Fonctions logarithmes népérien et décimal









Fonctions logarithmes népérien et décimal

La fonction logarithme népérien notée ln
TS courslogarithme


La fonction logarithme décimal

La fonction logarithme décimal. Propriétés analytiques. Pour x strictement positif log(x) = ln(x) ln(10). (avec ln(10) = 2
LogarithmeDecimal


CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME

FONCTION. LOGARITHME DECIMAL. 1. Fonction népérien (logarithme d'une fonction composée). Théorème. Si u 
cours chap


FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

fonction logarithme décimale notée log est définie par : log(x) = lnx ln10. Conséquences : a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln.
LogTS





FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. En 1614 un mathématicien écossais
LogTT


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui mais il faut comprendre qu'à cette époque
LogT


LOGARITHME NEPERIEN

On note a = ln b ce qui se lit logarithme népérien de b . On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ] 0 ...
ln


Logarithme décimal et acoustique (calculatrice algorithme)

Votre voisin François chanteur amateur
logaritme decimal et acoustique





Etude des besoins mathématiques en physique et en chimie

https://pedagogie.ac-orleans-tours.fr/fileadmin/user_upload/maths/Dossiers_acad%C3%A9miques/Progressions/TermS/2-Lien_2_Logarithmes_pour_le_physicien.pdf


Formulaire : La fonction logarithme népérien

Formulaire : La fonction logarithme népérien. • Fonction continue et dérivable sur ]0;+∞[ Propriétés de la fonction logarithme décimal. • log(10) = 1.
Formulaire logarithme


210786 Fonctions logarithmes népérien et décimal Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Définition

I.1 Définitions

Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que

e x=y. (voir interprétationgraphique).

Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-

dent unique par cette fonction exponentielle.

Définition

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey.

Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe

le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.

Autres conséquences:

•ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.

•lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).

•Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).

Propriété

Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-

rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.

Démonstration :

M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.

Page 2/

9 O11 y=x y=lnxy=ex

Page 3/

9

I.2 Sens de variation

Propriété

La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante.

Conséquences:

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

•lna=lnb?a=b.

•lna

•lna<0?a<1.

•lna>0?a>1.

Exercices d"application :

a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3.

On obtient alors :x=e7-2

3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.

c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante).

On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?

d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx

On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x

x

2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.

Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[.

Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.

Δ=37>0; on trouvex1=1-?

37

2?D;x2=1+?

37

2>3 doncx2?D.

S=? 1+? 37
2?

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Théorème

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.

Page 4/

9

II.2 Logarithme d"un quotient

Propriété

Poura>0, ln?1a?

=-lna.

Démonstration :

a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna.

Propriété

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb

Démonstration:

lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb.

II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs

Propriété

Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan.

Autre écriture (symbolique) : ln?

n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur).

II.4 Logarithme d"une puissance

Propriété

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. •n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

•n=0 : immédiat

•n<0 : ln?an?=ln?1

a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d"une racine carrée

Propriété

Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.

Page 5/

9

Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.

Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.

Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme.

1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limitesen 0 et en+∞

Propriétés

•limx→+∞lnx=+∞

•limx→0+lnx=-∞

Démonstration:

•SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞.

•Pourx>0, on poseX=1

x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim

x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

Propriété

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1

x.

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.

ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb.

La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Définition

I.1 Définitions

Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que

e x=y. (voir interprétationgraphique).

Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-

dent unique par cette fonction exponentielle.

Définition

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey.

Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe

le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.

Autres conséquences:

•ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.

•lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).

•Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).

Propriété

Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-

rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.

Démonstration :

M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.

Page 2/

9 O11 y=x y=lnxy=ex

Page 3/

9

I.2 Sens de variation

Propriété

La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante.

Conséquences:

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

•lna=lnb?a=b.

•lna

•lna<0?a<1.

•lna>0?a>1.

Exercices d"application :

a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3.

On obtient alors :x=e7-2

3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.

c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante).

On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?

d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx

On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x

x

2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.

Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[.

Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.

Δ=37>0; on trouvex1=1-?

37

2?D;x2=1+?

37

2>3 doncx2?D.

S=? 1+? 37
2?

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Théorème

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.

Page 4/

9

II.2 Logarithme d"un quotient

Propriété

Poura>0, ln?1a?

=-lna.

Démonstration :

a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna.

Propriété

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb

Démonstration:

lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb.

II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs

Propriété

Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan.

Autre écriture (symbolique) : ln?

n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur).

II.4 Logarithme d"une puissance

Propriété

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. •n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

•n=0 : immédiat

•n<0 : ln?an?=ln?1

a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d"une racine carrée

Propriété

Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.

Page 5/

9

Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.

Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.

Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme.

1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limitesen 0 et en+∞

Propriétés

•limx→+∞lnx=+∞

•limx→0+lnx=-∞

Démonstration:

•SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞.

•Pourx>0, on poseX=1

x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim

x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

Propriété

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1

x.

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.

ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb.

La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be
12345 Next
  1. relation logarithme décimal et népérien