Graphe(R) = {(x y) ? X × X : xRy}. La classe d'équivalence de x ? X est le sous-ensemble de X suivant : [x] = {y ? X : yRx}. L'ensemble quotient
même classe d'équivalence. Théorème. Une relation d'équivalence R sur un ensemble E définit une partition de E dont les éléments sont les
Exercice 1.3.7 - Une classe de congruence modulo n. On se donne x ? Z et n ? N?. 1) Déterminer la classe d'équivalence de x pour la relation de congruence
Aug 20 2017 2.2 Classe d'équivalence. Ensemble quotient . ... Une relation d'équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont.
Jan 16 2022 3.1 Définition (ensemble quotient). L'ensemble des classes d'équivalences d'un ensemble E par une relation d'équivalence R s'appelle l'ensemble ...
Mar 7 2018 1.0.4 Une relation d'équivalence ~:AxA definit une partition de A en classes ... d'équivalence ~
Feb 11 2014 Définition 1.2 (Relation d'équivalence) Une relation R réflexive
On va voir ici comment utiliser les relations d'équivalences pour construire un espace vectoriel sur lequel Np soit bel et bien une norme. Plus précisément
Ensemble quotient : L'ensemble des classes d'équivalences de E pour ? est appelé l'ensemble quotient de E par. ? et souvent noté E ?. E. Une classe d'
revanche c'est une relation d'ordre . Définitions: Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R. i) Pour tout x = € E? on appelle classe
Une relation d'équialencev Rsur un ensemble E dé nit une partition de E dont les éléments sont les classes d'équivalence de R Réciproquement toute partition de E dé nit sur E une relation d'équivalence dont les classes coïncident avec les éléments de la partition
Une relation d’équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété Exemples : • La relation ? [n]sur Z est une relation d’équivalence On véri?e facilement qu’elle est ré?exive symétrique et transitive • Soit ? ? R Une autre relation ? [?]sur R est une relation
Dans l’exemple 1 6 d’une relation d’équivalence sur Gdé?nie à l’aide d’un sous-groupe H on note G=H l’ensemble quotient pour la relation modulo H à droite et symétriquement HnG l’ensemble quotient pour la relation modulo Hà gauche
Relationsd’équivalence SoitEunensemble;unerelation?surEestditerelation d’équivalence sielleest: ré?exive: 8x2E;x?x symétrique: 8x2E;8y2E;six?yalorsy?x transitive: 8x2E;8y2E;8z2E;six?yety?zalorsx?z 1 Exemples simples de relations d’équivalence
relation avec (ab) La classe d’équivalence de (ab)est donc ˆ xxb a x ? R? ? Exercice 4: (a) Prouver que la relation sur R aRb ? a =b est une relation d’équivalence Solution: — Ré?exivité : Soit x ? R Prouvons que xRx On a x =x donc xRx — Symétrie : Soit xy ? R On suppose xRy On veut prouver que yRx
La classe d’équivalence de (a,b)est donc ˆ x,xb a x ?R? Exercice 4: (a) Prouver que la relation surR aRb ? |a| =|b| est une relation d’équivalence. Solution: — Ré?exivité : Soit x ?R. Prouvons que xRx.
Une relation R sur un ensemble E est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété : De plus, elle est bien transitive : Si |x|=|y| et |y| = |z| alors |x|=|y|=|z|. Donc, on a bien Pour les relations d’équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit.
La relation d’équivalence est alors signifiée par trois verbes différents : « est », « implicant » ou « continet ». La possibilité est, impliqueou contientla non contradiction. Le terme d’implication doit nous alarmer sur un point.
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation surZ aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0.