FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTS
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ . Posons f (x) = eln x . Alors f '(x) = (ln x)'eln x
LogTESL
LOGARITHME NEPERIEN
.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln
Utilisation du logiciel Régressi
multiplication ; / : division ; LN : logarithme népérien ; LOG : logarithme décimal ;. SQRT : racine carrée ; SIN : sinus ; COS : cosinus ; TAN : tangente
notice resume regressi
MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu'applicable l
exp log
matlab
Exponentielle et logarithme
ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs
exponentielle et logarithme
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction ...
Cours fonction logarithme neperien
Finances & Maths : le crédit immobilier
13 avr. 2020 ey =1+ x. — Encore une fois il nous faut trouver y
finances maths le credit immobilier
Fonction logarithme népérien - L'essentiel du cours
Fonction logarithme népérien - L'essentiel du cours a) Existence ln x n'existe que si x > 0. ▷ Exemple : La fonction f définie par f(x)=ln(x − 1) n'est
resume cours logarithme
PRINCIPE D'UTILISATION D'UNE TABLE DE LOGARITHMES
Principe d'utilisation (voir la table de logarithmes décimaux) fonction logarithme népérien (notée ln) qui partage la plupart des.
chapitre ln bis
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O
1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=0?a=1
lna lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre. 1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition. 1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle. PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O 1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=lnb?a=b
lna=0?a=1
lna lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre. 1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition. 1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle. PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O 1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=lnb?a=b
lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2?Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre. 1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition. 1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle. PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O 1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=lnb?a=b
On a :
e-1-12=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07 La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre. 1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition. 1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle. PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O 1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=lnb?a=b
On conclut par :S=?
-12;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=bOrelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lnaPAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit.Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6?On a alors
12[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x)L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)22x2-3x=x2-12x+36
x2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+152=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3}PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O
1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=0?a=1
lna lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2?Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
On a :
e-1-12=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
On conclut par :S=?
-12;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=bOrelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lnaPAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit.Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3