Matrices









FORMULAIRE d'INTÉGRATION Dans ce qui suit "c" est une

Dans ce qui suit "c" est une constante réelle. PRIMITIVES connues en terminale. ∫ a dx = ax + c. ∫ x dx = x2. 2. + c. ∫ xm dx =.
m


Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = − b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x−x1)2. Signe : ax2 +bx+ 
prem spe gen chap cours


MATRICES

Une matrice de taille 1 x m est appelée une matrice ligne. Exemple : Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1. a.
MatricesTESL


SECOND DEGRE (Partie 2)

Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60. En effet a = 3
Secondegre ESL





ÉQUATIONS

x. EQUATION : c'est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une 10 x 0625 - 2 = 2 x 0
Equations e


EQUATIONS INEQUATIONS

Le cas particulier de l'équation-produit (ax + b)(cx + d) = 0 équivaut à c) x2 − 9 x + 3. = 0 d) 1− x + 3 x − 3. = 2. 2 − x a) L'équation n'est pas ...
Equations Inequations


Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1

AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est inversible et préciser A-1. Exercice 13 – (extrait partiel novembre 2011). Soit X et Y 
EC .


VECTEURS ET DROITES

2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Toute droite D admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a ; b. ( )≠ 0;0.
VecteursDroites





Matrices

Calculer 3A+ 2C et 5B − 4D. Trouver α tel que A− αC soit la matrice nulle. 2. Montrer que si A+ B = A alors B est la matrice nulle 
ch matrices


LES FONCTIONS DE REFERENCE

x. = − + est une fonction affine. La fonction g définie sur ℝ par. 2 p104 n°9 à 12 ... f x ax b. = + . Si. 0 a > alors f est croissante sur ℝ.
Fonctions reference


245843Matrices

Matrices

ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.

Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

A=0 B

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

a

2,1a2,2...a2,j...a2,p

a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 C

CCCCCAouA=ai,j

16i6n

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.

Encore quelques définitions :Définition 2.

Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.

L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)

MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :

•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de

Mn,n(K).

0 B BB@a

1,1a1,2...a1,n

a

2,1a2,2...a2,n............

a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la note

A=a1,1a1,2...a1,p.

De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On

la note A=0 B BB@a 1,1 a

2,1...

a n,11 C CCA.

La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p

ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie

par c ij=aij+bij.

En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les

coefficients de la matriceA.

Exemple 2.

SiA=32

1 7 etB=0 5 21
alorsA+B=3 3 3 6

Par contre siB0=2

8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.

SiA=1 2 3

0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

45 2
etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.

Matrices

ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.

Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

A=0 B

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

a

2,1a2,2...a2,j...a2,p

a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 C

CCCCCAouA=ai,j

16i6n

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.

Encore quelques définitions :Définition 2.

Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.

L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)

MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :

•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de

Mn,n(K).

0 B BB@a

1,1a1,2...a1,n

a

2,1a2,2...a2,n............

a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la note

A=a1,1a1,2...a1,p.

De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On

la note A=0 B BB@a 1,1 a

2,1...

a n,11 C CCA.

La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p

ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie

par c ij=aij+bij.

En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les

coefficients de la matriceA.

Exemple 2.

SiA=32

1 7 etB=0 5 21
alorsA+B=3 3 3 6

Par contre siB0=2

8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.

SiA=1 2 3

0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

45 2
etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.