CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

208514

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET ÉQUATIONS

DIFFÉRENTIELLES

Cours et exercices corrigés

Sylvie Benzoni-Gavage

Professeur à luniversité Lyon 1

DANSLAMÊMECOLLECTION

Pierre Auger, Christophe Lett, Jean-Christophe Poggiale, Modélisation mathématique en écologie, 2010 Luca Amodei, Jean-Pierre Dedieu, Analyse numérique matricielle, 2008

Carl Graham, Chaînes de Markov, 2008

Bernard Bercu, Djalil Chafaï, Modélisation stochastique et simulation, 2007 Étienne Pardoux, Processus de Markov et applications, 2007 Frédéric Bonnans, Optimisation continue, 2006 Francis Comets, Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, 2006

Illustration de couverture : © Digitalvision

© Dunod, Paris, 2010

La série " Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une n ouvelle génération de livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingé nieurs. Leur adéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualité sc ientifique. La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industriell es) assure la direction éditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement, et largement représentatif des différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution : analyse num

érique, probabilités appli-

quées, statistique, optimisation, systèmes dynamiques et commande, traitement dimages et du signal, finance, recherche opérationnelle, etc. Son ambition est de c onstituer un ensemble douvrages de référence.

ISBN 978-2-10-054826-2

Table des matières

PRÉFACEvii

INTRODUCTION1

PREMIÈRE PARTIE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CHAPITRE 1€DIFFÉRENTIABILITÉ........................................ 9

1.1 Introduction................................................. 9

1.2 Théorème des accroissements nis........................... 20

1.3 Théorème d"inversion locale.................................. 26

1.4 Théorème des fonctions implicites............................ 31

EXERCICES....................................................... 33 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 39 CHAPITRE 2€DIFFÉRENTIELLES D"ORDRE SUPÉRIEUR...................... 49

2.1 Différentielle seconde........................................ 49

2.2 Différentielle d"ordren....................................... 54

2.3 Formules de Taylor........................................... 58

EXERCICES....................................................... 64 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 67 ?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit ivTable des matières CHAPITRE 3€EXTREMA................................................ 75

3.1 Extrema libres............................................... 75

3.2 Extrema liés................................................. 77

3.3 Fonctions convexes.......................................... 80

3.4 Introduction au calcul des variations.......................... 83

EXERCICES....................................................... 87 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 91 CHAPITRE 4€FORMES DIFFÉRENTIELLES................................. 99

4.1 Champs de vecteurs et1-formes différentielles................ 99

4.2 Formes différentielles d"ordre supérieur....................... 101

4.3 Théorème de Poincaré....................................... 108

4.4 Théorème de Frobenius...................................... 114

4.5 Théorème de Stokes......................................... 117

DEUXIÈME PARTIE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

CHAPITRE 5€INTRODUCTION ET OUTILS DE BASE......................... 125

5.1 Modélisation et applications................................. 126

5.2 Résolution explicite.......................................... 135

5.3 Lemme de Gronwall......................................... 139

5.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz............................... 141

5.5 Théorème du ot............................................ 148

5.6 Équations aux différentielles totales........................... 153

EXERCICES....................................................... 157 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 161

Table des matièresv

CHAPITRE 6€ÉQUATIONS LINÉAIRES..................................... 169

6.1 Existence globale............................................ 169

6.2 Résolvante.................................................. 171

6.3 Coefcients constants....................................... 177

6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables........... 194

6.5 Coefcients périodiques et théorie de Floquet................ 204

EXERCICES....................................................... 210 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 213 CHAPITRE 7ۃQUATIONS AUTONOMES.................................. 221

7.1 Courbes intégrales........................................... 222

7.2 Flot et portraits de phase..................................... 227

7.3 Ensemblesv-limite.......................................... 234

EXERCICES....................................................... 239 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 245 CHAPITRE 8€STABILITÉ DES SOLUTIONS STATIONNAIRES.................. 259

8.1 Théorie de Lyapunov......................................... 259

8.2 Approche spectrale.......................................... 265

8.3 Points xes hyperboliques.................................... 270

8.4 Variétés invariantes.......................................... 276

8.5 Introduction aux bifurcations................................. 283

EXERCICES....................................................... 289 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 293

APPENDICE301

BIBLIOGRAPHIE303

INDEX306

?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit

Préface

Je fais partie de cette génération nourrie à l"analyse des équations aux dérivées par-

tielles (alors appelée abusivementanalyse numérique), dans l"idée que l"analyse des

équations différentielles ordinaires était " dépassée », au point qu"elle n"était guère

plus enseignée qu"aux détours de cours de géométrie ou de mécanique. J"ai néan- moins pu apprécier au fil des années la richesse des interactions entre un domaine traditionnellement réservé aux géomètres, celui dessystèmes dynamiques, et l"analyse

appliquée à des modèles divers, que ce soient des équations différentielles ordinaires,

des équations aux dérivées partielles, ou encore des équations différentielles fonction-

nelles. C"est ce qui m"a incitée à mettre en place un cours d"équations différentielles ordinaires en première année du master "MAIM» (Mathématiques et Applications, Ingénierie Mathématique) à Lyon 1. Cet ouvrage est issu des notes rédigées pour

l"occasion, et auparavant pour la préparation à l"épreuve de modélisation à l"agré-

gation, ainsi que de mes notes de calcul différentiel en troisième année de licence. La transformation en livre de ces notes éparses fut encouragée, sans qu"ils en aient nécessairement conscience, par plusieurs collègues : Michelle Schatzman et Denis Serre (que je remercie au passage pour leur fidèle et amical soutien), Francis Filbet (qui m"a fait bénéficier de sa toute fraîche expérience d"auteur chez Dunod), ainsi que ceux ayant manifesté leur intérêt pour mon "poly» (en ligne sur ma page personnelle). En espérant que cela en valait la peine, je remercie de tout coeur mes proches pour leur patience (et bien plus) pendant ces mois passés à remettre l"ouvrage sur le métier. Je tiens en outre à remercier Pascal Noble, avec qui j"ai eu plaisir à enseigner cette

matière et à qui je dois divers énoncés d"exercices, ainsi que des critiques constructives.

Quant aux exercices de calcul différentiel, ils proviennent pour l"essentiel de sujets d"examen posés en L3 : je remercie notamment Danièle Tarral, Laurent Pujo-Menjouet et Daniel Sondaz pour leurs contributions. Je remercie enfin Sarah Delcourte pour sa relecture attentive.

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET ÉQUATIONS

DIFFÉRENTIELLES

Cours et exercices corrigés

Sylvie Benzoni-Gavage

Professeur à luniversité Lyon 1

DANSLAMÊMECOLLECTION

Pierre Auger, Christophe Lett, Jean-Christophe Poggiale, Modélisation mathématique en écologie, 2010 Luca Amodei, Jean-Pierre Dedieu, Analyse numérique matricielle, 2008

Carl Graham, Chaînes de Markov, 2008

Bernard Bercu, Djalil Chafaï, Modélisation stochastique et simulation, 2007 Étienne Pardoux, Processus de Markov et applications, 2007 Frédéric Bonnans, Optimisation continue, 2006 Francis Comets, Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, 2006

Illustration de couverture : © Digitalvision

© Dunod, Paris, 2010

La série " Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une n ouvelle génération de livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingé nieurs. Leur adéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualité sc ientifique. La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industriell es) assure la direction éditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement, et largement représentatif des différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution : analyse num

érique, probabilités appli-

quées, statistique, optimisation, systèmes dynamiques et commande, traitement dimages et du signal, finance, recherche opérationnelle, etc. Son ambition est de c onstituer un ensemble douvrages de référence.

ISBN 978-2-10-054826-2

Table des matières

PRÉFACEvii

INTRODUCTION1

PREMIÈRE PARTIE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CHAPITRE 1€DIFFÉRENTIABILITÉ........................................ 9

1.1 Introduction................................................. 9

1.2 Théorème des accroissements nis........................... 20

1.3 Théorème d"inversion locale.................................. 26

1.4 Théorème des fonctions implicites............................ 31

EXERCICES....................................................... 33 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 39 CHAPITRE 2€DIFFÉRENTIELLES D"ORDRE SUPÉRIEUR...................... 49

2.1 Différentielle seconde........................................ 49

2.2 Différentielle d"ordren....................................... 54

2.3 Formules de Taylor........................................... 58

EXERCICES....................................................... 64 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 67 ?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit ivTable des matières CHAPITRE 3€EXTREMA................................................ 75

3.1 Extrema libres............................................... 75

3.2 Extrema liés................................................. 77

3.3 Fonctions convexes.......................................... 80

3.4 Introduction au calcul des variations.......................... 83

EXERCICES....................................................... 87 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 91 CHAPITRE 4€FORMES DIFFÉRENTIELLES................................. 99

4.1 Champs de vecteurs et1-formes différentielles................ 99

4.2 Formes différentielles d"ordre supérieur....................... 101

4.3 Théorème de Poincaré....................................... 108

4.4 Théorème de Frobenius...................................... 114

4.5 Théorème de Stokes......................................... 117

DEUXIÈME PARTIE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

CHAPITRE 5€INTRODUCTION ET OUTILS DE BASE......................... 125

5.1 Modélisation et applications................................. 126

5.2 Résolution explicite.......................................... 135

5.3 Lemme de Gronwall......................................... 139

5.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz............................... 141

5.5 Théorème du ot............................................ 148

5.6 Équations aux différentielles totales........................... 153

EXERCICES....................................................... 157 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 161

Table des matièresv

CHAPITRE 6€ÉQUATIONS LINÉAIRES..................................... 169

6.1 Existence globale............................................ 169

6.2 Résolvante.................................................. 171

6.3 Coefcients constants....................................... 177

6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables........... 194

6.5 Coefcients périodiques et théorie de Floquet................ 204

EXERCICES....................................................... 210 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 213 CHAPITRE 7ۃQUATIONS AUTONOMES.................................. 221

7.1 Courbes intégrales........................................... 222

7.2 Flot et portraits de phase..................................... 227

7.3 Ensemblesv-limite.......................................... 234

EXERCICES....................................................... 239 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 245 CHAPITRE 8€STABILITÉ DES SOLUTIONS STATIONNAIRES.................. 259

8.1 Théorie de Lyapunov......................................... 259

8.2 Approche spectrale.......................................... 265

8.3 Points xes hyperboliques.................................... 270

8.4 Variétés invariantes.......................................... 276

8.5 Introduction aux bifurcations................................. 283

EXERCICES....................................................... 289 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 293

APPENDICE301

BIBLIOGRAPHIE303

INDEX306

?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit

Préface

Je fais partie de cette génération nourrie à l"analyse des équations aux dérivées par-

tielles (alors appelée abusivementanalyse numérique), dans l"idée que l"analyse des

équations différentielles ordinaires était " dépassée », au point qu"elle n"était guère

plus enseignée qu"aux détours de cours de géométrie ou de mécanique. J"ai néan- moins pu apprécier au fil des années la richesse des interactions entre un domaine traditionnellement réservé aux géomètres, celui dessystèmes dynamiques, et l"analyse

appliquée à des modèles divers, que ce soient des équations différentielles ordinaires,

des équations aux dérivées partielles, ou encore des équations différentielles fonction-

nelles. C"est ce qui m"a incitée à mettre en place un cours d"équations différentielles ordinaires en première année du master "MAIM» (Mathématiques et Applications, Ingénierie Mathématique) à Lyon 1. Cet ouvrage est issu des notes rédigées pour

l"occasion, et auparavant pour la préparation à l"épreuve de modélisation à l"agré-

gation, ainsi que de mes notes de calcul différentiel en troisième année de licence. La transformation en livre de ces notes éparses fut encouragée, sans qu"ils en aient nécessairement conscience, par plusieurs collègues : Michelle Schatzman et Denis Serre (que je remercie au passage pour leur fidèle et amical soutien), Francis Filbet (qui m"a fait bénéficier de sa toute fraîche expérience d"auteur chez Dunod), ainsi que ceux ayant manifesté leur intérêt pour mon "poly» (en ligne sur ma page personnelle). En espérant que cela en valait la peine, je remercie de tout coeur mes proches pour leur patience (et bien plus) pendant ces mois passés à remettre l"ouvrage sur le métier. Je tiens en outre à remercier Pascal Noble, avec qui j"ai eu plaisir à enseigner cette

matière et à qui je dois divers énoncés d"exercices, ainsi que des critiques constructives.

Quant aux exercices de calcul différentiel, ils proviennent pour l"essentiel de sujets d"examen posés en L3 : je remercie notamment Danièle Tarral, Laurent Pujo-Menjouet et Daniel Sondaz pour leurs contributions. Je remercie enfin Sarah Delcourte pour sa relecture attentive.