Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse

id est l’application identité déﬁnie par id(x)= x pour tout x 2[0;1] Donc f f =id signiﬁe f f(c)= x pour tout x 2[0;1] Indication pourl’exercice3 N Montrer que f est injective et surjective Indication pourl’exercice4 N 1 f est injective mais pas surjective 2 g est bijective 3 h aussi 4 k est injective mais par surjective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

2 L’application :ℕ3→ℕ:( , , )↦ᖋ ᖌ ᖎ est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ℕ∖{ᖉ,ᖊ} L’application ????:ℤ→ℕqui à l’entier ∈ℤ associe le reste de la division

TD 3: Applications injectives, surjectives, bijectives

Exercice 5 : Soient trois ensembles A, Bet Cet deux applications f: ABet g: BC Montrer que 1 Si fet gsont bijectives alors g fest bijective et (g f) 1 = f 1 g 1 2 Si g fest injective alors fest injective 3 Si g fest surjective alors gest surjective Exercice 6 : 1 Montrer que toute application de R dans R strictement monotone est injective

Pascal Lainé Ensembles-Applications

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 }Soit ∈ℕ∖{0,1 L’application ????:ℤ→ℕ qui à l’entier ∈ℤassocie le reste de la division euclidienne de par est une application 4

Exercice n 1

Exercice n 10 Soient f une application de E dans F, g une application de F dans G et h = g f 1) Montrer que si h est injective, f l’est aussi et que si h est surjective, g l’est aussi 2) Montrer que si h est surjective et g injective, alors f est surjective 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective

Exercicesduchapitre2aveccorrigésuccinct

Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modiﬁer pour qu’elle devienne bijective? Solution: Elle est injective car p x1 ˘ p x2)x1 ˘x2 Elle n’est pas surjective car Im f ˘R¯ et non pas R, donc elle n’est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f: R¯R¯ ExerciceII 4Ch2-Exercice4

Applications injectives, surjectives et bijectives (Vers le

L’application ci-dessous, n’est pas surjective : M0 4 n’a pas d’ant ec edent L’application ci-dessous, est surjective : Tous les points de l’ensemble d’arriv ee on au moins un ant ec edent dans l’ensemble de d epart 1 1 2 Applications injectives On dit que f est injective, si pour tout point M0de Pil existe

TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles

5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque 1 f : R2 → R2 (x,y) → (x +y,x−y) 2 g :

Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse

Comme g est bijective, elle admet une application réciproqueg−1: G →F,quiestelleaussibijective Maisalors,l’application g−1 (g f) est bijective, car elle est la composée de deux bijections D’autre part, le produit de composition étantassociatif,nousavons g−1 (g f) = (g−1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8

Ensembles et applications

(c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB (d) Montrer que si f: ABest injective et que CardA CardB, alors fest bijective (e) Montrer que si g: ABest surjective et que CardA CardB, alors gest bijective Exercice 10 (ensembles in nis)

CPP - 2013/2014 Algèbre générale I

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o6Exercice 1 On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2-→Rg:R-→R2 (x,y)?-→xy x?-→(x,x2)

1. Les applicationsf◦getg◦fsont données par

f◦g:R-→Rg◦f:R2-→R2 x?-→f(g(x)) =f(x,x2) =x3(x,y)?-→g(f(x,y)) =g(xy) = (xy,x2y2)

2. (a) L"applicationfest-elle injective? En d"autres termes, est-il possible de retrouver un couple

(x,y)à partir de la donnée de son image parf, à savoir le produitxy? La réponse est évidemment non, mais pour préciser cela il convient de fournir un exemple. On peut prendre celui-ci : f(1,1) =f(2,1/2) = 1 ce qui montre quefn"est pas injective.

(b) L"applicationfest-elle surjective? Autrement dit, est-il vrai que tout élémentt?Rest l"image

parfd"un certain couple? Pour répondre positivement à cette question il suffit de remarquer que f(1,t) =t doncfest surjective. (c) L"applicationgest-elle injective? Oui, car la donnée du couple(x,x2)permet de retrouverx.

Pour répondre à la question en se servant de la définition, on se donne deux réelsxetx?tels

queg(x) =g(x?), c"est-à-dire tels que (x,x2) = (x?,x?2) Alorsx=x?par identification. Ainsi la relationg(x) =g(x?)implique quex=x?, ce qui est la définition de l"injectivité deg.

(d) L"applicationgest-elle surjective? Non, car(1,0)n"admet pas d"antécédent parg: en effet, si

c"était le cas, alors on aurait trouvé un réelxtel que(x,x2) = (1,0), c"est-à-dire tel quex= 1

etx2= 0, ce qui est impossible.

(e) Grâce à l"analyse réelle (théorème de la bijection), on voit quef◦g:R→Rest bijective, en

particulier elle est injective et surjective.

(f) Commefn"est pas injective,g◦fn"est pas injective. En effet, il suffit de récupérer le même

exemple que pourf: g(f(1,1)) =g(f(2,1/2)) = (1,1)

(g) Commegn"est pas surjective,g◦fn"est pas surjective. En effet,(1,0)n"admet pas d"antécédent

parg, donc n"admet pas non plus d"antécédent parg◦f. 1

Exercice 2

On considère l"applicationfdéfinie par

f:R-→R x?-→x(1-x)

1. Soityun réel fixé. On souhaite déterminerf-1({y}), c"est-à-dire l"ensemble des antécédents dey

par la fonctionf, ou encore l"ensemble des solutionsxde l"équationf(x) =y. Or cette équation s"écrit x(1-x) =y c"est-à-dire x

2-x+y= 0

Il s"agit d"une équation de degré2enx, dans laquelleyest vu comme une constante. Le discriminant

estΔ = 1-4y. On distingue alors trois cas possibles : (a)Δ>0, c"est-à-direy <1/4. Alors l"équation a deux solutions qui sont 1 + ⎷1-4y2 et1-⎷1-4y2 (b)Δ = 0, c"est-à-direy= 1/4. Alors l"équation a une solution unique :x= 1/2. (c)Δ<0, c"est-à-direy >1/4. Alors l"équation n"admet pas de solution.

La fonctionfn"est pas injective, car les réels strictement inférieurs à1/4admettent deux antécé-

dents : par exemplef(0) =f(1) = 0. La fonctionfn"est pas surjective, car les réels strictement

supérieurs à1/4n"admettent aucun antécédent. La valeury= 1/4est particulière car c"est le seul

réel qui admet un unique antécédent parf.

2. On peut prendreI=]- ∞,1/2]etJ=]- ∞,1/4]. Alors le théorème de la bijection montre que la

fonction]- ∞,1/2]→]- ∞,1/4]donnée par la même formule quefest une bijection.

Exercice 3

Soientfetgles applications deNdansNdéfinies par : f(n) = 2n, g(n) =?n2

1. (a) L"applicationfn"est pas surjective. En effet,1n"admet pas d"antécédent parf, car il n"existe

pas d"entier naturelntel que2n= 1. Commefn"est pas surjective, elle n"est pas bijective. (b) L"applicationgn"est pas injective. En effet,g(0) =g(1) = 0.

2. (a) L"applicationf◦gn"est pas injective, cargn"est pas injective. En effet,f(g(0)) =f(g(1)) = 0.

Par conséquent,f◦gn"est pas bijective. On notera par ailleurs quef◦gn"est pas surjective,

carfn"est pas surjective. (b) L"applicationg◦f:N→Nest donnée par g(f(n)) =g(2n) =?2n2 =?n? Or icinest un entier naturel, donc?n?=n. Autrement dit,g◦fest l"application identité de

NdansN. Elle est donc bijective.

Exercice 4

Soit l"applicationh:N2→Ndéfinie par

h:N2-→N (p,q)?-→2p3q 2

1. On se demande sihest injective. Soient(p,q)et(a,b)deux éléments deN2tels queh(p,q) =h(a,b),

alors nous avons 2 p3q= 2a3b

Par unicité de la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, on en déduit que

p=aetq=b.

2. On se demande sihest surjective. Par unicité de la décomposition d"un nombre en produit de

facteurs premiers, il est clair que5ne peut pas s"écrire sous la forme2p3qavecpetqentiers naturels. Donc5n"appartient pas à l"image deh, c"est-à-dire quehn"est pas surjective.

Exercice 5

Soitf:R→Rl"application définie par :

f(x) =?2x?2?x? -1

1. Pour vérifier que l"applicationfest bien définie, il faut vérifier que le dénominateur2?x? -1ne

s"annule jamais. Or?x?est un entier relatif, donc2?x?est un entier relatif pair. Il n"est donc jamais

égal à1, d"où le résultat.

(a) Soitxun réel quelconque. Alors?2x?et2?x? -1sont des entiers relatifs. Donc leur quotient est un nombre rationnel, autrement ditf(x)appartient àQ. Or il existe des nombres réels qui sont irrationnels (par exemple⎷2), doncfn"est pas surjective. (b) L"applicationfn"est pas injective : en effetf(0) =f(1/3) = 0.

2. Soitkun entier relatif. Alors?k?=ket?2k?= 2k, donc

f(k) =2k2k-1.

On en déduit que :

f(Z) =?2k2k-1|k?Z?

Exercice 6

L"applicationk:R2→R2définie par :

k:R2-→R2 (x,y)?-→(x+y,xy)

1. L"applicationkn"est pas injective. En effet,k(0,1) =k(1,0).

2. L"applicationkn"est pas surjective, car(0,1)n"admet pas d"antécédent parf. En effet, si(0,1)

avait un antécédent, alors on aurait trouvé un couple(x,y)?Rtel quex+y= 0etxy= 1, c"est-à-dire tel quey=-xetxy= 1. En particulier on aurait-x2= 1, ce qui est impossible carx est un réel.

Exercice 7

Soitf:E→Fetg:F→Gdeux applications.

1. On suppose queg◦fest injective. Nous allons montrer quefest injective. Soientxetx?deux

éléments deEtels que

f(x) =f(x?) alors g(f(x)) =g(f(x?)) doncx=x?par injectivité deg◦f. 3

2. On suppose queg◦fest surjective. Nous allons montrer quegest surjective. Soity?G, on veut

montrer queyadmet un antécédent parg. On sait, par surjectivité deg◦f, qu"il existex?Etel

que g(f(x)) =y Mais alors,f(x)est un antécédent deyparg, ce qu"on voulait.

3. On suppose queg◦fetgsont bijectives. Commegest bijective, elle admet une application

réciproqueg-1:G→F, qui est elle aussi bijective. Mais alors, l"application g -1◦(g◦f)

est bijective, car elle est la composée de deux bijections. D"autre part, le produit de composition

étant associatif, nous avons

g -1◦(g◦f) = (g-1◦g)◦f= idF◦f=f doncfest bijective.

Exercice 8

Siaetbsont deux réels, on notefa,bl"application f a,b:R-→R x?-→ax+b

1. Déterminer pour quelles valeurs de(a,b)la fonctionfa,best injective, pour quelles valeurs elle est

surjective.

2. Lorsquefa,best bijective, déterminer son application réciproque.

3. Montrer que sifa,b=fc,dalors(a,b) = (c,d).

4. Interpréter le résultat précédent en termes d"injectivité d"une certaine application.

4quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] Corrigé du TD no 6 - Institut de Mathématiques de Toulouse