

3-2xsix >1

Exercice n◦8

Exercice n◦9

Soit l"applicationf:??R\ {1} →R

1)L"applicationfest-elle surjective? Est-elle injective?

2)Montrer qu"il existe un sous-ensembleFdeRet une bijectiongdeR\ {1}surFtels

Exercice n◦10

1)Montrer que sihest injective,fl"est aussi et que sihest surjective,gl"est aussi.

2)Montrer que sihest surjective etginjective, alorsfest surjective.

3)Montrer que sihest injective etfsurjective alorsgest injective.

Exercice n◦11

Soient un ensembleEetfune application deEdansE.

1)On supposefinjective. Montrer que, pour tout entiernstrictement positif,fnest

2)On supposefsurjective. Montrer que, pour tout entiernstrictement positif,fnest

Ant´ec´edents et image

Exercice n◦12

1)Donner la d´efinition def-1({4}).Calculerf-1({4}).

2)L"applicationfest-elle bijective ?

3)Donner la d´efinition def([-1,1]).Calculerf([-1,1]).

4)Donner la d´efinition def-1([-2,4]).Calculerf-1([-2,4]).

Exercice n◦13

Soit l"applicationE:?R→R

1)Tracer le graphe deEpourx?[-2,2].

2)L"applicationEest-elle injective ? surjective? bijective ?

4)ExpliciterE◦E.

Exercice n◦14

Soit l"applicationf:?R→R

1)D´eterminerf-1({-3/4}).

2)L"applicationfest-elle injective ?

3)L"applicationfest-elle surjective?

4)D´eterminerf([-ln2,ln2]).

Exercice n◦15

Soit l"applicationf:??C→C

1 +|z|o|z|d´esigne le module du complexez.

1)D´emontrer que, sif(z) =f(z?),alors|z|=|z?|.En d´eduire quefest injective.

2)On noteD={z?C;|z|<1}.Montrer quef(C)?D.

3)L"applicationfest-elle une bijection deCsurD?

Exercice n◦16

Soit l"applicationf:??C\ {i} →C

1)D´eterminer l"image parfdu disqueD={z?C;|z|<1}.

2)D´eterminer l"image parfdu demi-planA={z?C; Re(z)<1/2}.