Injection, surjection, bijection
id est l’application identité définie par id(x)= x pour tout x 2[0;1] Donc f f =id signifie f f(c)= x pour tout x 2[0;1] Indication pourl’exercice3 N Montrer que f est injective et surjective Indication pourl’exercice4 N 1 f est injective mais pas surjective 2 g est bijective 3 h aussi 4 k est injective mais par surjective
Pascal Lainé Ensembles-Applications
2 L’application :ℕ3→ℕ:( , , )↦ᖋ ᖌ ᖎ est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ℕ∖{ᖉ,ᖊ} L’application ????:ℤ→ℕqui à l’entier ∈ℤ associe le reste de la division
TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives
Exercice 5 : Soient trois ensembles A, Bet Cet deux applications f: ABet g: BC Montrer que 1 Si fet gsont bijectives alors g fest bijective et (g f) 1 = f 1 g 1 2 Si g fest injective alors fest injective 3 Si g fest surjective alors gest surjective Exercice 6 : 1 Montrer que toute application de R dans R strictement monotone est injective
Pascal Lainé Ensembles-Applications
(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 }Soit ∈ℕ∖{0,1 L’application ????:ℤ→ℕ qui à l’entier ∈ℤassocie le reste de la division euclidienne de par est une application 4
Exercice n 1
Exercice n 10 Soient f une application de E dans F, g une application de F dans G et h = g f 1) Montrer que si h est injective, f l’est aussi et que si h est surjective, g l’est aussi 2) Montrer que si h est surjective et g injective, alors f est surjective 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective
Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct
Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu’elle devienne bijective? Solution: Elle est injective car p x1 ˘ p x2)x1 ˘x2 Elle n’est pas surjective car Im f ˘R¯ et non pas R, donc elle n’est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f: R¯R¯ ExerciceII 4Ch2-Exercice4
Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le
L’application ci-dessous, n’est pas surjective : M0 4 n’a pas d’ant ec edent L’application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l’ensemble d’arriv ee on au moins un ant ec edent dans l’ensemble de d epart 1 1 2 Applications injectives On dit que f est injective, si pour tout point M0de Pil existe
TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles
5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque 1 f : R2 → R2 (x,y) → (x +y,x−y) 2 g :
Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse
Comme g est bijective, elle admet une application réciproqueg−1: G →F,quiestelleaussibijective Maisalors,l’application g−1 (g f) est bijective, car elle est la composée de deux bijections D’autre part, le produit de composition étantassociatif,nousavons g−1 (g f) = (g−1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8
Ensembles et applications
(c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB (d) Montrer que si f: ABest injective et que CardA CardB, alors fest bijective (e) Montrer que si g: ABest surjective et que CardA CardB, alors gest bijective Exercice 10 (ensembles in nis)
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Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
Exercice II.1Ch2-Exercice1
Les applicationsf1(x)AEjxj,f2(x)AEpx,f3(x)AE1px
2Å1sont-elles des applications deRdansR?
Solution:f1: oui,f2: non (f2n"est définie que surRÅ),f3: oui.Exercice II.2Ch2-Exercice2 Soit la fonctionf:R!R,f:x7!px. Donner son domaine de définitionD. Puis considérantfcomme une application deDdansR, donner l"image de cette application.Solution:DAERÅ, ImfAERÅ(le démontrer par double inclusion, sachant que siy2RÅil peut s"écrire
yAEpy2).Exercice II.3Ch2-Exercice3
Soitf:RÅ!Rdéfinie parf(x)AEpx. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que
faudrait-il modifier pour qu"elle devienne bijective?Solution: Elle est injective carpx
1AEpx2)x1AEx2. Elle n"est pas surjective car ImfAERÅet non pasR, donc
elle n"est pas bijective. Elle serait bijective si on prenaitf:RÅ!RÅ.Exercice II.4Ch2-Exercice4
Montrer, en utilisant les résultats du chapitre 1, que la négation de l"implication8x2E,8x02E, {(f(x)AEf(x0)))(xAEx0)}
est9x2E,9x02E, {(x6AEx0)et(f(x)AEf(x0))}.
En déduire qu"une application n"est pas injective si9x2E,9x02E, {(x6AEx0)et(f(x)AEf(x0))}.
Solution: On sait quenon(P)Q) s"écrit (Pet(nonQ), d"oùnon{8x2E,8x02E, (f(x)AEf(x0)))(xAEx0)},{9x2E,9x02E, (f(x)AEf(x0))et(x6AEx0)}Exercice II.5Ch2-Exercice5
En utilisant les résultats du chapitre 1, montrer que En déduire qu"une applicationf:E!Fest injective si et seulement siSolution: Il suffit d"appliquer :
(P)Q),{(nonQ))(nonP)}.Exercice II.6Ch2-Exercice6
SoitEAER\{¡2} et soitf:E!R,x7!xÅ1xÅ2. TrouverFAEImf. Montrer quefest bijective deEsurF. Même
Solution: Après calculs on montre que touty6AE1 admet un unique antécédent qui s"écrit xAE1¡2yy¡1 d"où (y2Imf),(y6AE1) et donc ImfAER\{1}. xÈ0,1¡2yy¡1È0,y2]12 ,1[.Exercice II.7Ch2-Exercice7 SoientEetFdeux ensembles, et soitfune application deEdansF. Montrer que la compositionidF±f est valide et queidF±fAEf. Solution:idF±f:E!F!FetidF±f(x)AEidF(f(x))AEf(x).Exercice II.8Ch2-Exercice8Solution: Tout d"abord, comme 0 et¡1 sont exclus des domaines de définition, ces deux applications sont
effectivement bien définies. Il suffit ensuite de calculerg(f(x)). En effetg(f(x)AE1x¡11
xÅ1AE1¡x1Åx.Exercice II.9Ch2-Exercice9
En vous souvenant de lnxetex, donner les ensembles de départ et d"arrivée permettant de dire que l"une
est l"application ré de l"autre.SoientEetFdeux ensembles, et soitfdeEdansFqui admet une application réciproquef¡1. Montrer, à
partir de la définition def¡1quef¡1admet une application réciproque et que (f¡1)¡1AEf.
Solution:f¡1±fAEidEetf±f¡1AEidFcaractérisent (par définition) l"inverse def¡1qui est doncf.Exercice II.11Ch2-Exercice11
Vous avez montré (dans un exercice précédent) quef:R\{¡2}!R\{1},f:x7!xÅ1xÅ2est une bijection. Dé-
terminer l"expression def¡1(y).Solution: On a déjà démontré quef¡1(y)AE1¡2yy¡1en résolvant l"équationyAEf(x).
Exercice II.12Ch2-Exercice12
etg(x)AEx¡1xÅ1. Donnerf¡1,g¡1 puis (g±f)¡1. Comparer avec le résultat de l"exerciceII.8Il a été montré dans l"exercice 8 que (g±f)¡1AE(¡g)¡1et l"on a bien (¡g)¡1AE1¡y1Åy(résoudreyAE¡g(x)).Exercice II.13Ch2-Exercice13
Montrer que la loi "soustraction" est une loi de composition interne dansZ. Montrer que la loi "division"
n"est pas une loi de composition interne dansZ\{0} mais que cette loi est une loi de composition interne dans
Q\{0}.
Solution: La soustraction de deux entiers relatifs est un entier relatif. Le quotient de deux entiers relatifs
peut ne pas être un entier relatif ( 2362Z). Par contre le quotient de deux rationnels non nuls est un rationnel
non nul, en effet pq p 0q0AEpq0qp
0les élémentsp,q,p0,q0étant tous des entiers non nuls.Exercice II.14Ch2-Exercice14
Montrer que dans un groupe (E,) l"élément neutre est unique, de même que l"élément inverse d"un élé-
ment quelconque deE. Enfin, montrer que la " règle de simplification " : siacAEbc, alorsaAEb, que vous
connaissez bien pour l"addition dansZ, s"applique dans un groupe quelconque. Solution: S"il existe deux éléments neutrese1ete2, on a e1e2AEe1ete1e2AEe2.
Et sixa deux inversesx1etx2, on a
x1xx2AE(x1x)x2AEex2AEx2
x1xx2AEx1(xx2)AEx1eAEx1
d"oùx1AEx2.On appellec1l"inverse dec, alors
Quelles sont les propriétés que l"on a utilisées?Exercice II.15Ch2-Exercice15 irrationnels. Solution: Par exemplep2¡p2AE0 etp2£p2AE2, or 0 et 2 ne sont pas des irrationnels!Exercice II.16Ch2-Exercice16
Montrer que sixest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 alorspxq est irrationnel.Solution: On peut raisonner par l"absurde : on suppose quexest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 ,pxq
est rationnel. On a doncxest irrationnel,p,qsont entiers,p6AE0 ,pxq AEp0q 0. Ce qui implique quexest irrationnel,p,qsont entiers etxAEp0qq0p, ce qui est absurde.Exercice II.17Ch2-Exercice17
Montrer que la relation "Ç" n"est pas réflexive ni symétrique.Solution: Quels que soient les réelsxety, les propriétésxÇxet (xÇy))(yÇx) sont clairement fausses.Exercice II.18Ch2-Exercice18
Montrer que :
i /( a·b),(¡b·¡a), i i/{( a·b)et(c·d)})(aÅc·bÅd), i ii/{( a·b)et(0·c)})(ac·bc), i v/La pr opriétésui vantede Rest équivalente à la propriété d"Archimède :8aÈ0,8A2R;9n2Ntel quenaÈA.
Solution: Toutes ces inégalités se démontrent à partir des propriétés élémentaires de "·". Ainsi
AppelonsPla propriété d"Archimède,Qla proposition8aÈ0,8A2R;9n2Ntel quenaÈA.
On montreP)Q. Il suffit d"appliquer la propriété d"Archimède au nombre réelBAEAa On montreQ)P, il suffit d"appliquer la propositionQavecaAE1.Exercice II.19Ch2-Exercice19 Tracer le graphe de la fonction partie entièreE:R!R. Solution: On obtient une fonction en "escalier" (voir la figure1.1 ).Exercice II.20Ch2-Exercice20 Montrer que siMest un majorant deAtout réelM0¸Mest aussi un majorant. De même simest un minorant deAtout réelm0·mest aussi un minorant.Solution: PuisqueM·M0, on a (x·M))(x·M0) et doncM0est un majorant deA. La démonstration est
la même pourm0. -2-102311 2 -2FIGURE1.1 - graphe de partie entièreExercice II.21Ch2-Exercice21
(on rappelle quejxjdésigne la valeur absolue dex). Solution: Sijxj·M, alors¡M·x·Met doncAest bornée.Réciproquement, si®·x·¯, on poseMAEmax{j®j,j¯j} et l"on a¡M·x·M. (Aidez-vous d"un dessin si cela
ne vous paraît pas évident car ce résultat est souvent utilisé).Exercice II.22Ch2-Exercice22
Montrer que l"ensembleAAE{x2R,9n2N,xAEnnÅ1} est borné. Solution: CommenÇnÅ1, il est clair que8x2A, on a 0·x·1.Exercice II.23Ch2-Exercice23 SoitaÇb, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, montrer que sup [a,b[AEb. Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure. -8x2[a,b[, on ax·b, doncbest majorant de [a, b[, montrons que c"est le plus petit. S oitcÇb, deux cas peuvent alors se présenter -cÇa, oraest un élément de [a,b[ donccn"est pas majorant de [a,b[. -c¸aalorscÅb2 est un élément de [a,b[ qui est strictement supérieur àc, donccn"est pas majorant de [a,b[.On vient donc de démontrer quebest le plus petit des majorants de [a,b[.Exercice II.24Ch2-Exercice24
Montrer que supAAEp2, siAAE{x2R,xrationnel etx2Ç2}. Solution: On utilise la caractérisation de la borne supérieure. -8x2A, on ax·p2S oittÇp2, alors entre deux nombres réels il existe toujours un rationnel, d"où9q2Qtel quetÇqÇp2 et
doncq2Avérifie bientÇq.Exercice II.25Ch2-Exercice25 Montrer queaest le plus grand des minorants deIAE[a,Å1[. Solution: Raisonnons par l"absurde et supposons qu"il existe un minorantmdeItel queaÇm. Alors ilexiste un réel®tel queaÇ®Çmet donc il existe un réel®appartenant àI(aÇ®) qui est strictement plus
petit quem, ce qui est absurde puisquemest un minorant deI.Exercice II.26Ch2-Exercice26En appliquant l"axiome de la borne supérieure, démontrer que toute partieAnon vide et minorée deR
admet une borne inférieure.Solution: Soitmun minorant deA. Alors :
(x2A))(x¸m))(¡x·¡m).Définissons l"ensembleBAE{y2R,yAE¡x,x2A}. AlorsBest majoré par¡metBadmet une borne supérieure
(axiome de la borne supérieure)squi vérifie donc : -8y2B, on ay·s