Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.
sol TD
CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1
F
Exercice 4 Variation de la constante. Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation.
fic
Les corrigés sont pour confirmer leurs justes réponses ou donner On appelle équation différentielle une équation où l'inconnue est une fonction f de IR.
annales maths tle d
22 janv. 2011 2.2 Exercices . ... 2.5 Corrigé du devoir . ... cours. Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions et.
ed
27 mai 2016 Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire. ... Ce fascicule est un support pour le cours d'équations différentielles ordinaires en ...
R R L
Corrigé. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Exercice 1.1. Rappel : solution d'une équation différentielle du premier ordre. L'équation différentielle.
corrige rappels
II-8- Exercices non corrigés ………………………………………………………………….38. III- Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté. III-1- Equation différentielle
Vibrations et Ondes F Cours et Exercices Corriges Partie I Vibrations
qui est une équation à variables séparables (voir l'exercice 42). Le premier exemple ci-desous est corrigé en détail. Pour les autres on indique seulement la
TD eq diff corr
Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la S'entrainer à la résolution des équations différentielles du mouvement ;.
MecDuPointMat Polycop Ex
208597
Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année1 Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année
Corrigé
1
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
Exercice 1.1
Rappel : solution d"une équation différentielle du premier ordre
L"équation différentielle
y ?(x) +a(x)y(x) = 0 admet pour solutionx?→Kexp(-? a) oùKest une constante.
1.1.1On désire résoudre
y ?(x) +y(x) = 2 + 2x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène associée y ?(x) +y(x) = 0
Cette équation a pour solution générale
x?→Kexp(-x) oùKest une constante.
Rappel : Méthode de variation de la constante
On cherche à résoudre l"équation différentielle y ?(x) +a(x)y(x) =b(x) SiyHest une solution de l"équation différentielle homogène y ?(x) +a(x)y(x) = 0 alors laméthode de variation de la constanteconsiste à rechercher une so- lution particulière de l"équation différentielle avec second membre sous la forme x?→K(x)yH(x)
1généré avec LATEX2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes
sont les bienvenus àperrier@math.u-bordeaux1.fr
2Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année
Afin de déterminer la solution de l"équation avec second membre, on cherche une solution de celle-ci sous la formex?→Kexp(-x), oùKest une fonction que l"on va déterminer. Il vient alors y ?(x) +y(x)=K?(x)e-x-K(x)e-x+ K(x)e-x =K ?(x)e-x y ?(x) +y(x)=2 + 2x c"est à dire queK?(x) = 2(1 +x)ex Il reste à intégrerK(on intègre par parties)
K(x)=?
2(1 +x)exdx
=[2(1 +x)ex]-? 2e xdx
K(x)=2xex+ C
oùCest une constante. Finalement, l"ensemble des solutions del"équation différen- tielle est {x?→(2x+ K)e-xK?R}.
1.1.2On cherche à résoudre l"équation différentielle
y ?(x) + 4y(x) = sin(3x)e-4x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène y ?(x) + 4y(x) = 0 Celle-ci admet pour solution les fonctions de la formex?→Ke-4x, oùKest une constante. On cherche maintenant une solution de l"équation différentielle avec second membre sous la formex?→K(x)e-4x, oùKest une fonction. On a alors y ?(x) + 4y(x) = K?(x)e-4x= sin(3x)e-4x d"oùK?(x) = sin(3x) soitK(x) =-cos(3x) 3+ C Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?
K-cos(3x)
3? e -4xK?R? Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année3
Exercice 1.2
1.2.1On cherche à résoudre l"équation différentielle
2x2y?(x) +y(x) = 1
On commence par résoudre l"équation différentielle homogène
2x2y?(x) +y(x) = 0
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme x?→exp? -?du 2u2? = Kexp?12x? OùKest une constante. Cherchons à présent une solution de l"équation différentielle avec second membre, sous la forme x?→K(x)exp?1 2x?
On a alors
?y(x)=K(x)exp?1 2x? y ?(x)=K?(x)exp?1 2x? -K(x)2x2exp?12x? d"oùK?(x) =1
2x2exp?12x?
On en déduit queK(x) = exp?1
2x? Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?
K + exp?
-1 2x?? exp?12x? K?R?
1.2.2On cherche à résoudre l"équation différentielle
xy ?(x) =y(x)(1-xtanx) +x2cosx Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène xy ?(x)-y(x)(1-xtanx) = 0 Cette équation différentielle a pour solution x?→exp? ??1 u-tanu? du?
4Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année
En outre?
?1u-tanu? du=?1udu-?sinucosudu =log|x|+ log|cosx| Les solutions de l"équation différentielle homogène sont donc de la forme x?→K|xcosx| oùKest une constante. Afin de déterminer une solution de l"équation avec second membre, on cherche des solutions sous la forme x?→K(x)|xcosx| En injectant cette dernière expression dans l"équation, onobtient K ?(x)|xcosx|=xcosx d"oùK?(x) =xcosx |xcosx|=ε oùεvaut1ou-1, selon le signe dexet decosx:
ε= 1six??
-2kπ-3π
2;-2kπ-π2?
k?N ou six??
0;π
2? ou six??
2kπ+3π
2;2kπ+5π2?
k?N
ε=-1six??
2kπ+π
2;2kπ+3π2?
k?N ou six?? 2;0? ou six?? -2kπ-5π
2;-2kπ-3π2?
k?N La fonctionx?→εxest une primitive dex?→εx, et on en déduit que l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est {x?→(εx+ K)|xcosx|K?R}.
Exercice 1.3
On cherche à résoudre l"équation différentielle (x2-1)y?+xy+ 1 = 0 Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène associée (x2-1)y?+xy= 0
On a alors
y(x) = Kexp? ?-xdx x2-1? = Kexp? -12log??x2-1??? =K?|x2-1| Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année5 oùKest une constante. Cela veut dire qu"on a y(x) =?????K ⎷x2-1si|x|>1 K ⎷1-x2si|x|<1 ou encorey(x) =K ?ε(x2-1) avec
ε= 1si|x|>1
ε=-1si|x|<1
Afin de résoudre l"équation différentielle avec second membre, on en cherche une solution sous la forme x?→K(x) ?ε(x2-1)
Il vient alors(x2-1)y?+xy= (x2-1)K?(x)
?ε(x2-1)=-1 soitK?(x) =-?
ε(x2-1)
x2-1=-ε?ε(x2-1)
Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année1 Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année
Corrigé
1
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
Exercice 1.1
Rappel : solution d"une équation différentielle du premier ordre
L"équation différentielle
y ?(x) +a(x)y(x) = 0 admet pour solutionx?→Kexp(-? a) oùKest une constante.
1.1.1On désire résoudre
y ?(x) +y(x) = 2 + 2x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène associée y ?(x) +y(x) = 0
Cette équation a pour solution générale
x?→Kexp(-x) oùKest une constante.
Rappel : Méthode de variation de la constante
On cherche à résoudre l"équation différentielle y ?(x) +a(x)y(x) =b(x) SiyHest une solution de l"équation différentielle homogène y ?(x) +a(x)y(x) = 0 alors laméthode de variation de la constanteconsiste à rechercher une so- lution particulière de l"équation différentielle avec second membre sous la forme x?→K(x)yH(x)
1généré avec LATEX2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes
sont les bienvenus àperrier@math.u-bordeaux1.fr
2Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année
Afin de déterminer la solution de l"équation avec second membre, on cherche une solution de celle-ci sous la formex?→Kexp(-x), oùKest une fonction que l"on va déterminer. Il vient alors y ?(x) +y(x)=K?(x)e-x-K(x)e-x+ K(x)e-x =K ?(x)e-x y ?(x) +y(x)=2 + 2x c"est à dire queK?(x) = 2(1 +x)ex Il reste à intégrerK(on intègre par parties)
K(x)=?
2(1 +x)exdx
=[2(1 +x)ex]-? 2e xdx
K(x)=2xex+ C
oùCest une constante. Finalement, l"ensemble des solutions del"équation différen- tielle est {x?→(2x+ K)e-xK?R}.
1.1.2On cherche à résoudre l"équation différentielle
y ?(x) + 4y(x) = sin(3x)e-4x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène y ?(x) + 4y(x) = 0 Celle-ci admet pour solution les fonctions de la formex?→Ke-4x, oùKest une constante. On cherche maintenant une solution de l"équation différentielle avec second membre sous la formex?→K(x)e-4x, oùKest une fonction. On a alors y ?(x) + 4y(x) = K?(x)e-4x= sin(3x)e-4x d"oùK?(x) = sin(3x) soitK(x) =-cos(3x) 3+ C Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?
K-cos(3x)
3? e -4xK?R? Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année3
Exercice 1.2
1.2.1On cherche à résoudre l"équation différentielle
2x2y?(x) +y(x) = 1
On commence par résoudre l"équation différentielle homogène
2x2y?(x) +y(x) = 0
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme x?→exp? -?du 2u2? = Kexp?12x? OùKest une constante. Cherchons à présent une solution de l"équation différentielle avec second membre, sous la forme x?→K(x)exp?1 2x?
On a alors
?y(x)=K(x)exp?1 2x? y ?(x)=K?(x)exp?1 2x? -K(x)2x2exp?12x? d"oùK?(x) =1
2x2exp?12x?
On en déduit queK(x) = exp?1
2x? Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?
K + exp?
-1 2x?? exp?12x? K?R?
1.2.2On cherche à résoudre l"équation différentielle
xy ?(x) =y(x)(1-xtanx) +x2cosx Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène xy ?(x)-y(x)(1-xtanx) = 0 Cette équation différentielle a pour solution x?→exp? ??1 u-tanu? du?
4Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année
En outre?
?1u-tanu? du=?1udu-?sinucosudu =log|x|+ log|cosx| Les solutions de l"équation différentielle homogène sont donc de la forme x?→K|xcosx| oùKest une constante. Afin de déterminer une solution de l"équation avec second membre, on cherche des solutions sous la forme x?→K(x)|xcosx| En injectant cette dernière expression dans l"équation, onobtient K ?(x)|xcosx|=xcosx d"oùK?(x) =xcosx |xcosx|=ε oùεvaut1ou-1, selon le signe dexet decosx:
ε= 1six??
-2kπ-3π
2;-2kπ-π2?
k?N ou six??
0;π
2? ou six??
2kπ+3π
2;2kπ+5π2?
k?N
ε=-1six??
2kπ+π
2;2kπ+3π2?
k?N ou six?? 2;0? ou six?? -2kπ-5π
2;-2kπ-3π2?
k?N La fonctionx?→εxest une primitive dex?→εx, et on en déduit que l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est {x?→(εx+ K)|xcosx|K?R}.
Exercice 1.3
On cherche à résoudre l"équation différentielle (x2-1)y?+xy+ 1 = 0 Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène associée (x2-1)y?+xy= 0
On a alors
y(x) = Kexp? ?-xdx x2-1? = Kexp? -12log??x2-1??? =K?|x2-1| Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année5 oùKest une constante. Cela veut dire qu"on a y(x) =?????K ⎷x2-1si|x|>1 K ⎷1-x2si|x|<1 ou encorey(x) =K ?ε(x2-1) avec
ε= 1si|x|>1
ε=-1si|x|<1
Afin de résoudre l"équation différentielle avec second membre, on en cherche une solution sous la forme x?→K(x) ?ε(x2-1)
Il vient alors(x2-1)y?+xy= (x2-1)K?(x)
?ε(x2-1)=-1 soitK?(x) =-?
ε(x2-1)
x2-1=-ε?ε(x2-1)