Injection, surjection, bijection
id est l’application identité définie par id(x)= x pour tout x 2[0;1] Donc f f =id signifie f f(c)= x pour tout x 2[0;1] Indication pourl’exercice3 N Montrer que f est injective et surjective Indication pourl’exercice4 N 1 f est injective mais pas surjective 2 g est bijective 3 h aussi 4 k est injective mais par surjective
Pascal Lainé Ensembles-Applications
2 L’application :ℕ3→ℕ:( , , )↦ᖋ ᖌ ᖎ est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ℕ∖{ᖉ,ᖊ} L’application ????:ℤ→ℕqui à l’entier ∈ℤ associe le reste de la division
TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives
Exercice 5 : Soient trois ensembles A, Bet Cet deux applications f: ABet g: BC Montrer que 1 Si fet gsont bijectives alors g fest bijective et (g f) 1 = f 1 g 1 2 Si g fest injective alors fest injective 3 Si g fest surjective alors gest surjective Exercice 6 : 1 Montrer que toute application de R dans R strictement monotone est injective
Pascal Lainé Ensembles-Applications
(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 }Soit ∈ℕ∖{0,1 L’application ????:ℤ→ℕ qui à l’entier ∈ℤassocie le reste de la division euclidienne de par est une application 4
Exercice n 1
Exercice n 10 Soient f une application de E dans F, g une application de F dans G et h = g f 1) Montrer que si h est injective, f l’est aussi et que si h est surjective, g l’est aussi 2) Montrer que si h est surjective et g injective, alors f est surjective 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective
Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct
Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu’elle devienne bijective? Solution: Elle est injective car p x1 ˘ p x2)x1 ˘x2 Elle n’est pas surjective car Im f ˘R¯ et non pas R, donc elle n’est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f: R¯R¯ ExerciceII 4Ch2-Exercice4
Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le
L’application ci-dessous, n’est pas surjective : M0 4 n’a pas d’ant ec edent L’application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l’ensemble d’arriv ee on au moins un ant ec edent dans l’ensemble de d epart 1 1 2 Applications injectives On dit que f est injective, si pour tout point M0de Pil existe
TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles
5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque 1 f : R2 → R2 (x,y) → (x +y,x−y) 2 g :
Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse
Comme g est bijective, elle admet une application réciproqueg−1: G →F,quiestelleaussibijective Maisalors,l’application g−1 (g f) est bijective, car elle est la composée de deux bijections D’autre part, le produit de composition étantassociatif,nousavons g−1 (g f) = (g−1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8
Ensembles et applications
(c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB (d) Montrer que si f: ABest injective et que CardA CardB, alors fest bijective (e) Montrer que si g: ABest surjective et que CardA CardB, alors gest bijective Exercice 10 (ensembles in nis)
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2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)Applications injectives, surjectives et
bijectives (Vers le superieur ...) Terminale SVincentOBATON, Enseignant au lycee Stendhal de Grenoble (Annee 2014-2015) Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-1-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)J'aimais et j'aime
encore les mathema- tiques pour elles-m^emes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux b^etes d'aversion.Stendhal
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-2-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)Table des matieres
1 Un peu de theorie ... 4
1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.1 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.2 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 Exercices6
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-3-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)1 Un peu de theorie ...
1.1 Denitions
On notefune application du planPdans lui-m^eme, qui a un pointMdePlui associe un pointM0 deP. SiM0est l'image deMpar l'applicationf, on notef(M) =M0.1.1.1 Applications surjectivesOn dit quefestsurjective, si pour tout pointM0dePil existeau moins un antecedentMdansPparf.Exemples :
L'application ci-dessous, n'est pas surjective :M04n'a pas d'antecedent.L'application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l'ensemble d'arrivee on au moins un
antecedent dans l'ensemble de depart.1.1.2 Applications injectivesOn dit quefestinjective, si pour tout pointM0dePil existeau plus un antecedentMdansPparf.Consequence :
Pour toutM12 PetM22 Psif(M1) =f(M2) alorsM1=M2.
Exemples :
L'application ci-dessous, n'est pas injective :M02a deux antecedents. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-4-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)L'application ci-dessous, est injective : Tous les points de l'ensemble d'arrivee on au plus un
antecedent dans l'ensemble de depart.1.1.3 Applications bijectivesOn dit quefestbijectivee, si pour tout pointM0dePil existeun et un seul antecedentMdansPparf.Consequence :
Une application est bijective si elle est surjective et injective.Exemples :
L'application ci-dessous, est bijective : Tous les points de l'ensemble d'arrivee ont un et un seul antecedent dans l'ensemble de depart. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-5-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)2 Exercices
Exercice 1 :
Pour chacun des schemas ci-dessous, dire si l'application est une injection, une surjection ou un bijection. (Justier)Exercice 2 : On notefla transformation du premier schema etgcelle du deuxieme. 1. V erierqu ec es ontb iende sb ijections.( Justier) 2.D ecrirel est ransformationsr eciproquesf1etg1.
3.F airele sc hemad el at ransformationh=fgets=gf.
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-6-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-7-2014 { 2015Pour allez plus loin ...Classe de Terminale S (Option Maths)Exercice 3 :
On notefla transformation du premier schema etgcelle du deuxieme.1.D ecrirel est ransformationsfgetgf. Que peut-on en deduire?
2. D ecrirel est ransformations( fg)1,f1g1etg1f1. Que peut-on en deduire? 3. O nn otehla transformation du shema ci-dessous :(a)D ecrirel at ransformationh(gf). (b)