Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.
sol TD
CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1
F
Exercice 4 Variation de la constante. Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation.
fic
Les corrigés sont pour confirmer leurs justes réponses ou donner On appelle équation différentielle une équation où l'inconnue est une fonction f de IR.
annales maths tle d
22 janv. 2011 2.2 Exercices . ... 2.5 Corrigé du devoir . ... cours. Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions et.
ed
27 mai 2016 Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire. ... Ce fascicule est un support pour le cours d'équations différentielles ordinaires en ...
R R L
Corrigé. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Exercice 1.1. Rappel : solution d'une équation différentielle du premier ordre. L'équation différentielle.
corrige rappels
II-8- Exercices non corrigés ………………………………………………………………….38. III- Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté. III-1- Equation différentielle
Vibrations et Ondes F Cours et Exercices Corriges Partie I Vibrations
qui est une équation à variables séparables (voir l'exercice 42). Le premier exemple ci-desous est corrigé en détail. Pour les autres on indique seulement la
TD eq diff corr
Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la S'entrainer à la résolution des équations différentielles du mouvement ;.
MecDuPointMat Polycop Ex
208795
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2018 - 2019
Licence d"économie Cours de M. Desgraupes
MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
Corrigé du TD "Équations différentielles"Équations différentielles linéaires Corrigé ex. 30: Équations d"ordre 1 à coefficients constants
Équationy02y= 7
Solution particulière :
v(t) =72
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e2t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e2t72 Solution de l"équation générale avecy(0) = 5: y(t) =172 e2t72
Équation2y0+ 3y= 3t
Solution particulière :
v(t) =t23
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e32 t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e32 t+t23 Solution de l"équation générale avecy(0) =13 y(t) =e32 t+t23 1
Équationy03y= 2e3t+ 1
Solution particulière :
v(t) =13 (e3t+ 1)
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e3t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e3t13 (e3t+ 1) Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =23 e3t13 (e3t+ 1)Équationmy0y=e2t
On commence par supposer quem6=12
Solution particulière :
v(t) =e2t2m1
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et=m
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et=m+e2t2m1 Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =e2tet=m2m1Dans le cas oùm=12 , on trouve la solution particulièrev(t) = 2te2t. On a alors : y(t) =v(t) +w(t) = (2t+C)e2t Avec la condition initialey(0) = 0, la solution est finalementy(t) = 2te2t. 2 Corrigé ex. 31: Équations d"ordre 1 à coefficients variables Résoudre les équations différentielles à coefficients variables suivantes :
Équationy02ty= 4t
Solution particulière :
v(t) =2
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et2
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et22
Équationty0my=t
Solution particulière :
v(t) =tm lorsquem6=. Dans le cas particulier oùm=, on obtienty= tlogt.
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C tm Solution de l"équation générale (lorsquem6=) : y(t) =v(t) +w(t) =tm+C tm
Dans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).
Équation(t21)y0t1y=m
Solution particulière :
v(t) =mt L"équation homogène se décompose sous la forme w 0w =1t(t21)=1t +12
1t1+12
1t+ 1
On en déduit que
(logjwj)0= logjtj+12 logjt1j+12 logjt+ 1j 0 logpjt21jjtj! 0 Finalement la solution de l"équation homogène est (en supposant quet6= 0) : w(t) =Cpjt21jt 3
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =Cpjt21jt mt Corrigé ex. 32: Équations d"ordre 2 à coefficients constants Dans toutes les équations qui suivent, on utilise les mêmes conditions initiales y(0) =y0(0) =1.
Équationy00+ 3y0+ 2y=tet
Solution particulière :
v(t) =12 (t22t)et
Solution de l"équation homogène :
w(t) =et+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =12 (t22t4)et+e2tÉquationy004y= 10
Solution particulière :
v(t) =52
Solution de l"équation homogène :
w(t) =e2t+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =e2t+12 e2t52
Équationy006y0+ 9y=2e3t
Solution particulière :
v(t) =t2e3t
Solution de l"équation homogène :
w(t) = (t+)e3t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) = (t2+ 2t1)e3tÉquationy00+ 2y0+ 5y=et+ sin(2t) 4
Solution particulière :
v(t) =sin(2t)4 cos(2t)17 +et4
Solution de l"équation homogène :
w(t) =etsin(2t) +cos(2t) Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =et64 sin(2t)69 cos(2t)68 +sin(2t)4 cos(2t)17 +et4
Équation8y004y0+ 3y=3et
Solution particulière :
v(t) =15 et
Solution de l"équation homogène :
w(t) =et4 sinp5t4 +cosp5t4 Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =45 et4 cosp5t4 +p5 sin p5t4 15 etCorrigé ex. 33: Équation dépendant d"un paramètre (E)y00+ 4y0+my=e2t
33-1) L"équation homogène associée(H)est :
(H)w00+ 4w0+mw= 0
Le discriminant est :
0= 4m
1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.
Sim <4alors0>0et on a deux racines réelles distinctesr1etr2. La solution de(H)s"écrit : w(t) =k1er1t+k2er2t Sim= 4alors0= 0et on a une racine réelle doubler. La solution de(H) s"écrit : w(t) = (k1t+k2)ert Sim >4alors0<0et on a deux racines complexes conjuguées qu"on écrit sous forme algébriquez=+i. La solution de(H)s"écrit : w(t) =etk1cos(t) +k2sin(t) 5
1-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)
tendent vers 0 lorsquet!+1est donnée par les conditions de stabilité. Résultat de cours :si l"équation est notéew00+aw0+bw= 0, les conditions de stabilité s"expriment par les relations suivantes a >0 b >0Dans le cas présent, cela se ramène àm >0. 33-2)
2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a
prioriv(t) =C e2t. On en déduit quev0(t) =2C e2tetv00(t) = 4C e2t. D"où, en remplaçant dans l"équation(E):
4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t
On en tireC=1m4lorsquem6= 4.
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Corrigé du TD "Équations différentielles"Équations différentielles linéaires Corrigé ex. 30: Équations d"ordre 1 à coefficients constants
Équationy02y= 7
Solution particulière :
v(t) =72
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e2t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e2t72 Solution de l"équation générale avecy(0) = 5: y(t) =172 e2t72
Équation2y0+ 3y= 3t
Solution particulière :
v(t) =t23
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e32 t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e32 t+t23 Solution de l"équation générale avecy(0) =13 y(t) =e32 t+t23 1
Équationy03y= 2e3t+ 1
Solution particulière :
v(t) =13 (e3t+ 1)
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e3t
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e3t13 (e3t+ 1) Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =23 e3t13 (e3t+ 1)Équationmy0y=e2t
On commence par supposer quem6=12
Solution particulière :
v(t) =e2t2m1
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et=m
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et=m+e2t2m1 Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =e2tet=m2m1Dans le cas oùm=12 , on trouve la solution particulièrev(t) = 2te2t. On a alors : y(t) =v(t) +w(t) = (2t+C)e2t Avec la condition initialey(0) = 0, la solution est finalementy(t) = 2te2t. 2 Corrigé ex. 31: Équations d"ordre 1 à coefficients variables Résoudre les équations différentielles à coefficients variables suivantes :
Équationy02ty= 4t
Solution particulière :
v(t) =2
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et2
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et22
Équationty0my=t
Solution particulière :
v(t) =tm lorsquem6=. Dans le cas particulier oùm=, on obtienty= tlogt.
Solution de l"équation homogène :
w(t) =C tm Solution de l"équation générale (lorsquem6=) : y(t) =v(t) +w(t) =tm+C tm
Dans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).
Équation(t21)y0t1y=m
Solution particulière :
v(t) =mt L"équation homogène se décompose sous la forme w 0w =1t(t21)=1t +12
1t1+12
1t+ 1
On en déduit que
(logjwj)0= logjtj+12 logjt1j+12 logjt+ 1j 0 logpjt21jjtj! 0 Finalement la solution de l"équation homogène est (en supposant quet6= 0) : w(t) =Cpjt21jt 3
Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =Cpjt21jt mt Corrigé ex. 32: Équations d"ordre 2 à coefficients constants Dans toutes les équations qui suivent, on utilise les mêmes conditions initiales y(0) =y0(0) =1.
Équationy00+ 3y0+ 2y=tet
Solution particulière :
v(t) =12 (t22t)et
Solution de l"équation homogène :
w(t) =et+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =12 (t22t4)et+e2tÉquationy004y= 10
Solution particulière :
v(t) =52
Solution de l"équation homogène :
w(t) =e2t+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =e2t+12 e2t52
Équationy006y0+ 9y=2e3t
Solution particulière :
v(t) =t2e3t
Solution de l"équation homogène :
w(t) = (t+)e3t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) = (t2+ 2t1)e3tÉquationy00+ 2y0+ 5y=et+ sin(2t) 4
Solution particulière :
v(t) =sin(2t)4 cos(2t)17 +et4
Solution de l"équation homogène :
w(t) =etsin(2t) +cos(2t) Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =et64 sin(2t)69 cos(2t)68 +sin(2t)4 cos(2t)17 +et4
Équation8y004y0+ 3y=3et
Solution particulière :
v(t) =15 et
Solution de l"équation homogène :
w(t) =et4 sinp5t4 +cosp5t4 Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =45 et4 cosp5t4 +p5 sin p5t4 15 etCorrigé ex. 33: Équation dépendant d"un paramètre (E)y00+ 4y0+my=e2t
33-1) L"équation homogène associée(H)est :
(H)w00+ 4w0+mw= 0
Le discriminant est :
0= 4m
1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.
Sim <4alors0>0et on a deux racines réelles distinctesr1etr2. La solution de(H)s"écrit : w(t) =k1er1t+k2er2t Sim= 4alors0= 0et on a une racine réelle doubler. La solution de(H) s"écrit : w(t) = (k1t+k2)ert Sim >4alors0<0et on a deux racines complexes conjuguées qu"on écrit sous forme algébriquez=+i. La solution de(H)s"écrit : w(t) =etk1cos(t) +k2sin(t) 5
1-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)
tendent vers 0 lorsquet!+1est donnée par les conditions de stabilité. Résultat de cours :si l"équation est notéew00+aw0+bw= 0, les conditions de stabilité s"expriment par les relations suivantes a >0 b >0Dans le cas présent, cela se ramène àm >0. 33-2)
2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a
prioriv(t) =C e2t. On en déduit quev0(t) =2C e2tetv00(t) = 4C e2t. D"où, en remplaçant dans l"équation(E):
4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t
On en tireC=1m4lorsquem6= 4.