lna<0?a<1.
lna>0?a>1.
Exercices d"application :
a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3. On obtient alors :x=e7-2
3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.
c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante). On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?
d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x
x 2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.
Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[. Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.
Δ=37>0; on trouvex1=1-?
37
2?D;x2=1+?
37
2>3 doncx2?D.
S=? 1+? 37
2? II Propriétés algébriques
II.1 Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb Démonstration :
aetbsont deux réels strictement positifs. On poseA=lnabetB=lna+lnb.
Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.
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9 II.2 Logarithme d"un quotient
Propriété
Poura>0, ln?1a?
=-lna. Démonstration :
a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna. Propriété
Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb Démonstration:
lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb. II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs
Propriété
Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan. Autre écriture (symbolique) : ln?
n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur). II.4 Logarithme d"une puissance
Propriété
Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa. n=0 : immédiat
n<0 : ln?an?=ln?1
a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna. II.5 Logarithme d"une racine carrée
Propriété
Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.
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9 Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.
Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.
On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.
Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme. 1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)
2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)
III Etude de la fonction logarithme
III.1 Limitesen 0 et en+∞
Propriétés
limx→+∞lnx=+∞
limx→0+lnx=-∞
Démonstration:
SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞. Pourx>0, on poseX=1
x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.
III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme Propriété
La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[. De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1
x. Démonstration :
On admet la continuité.
Dérivabilité :
Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0. On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.
ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb. La fonction ln est continue, donc lim
h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be
Fonctions logarithmes népérien et décimal Table des matières
I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I Définition
I.1 Définitions
Rappel :
Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction). D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que
e x=y. (voir interprétationgraphique). Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-
dent unique par cette fonction exponentielle. Définition
On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey. Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe
le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx. Conséquences :
a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x. Démonstration :
a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y. Autres conséquences:
ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0. lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).
Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)). Propriété
Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-
rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :
M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également. Page 2/
9 O11 y=x y=lnxy=ex Page 3/
9 I.2 Sens de variation
Propriété
La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[. Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante. Conséquences:
Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.
lna=lnb?a=b.
lna lna<0?a<1.
lna>0?a>1.
Exercices d"application :
a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3. On obtient alors :x=e7-2
3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.
c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante). On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?
d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x
x 2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.
Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[. Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.
Δ=37>0; on trouvex1=1-?
37
2?D;x2=1+?
37
2>3 doncx2?D.
S=? 1+? 37
2? II Propriétés algébriques
II.1 Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb Démonstration :
aetbsont deux réels strictement positifs. On poseA=lnabetB=lna+lnb.
Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.
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9 II.2 Logarithme d"un quotient
Propriété
Poura>0, ln?1a?
=-lna. Démonstration :
a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna. Propriété
Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb Démonstration:
lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb. II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs
Propriété
Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan. Autre écriture (symbolique) : ln?
n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur). II.4 Logarithme d"une puissance
Propriété
Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa. n=0 : immédiat
n<0 : ln?an?=ln?1
a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna. II.5 Logarithme d"une racine carrée
Propriété
Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.
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9 Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.
Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.
On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.
Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme. 1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)
2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)
III Etude de la fonction logarithme
III.1 Limitesen 0 et en+∞
Propriétés
limx→+∞lnx=+∞
limx→0+lnx=-∞
Démonstration:
SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞. Pourx>0, on poseX=1
x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.
III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme Propriété
La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[. De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1
x. Démonstration :
On admet la continuité.
Dérivabilité :
Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0. On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.
ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb. La fonction ln est continue, donc lim
h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be
- relation logarithme décimal et népérien