1 montrer que ( ) nn v est arithmétique 2 déterminervn puis un en fonction den on pose 1 1 n n n k k k k S u et T u = = = =∑ ∏; ∀ ∈n ℕ* 3 montrer que 3 3 n 2n n S + = − et ( 1) 2 ( 1) 2 n n n n T + + = exercice N°6 (n) n u une suite telle que 0 1 0 4 n n u u n u + = = − 1 calculer 1 u; 2 u; 3 u et 4 u 2 montrer que
un réel tel que : nI uM n On dit que la suite est minorée s’il existe un réel tel que : mu n On dit que la suite ( est bornée si elle est majorée et minorée Exemple :soit n n 1 v la suite définie par : v n n n 1 n est minorée par 0 2)Montrer que est majorée par 1 2 3)Que peut-on déduire ?
Montrer enfin que la série de terme général z n converge et que : ∑ +∞ n=1 z n ≤ e∑ +∞ n=1 x 3) a) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 et pour tout k élément de 1, 1n− ", on a : (1)/ / 111 ln ln ln kn kn kk xdx nn n n ⎛⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜⎟ ⎜ ⎟≤≤ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∫ b) Calculer l
nn 2 u uu ° ® °¯ 2 1- Calculer les 3 premiers termes 2- Montrer par récurrence que : : 0d u n 3- Montrer par récurrence que : : u n d 2 Solution :1)on a uu nn 1 2 Pour n=0 on a: uu 10 2 donc u 1 2 Pour n=1 on a: uu 21 2 donc u 2 22 Pour n=2 on a: uu 32 2 donc u 3 222 2) Montrons par récurrence que : : 1étapes : l’initialisation
1n a- Montrer que n IN, x n I b- Montrer que n IN, 5 1 3 1 x n c- c) En déduire que (x n) est convergente Trouver sa limite 6) Donner une valeur approchée de à 10-3 près B) 1°/ Montrer que n IN*, l’équation f (x) = n admet une solution n unique 2°/ Etablir que : f (en) n En déduire que n e n
1) Montrer que *,0 tnu n; en déduire la suite u n converge vers 0 2) Etudier la nature de la série de terme général EXERCICE 7: La suite u 1 et n nt0 est donnée par : 01 u n u n u u e nn 1) Montrer que nu n 0 Etudier la monotonie de la suite et en déduire que la suite converge vers un réel L que l’on précisera 2) Montrer que 1 0
points fixes que l’on déterminera b) Etudier la position relative des courbes Cn et Cn 1+ pour n 0> 2 a) Justifier l'existence de Un sans le calculer b) Montrer que la suite (U) ∈n n IN est décroissante et interpréter graphiquement c) Montrer que pour tout n 0>: n 1 1 U 3(n 1) 1 n + ≤ ≤ + En déduire n n lim U →+∞
(a)Montrer que le problème se ramène à démontrer que fna+2kp; n2Net k 2Zgest dense dans R (b)Montrer que E = fna+2kp; n 2N et k 2Zgest dense dans R (par l’absurde en supposant que inf(E\R +)>0 pour en déduire que a 2p 2Q) (c)Conclure Correction H [005247] Exercice 29 **** Montrer que l’ensemble E des réels de la forme u
Montrer que (x n) converge et déterminer sa limite 3 Montrer que : a) x n˘ 1 n b) xn= o 1 n c) x n= 1 n + 1 n n+1 +o 1 n HHHI Exercice 30 Pour n2N on considère la fonction f n: x7ex+x2 nxde R dans R 1 Soit n2N Montrer que f npossède un minimum m natteint en un unique réel x nvérifiant x n 0 et : exn +2x n= n 2 Montrer que (x n
On dit que la suite(un) admet pour limite -∞ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont inférieur à A à partir d'un certain rang Il existe donc un entiern0 tel que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal àn0, on aitun
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DIVISIBILITE ET CONGRUENCES
Montrer que A est divisible par 3 Les restes possibles de la division euclidienne de n par 3 sont 0, 1 et 2 Donc n s’écrit 3k, 3k +1 ou 3k +2, k étant un entier relatif 1er cas n = 3k alors A = 3×k(9k2 +5); k(9k2 +5) est un entier relatif, donc A est divisible par 3 2ème cas n = 3k +1 alors A = (3k +1)(9k2 +6k +6) = 3(3k+1)(3k2 +2k+2); (3k +1)(3k2 +2k+2) est
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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5 Par exemple : 21 – 6 = 15 qui est divisible par 5 On dit que 21 et 6 sont congrus modulo 5 Définition : Soit n un entier naturel non nul Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible Taille du fichier : 1MB
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Feuille 5 : Arithm´etique
Exercice 1 Montrer que pour tout n 2 N : 1 n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, 2 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120 Solution 1 24 = 2 · 3 · 4 De quatre nombres cons´ecutifs, un est divisible par 2 et un autre par 4, puisque les r´esidus modulo 4 sont 0, 1, 2 et 3 Leur produit est donc divisible par 8 De mˆeme, de trois nombres
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POLYNOMESˆ - Université Paris-Saclay
(a) Montrer que, si les couples (U 1,V 1) et (U 2,V 2) v´erifient le th´eor`eme de Bezout pour A et B, le polynome V 1 −V 2 (resp le polynˆome U 1 −U 2) est divisible par A (resp B) (b) Montrer qu’il existe un unique couple (U 0,V 0) v´erifiant : (i) AU 0 +BV 0 = 1 (ii) deg(U 0) < deg(B) (iii) deg(V 0) < deg(A) (c) Trouver, en fonction de (U 0,V
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Les congruences Principe des congruences
Dire qu’un nombre a est divisible par n , c’est équivalent à : Dire que deux nombres a et b ont même reste dans la division euclidienne par n , c’est équivalent à Montrer des divisibilités Quand on demande si une expression est divisible par un nombre , on peut facilement utiliser une table de congruence Exemple 1 Pour quelles valeurs de x , 3x² - 5x + 7 est-il divisible par 4 ?Taille du fichier : 166KB
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Correction Devoir surveillé n°2 23/10/12
1 Démontrer que n² + 3n + 2 est divisible par n + 1 Après calcul du discriminant, on peut factoriser n² + 3n + 2 sous la forme (n + 1)(n + 2) Comme n + 2 appartient à ℕ, on peut dire que n² + 3n + 2 est divisible par n + 1 2 Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n² + 15n + 19 est divisible par n + 1
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TS spécialité DS1 3/10/11
Démontrer par$disjonctiondes$cas$que , pour tout entier naturel n , n(n+1)(2n+1) est divisible par 3 Exercice 3 : Pour quelles valeurs de l’entier relatif n la fraction n+8 2n –5 est-elle elle-même un entier ? Exercice 4 : 1)Vérifier$que(n+1)3=n2(n+3)+$3n$+$1$ 2)Pour$$n$∈$IN$*onposea=$$(n+1)3etb=n²$ $
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Arithmétique dans Z - Exo7
1 Montrer que X est non vide 2 Montrer que le produit de nombres de la forme 4k+1 est encore de cette forme 3 On suppose que X est fini et on l’écrit alors X =fp 1;:::;p ng Soit a=4p 1p 2:::p n 1 Montrer par l’absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k+3 4 Montrer que ceci est impossible et donc que X est infini Correction H Vidéo [000348] 3Taille du fichier : 186KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que 8k 2Z; P(n+km) est un entier divisible par m 2 Montrer qu’il n’existe pas de polynômes non constants à coefficients entiers tels que P(n) soit premier pour tout entier n Correction H [005321] Exercice 10 *** Polynômes P vérifiant P(Z)ˆZ Soit E la partie de C[X] formée des polynômes P vérifiant 8a2Z; P(a)2Z 1 On pose PTaille du fichier : 235KB
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I7 Anneaux de polynˆomes
tels que x3 +y3 = z3 (i) Montrer que l’on peut supposer x,y,z premiers entre eux, ce que l’on suppose dans la suite (ii) Montrer que θ = i √ 3 est premier dans A (iii) Montrer que tout ´el´ement de A est congru a 0,1 ou −1 modulo θ (iv) Soit ξ et η dans A non divisibles par θ Montrer que ξ
Exercice 12 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans
FDM TD
2 Pour montrer que, pour tout entier naturel n, le nombre n(n4 – 1) est divisible par 30, il suffit de montrer que ce
ts spe ds cor
Exercise 3 Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4 Soit n = 2k + 1 un nombre impair ( k entier) Le nombre impair
exar divis cor
Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n2 – 1 est divisible par 8 Si n est impair alors n≡1 2 donc il existe p appartenant à ℕ tel que n=2 p 1
Cfeuille
Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8 Exercice 5 Montrer que
selcor
Démontrer que a et b sont divisibles par 6 2 Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout n∈ℕ que n3 + 5n est un multiple de 6
divisibilite nombres premiers spe exer
Démontrer que quel que soit l'entier naturel n le nombre D=3n+ 3−44 n+ 2 est divisible par 11 EXERCICE 2 1 Dans le système de numération de base 6,
arithmetique congruences criteres divisibilite ex
On emploie aussi l'expression " est divisible par " pour dire Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9 Exercice 4
extrait C A me math
0 est divisible par tout entier relatif Propriété Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible par n Démontrer une congruence :
DivisibTS
5 nov 2013 · Exercice 2 Pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5, Montrer que l' entier p² - 1 est divisible par 24 (On montrera que p² - 1 est
DS cor
1. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le reste de la division euclidienne.
Démontrer que pour tout entier n (n ? 1) 30n + 7 n'est jamais la somme de 3. En déduire que p2 ? 1 est divisible par 24. ???. 1. 3 est premier et ...
2 n'est pas rationnel. [000256]. Exercice 252. Montrer que ?n ? N : n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120.
4) 7 est un diviseur de 24. Correction. 1) VRAI : 36 est un multiple de 12 car 36 = × 12 avec =3. 2) FAUX : 28 n'est pas un multiple de 8 car il
Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 n(n + 1)(n + ...
Exercice 5. 1. L'entier n est un multiple de 12. Écrire n sous forme littérale. 2. En utilisant cette écriture montrer que n est un multiple de 4. 3.
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n4 +6n3 +11n2 +6n+1 = (n2 +3n+1)2 avec n2 +3n+1 entier naturel. Correction de l'exercice 2 ?. 1. Soit n un entier relatif. Si n est
Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 36* Déterminer toutes les suites (an)(n ? 1) d'entiers ...
conclusion Pour tout entier naturel n 44n+2 - 3n+3 est divisible par 11. Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas.
1 Montrer que 10n+1 9n 10 est divisible par 9 2 On appelle u n le nombre dont l’ ecriture d ecimale est 1:::1 (avec n fois le chi re 1) Exprimez u n en fonction de n 3 Calculez u 1 + u 2 + :::+ u n en fonction de n 4 D eduisez-en que 10n+1 9n 10 est divisible par 81 Exercice 6 (Application des congruences : la preuve par 9)
Exercice 8 Montrer que 8n 2N : n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24; n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120: Exercice 9 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais egal a 3 Exercice 10 D emontrer que le nombre 7n + 1 est divisible
3 – Montrer que 291 n’est pas premier et que 127 est premier Montrer que 291 n’est pas un nombre premier ? On teste la divisibilité de 291 par 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 ? Or 291 impair donc n’est pas divisible par 2 ? On calcule 291 17;0587 ? On a 2 + 9 + 1 = 12 donc 291 est divisible par 3 D’où 291 n’est pas un nombre
1 Montrer que ? est stable par produit (on pourra utiliser des polynômes complexes bien choisis) 3 Inversement soit P?R[X] tel que ?x?RP(x) ? 0 : (a)Montrer que toutes les racines réelles de Psont d'ordre de multiplicité pair
nn k n k; 3 6 ( 1)(2 1) ² 0 + + ? = = nn n k n k; 4 3 2 0 2 ( 1) + ? = = nn k n k 4 Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence la propriété suivante : P(n) : 10n - (-1)n est divisible par 11 Exercice 18 a Partager un carré en 4 carrés puis en 6 7 8 9 et 10 carrés b Peut-on partager un carré en 3 ou 5 carrés?
Quels sont les nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9 ?
NB : Ii y a des nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9. Exemple3 : 11745 est à la fois divisible par 3 et par 9 car 1+1+7+4+5= 18, qui est à la fois multiple de 3 et de 9 Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 3 ou de 9.
Quels sont les critères de divisibilité d’un nombre entier par un autre non nul ?
On revient sur la division euclidienne d’un nombre entier par un autre non nul et on précise le vocabulaire qui y est attaché : dividende, diviseur, quotient et reste. On aborde les notions de multiple et de diviseur et on énonce les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9. Un problème d’œufs…
Comment calculer les expressions non divisibles ?
4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32 7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35 Expressions non divisibles Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3.
Comment calculer la divisibilité par 3 ?
Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas. Exemples: 7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc. Quotient d'une division par 3 L'entierde la divisionpar 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo3 par 3. Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3
Feuille 5 : Arithmétique