que Z n[X] est d´enombrable 2 Puisque Z [X] = S nZ [X] est une union d´enombrable d’ensembles d enombrables,´ Z [X] est lui memeˆ denombrable Si l’on note´ Z(P) l’ensemble des racines du polynomeˆ P 2Z [X], cet ensemble est fini et l’ensemble des nombres algebrique peut s’´ ecrire´ S P2Z [X] Z(P) L’ensemble des nombres
Preuve Par l’absurde Comme Q est d´enombrable, si R\Q ´etait d´enombrable, la r´eunion R serait d´enombrable, contradiction D´efinition 12 Un nombre r´eel ou complexe x est alg´ebrique s’il existe un polynoˆme P non nul, a` coefficients entiers, tel que P(x) = 0 Un nombre qui n’est pas alg´ebrique est dit transcendant
Soit E un ensemble E est dénombrable lorsque E est fini ou lorsque E est en bijection avec N (E est alors infini dénombrable) Exemples : N est dénombrable L’ensemble des nombres pairs P est dénombrable En effet : k k P 2 N est bijective L’ensemble Z est dénombrable N N est dénombrable : 4 (4,0) (4,1) 3 (3,0) (3,1)
Commentaire 2 Si ϕest une bijection de Esur N, alors ϕ−1 est une bijection de Nsur Eet si ϕest une bijection de N sur E, alors ϕ−1 est une bijection de Esur N Donc, on a aussi : Eest dénombrable si et seulement si il existe une bijection de Esur N Exemple 1 Soit ϕ : N → Z n 7→ n 2 si nest pair − n+1 2 si nest impair est une
C’est un exercice classique que de montrer qu’un sous-groupe Gde (R,+)est soit nul, soit de la forme aZ avec a>0 (lorsque inf (G∩R∗ +)>0), soit dense dans R (lorsque inf (G∩R∗+) =0) Ainsi, il est facile de construire des groupes denses : il suffit de les prendre de la forme aZ+bZ avec aet blinéairement indépendants dans Q
z2n 1 z2n+1 = +X1 n=0 z2n +X1 k z2n+1k= +X1 n=0 +X1 k=0 z2n(2k+1) outT entier naturel non nul ps'écrit de façon unique sous la forme p= 2n(2k+1) avec n;k2N On peut donc a rmer que N est la réunion des ensembles deux à deux disjoints suivants A n= 2n(2k+1) k2N Puisque la famille (zp) p2N uest sommable, on peut sommer par paquets et
MAT-22257 : Exercices COURS 5 Réponses etnou solutions Exercice 1 :(Pour cet exercice, vous pouvez supposer, que la composition de deux applications est encore une application, puisque c’est ce que vous allez montré dans votre devoir#2 )
1)L’ensemble R2 Dn’est pas vide et même infini puisque R2 n’est pas dénombrable Soit (a,b)∈ R2 D 2,a=b On considère un point cmobile sur la médiatrice de [a,b] L’ensemble des points cpour lequel la ligne polygonale [a,c,b]rencontre Dest dénombrable (on construit une injection de cet ensemble vers D en choisissant un point de
9 1 1Qu'est ce qu'un ensemble? Commençons par dé nir la notion d'ensemble que vous connaissez depuis bien longtemps Unensembleest une collection ou un groupement d'objets distincts, que l'on appelle lesélé-mentsde cet ensemble Dé nition 9 1 (Ensemble) Exemple 9 1 ousV connaissez déjà les ensembles usuels N, Z, Q, R, Cet ;
C'est un cas particulier de la Proposition 2 2 de [1] 2 3 Lemme Soit X un rétracte absolu contenu dans un espace E homéomor-pheà l S'il existe une homotopie h: ExI -* E vérifiant h0 = id et ht(E) C X pour t > 0, alors tout Z-ensemble dans X est un Z-ensemble au sens fort C'est une conséquence de la Proposition 1 7 de [1] 2 4 Lemme
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Ensembles denombrables´
transcendant En g´en eral il est difficile de montrer qu’un nombre est transcendant ´ 1 On note Z n[X] ˆZ [X] l’ensemble des polynomes entiers de degrˆ ´e inf erieur ou´ egal´ a` n Montrer que Z n[X] est denombrable ´ 2 Montrer que l’ensemble des nombres alg´ebriques est d ´enombrable
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Notions sur les ensembles dénombrables
Bilan : Un ensemble dénombrable est un ensemble qui est soit fini, soit en bijection avec N Exemple 1 : Z est dénombrable C'est tout simple, il suffit pour cela de construire l'application φ suivante, qui est évidemment une bijection entre Z et N: 0 a0, 1 a1, −1 a2, 2 a3, −2 a4, K , n a2n −1, −n a2n, K 2Exemple 2 : N est dénombrable
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denombrabilite - Université Paris-Saclay
A est infini, donc il existe une bijection g : N → A Alors f g est une bijection de N sur E Exemple 5 L’application fpair: n 7→2n est une bijection de N sur l’ensemble des entiers naturels pairs 2 2 Exemples Exercice 6 Montrer que N × N est d´enombrable En d´eduire que le produit d’un nombre fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable Fin du cours n08 Solution de l
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Ensembles dénombrables
F est dénombrable, il existe une injection ψ de F dans N La composée ψ ϕ est alors une injection de E dans N Comme E est infini, il existe par ailleurs une injection de N dans E d’après la Proposition A 10 D’après le Théorème de Cantor-Bernstein, on obtient qu’il existe une bijection de E dans N, et donc que E est dénombrable On suppose maintenant qu’il existe une
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2 2 Dénombrabilité
Définition 13 On dit qu’un ensemble est dénombrable s’il est équi-potent à N, ie s’il existe une bijection entre cet ensemble et N Exemple 14 N⇤,2N,2N+1, l’ensemble des nombres premiers Proposition 15 Toute partie infinie de N est dénombrable Proposition 16 Z est dénombrable 2 2 Les rationels Proposition 17 N2 est dénombrable
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Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
est dénombrable : soit f : N → Z telle que pour tout entier naturel n, f(2n) = n et f(2n+1) = −n−1 On a donc f(0) = 0, f(1) = −1, f(2) = 1, f(3) = −2, f(4) = 2, etc Cette application est bijective (exercice) L’ensemble Z est donc dénombrable Commentaire : il y a plusieurs manières de comparer la "taille" d’ensembles Une première façon est de les comparer au sens de l
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ENSEMBLES AU PLUS DENOMBRABLES - WordPresscom
est dénombrable si on est capable de numéroter (indexer) ces éléments Un ensemble est dit au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable Exemples : L’ensemble est dénombrable L’ensemble * est dénombrable (L’application *: 1 f nn o ® ¯ est une bijection de sur ) L’ensemble des entiers naturels pairs P n n ^2, ` est dénombrable (L’application : 2 P f nn o ® ¯ est
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1 ribusT - unicefr
telles que Aest dénombrable ou Acest dénombrable 1 Montrer que Cest une tribu 2 Montrer que Cet Tsont égales 3 Comparer Tà la tribu borélienne Corrctione de l'exercice 2 1 Ccontient bien R , car R c = ;est dénombrable Si A2C, alors Ac appartient aussi à C, car soit Ac est dénombrable, soit (Ac)c = Aest dénombrable Soit (A
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22 Tribu ou algèbre
T est stable par intersection dénombrable, c'est-à-dire que pour toute famille dénombrable (A n)n 2 N d'éléments de T , on a T n 2 N A n 2 T 4 T est stable par passage au complémentaire, c'est-à-dire que pour tout A 2 T , on a A c 2 T (On rappelle que A c = E n A ) Il est clair que, pour montrer qu'une partie T de P (E) est une tribu, il est inutile de vérier les propriétés 1-4
En particulier, un ensemble fini est considéré comme dénombrable Certains auteurs dé- finissent les ensembles dénombrables comme étant les ensemble en
ChA Denombrabilite
Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable 3 En déduire l'existence de nombres transcendants Remarque : On peut montrer par des
MathDiscretes TD Denombrabilite
est une bijection de Z[X] sur le dictionnaire D(Z) (moins le mot vide) en l'alphabet dénombrable Z Ensembles non dénombrables (1) Equipotence d'intervalles
capes
4 jan 2014 · (Cantor) Corollaire 31 L'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable Exemple 32 ]0,1[ et R sont equipotents Proposition 33
denombrabilite
ThBorAme 15 Un ensemble est au plus dénombrable si, et seulement si, possIde une suite exhaustive de parties finies Preuve Si est fini alors on pose $ 3 pour
extrait
Un ensemble est dit infini lorsqu'il n'est pas fini 4 Un ensemble est dit dénombrable lorsqu'il est équipotent à ` Notation Nous noterons [[ 1 ; n ]] l' ensemble { 1
du fini a linfini
Définitions : 1 Un ensemble E est dit « dénombrable » s'il existe une bijection de ` sur E 2 Un ensemble E a « la puissance
denombrable ou continu
4 jan 2014 · (Cantor) Corollaire 31 L'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable Exemple 32 ]0,1[ et R sont equipotents Proposition 33
denombrabilite
L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ? N qui à n associe. ?(n) = . 2n si n 0. ?2n ? 1 si n < 0
14 mai 2005 On obtient ainsi une injection de Fn dans Nn. D'apr`es l'exercice 6 Fn est dénombrable. L'ensemble des sous-ensembles finis de N est la réunion.
Tout sous ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable : il suffit d'appliquer le point précédent et la définition de dénombrable. • Z est
Z est dénombrable. Démonstration En effet Z = N?(?N?) est la réunion de deux ensembles dénombrables. PROPOSITION 8.4 ? N2 est dénombrable.
Z(P). Union dénombrable d'ensembles finis il est donc dénombrable. Puisque R n'est pas dénombrable
b dénombrable comme réunion dénombrable d'ensemble dénombrables. Pour tout P ? I l'ensemble Z(P) des zéros réels de P est fini (de cardinal ? deg P).
appartient aussi à C car soit Ac est dénombrable
On a montré que ? est injective et surjective. Elle est donc bijective. Il existe donc bien une bijection entre N et Z donc Z est dénombrable.
Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Cette application est surjective et Z × N? est dénombrable d'après le point (5) ...
17 sept. 2020 Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Cours 2. Montrer que R n'est pas dénombrable.
D´e?nition 1 Un ensemble E est dit d´enombrable s’il existe une bijection de E sur un sous-ensemble de l’ensemble N des entiers naturels Exemple 2 Tout ensemble ?ni est d´enombrable L’ensemble des entiers naturels pairs est d´enom-brable Remarque 3 Une bijection sur un sous-ensemble de N c’est la mˆeme chose qu’une
Exemple A 12 L’ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l’application ? : Z ? N qui à n associe ?(n) = 2n si n 0 ?2n?1 si n < 0 est bijective On remarque que si E est un ensemble dénombrable alors il existe une injection de E dans N (car une bijection vers une partie de N dé?nit en particulier une injection
Comment savoir si un ensemble est dénombrable ?
Un ensemble E E est dit dénombrable s'il existe une bijection de E E sur N. N. De façon plus figurée, un ensemble est dénombrable si l'on peut énumérer ces éléments : son premier élément est ..., son deuxième est .... L'ensemble des entiers relatifs Z Z est dénombrable.
Quelle est la définition de dénombrable ?
Il faut s'entendre sur la définition de " dénombrable " . Dans le texte cité "Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" , dénombrable veut dire "en bijection avec " .
Qu'est-ce que le dénombrable?
Le dénombrable est une notion tellement élémentaire qu'on la retrouve dans à peu près tous les domaines des mathématiques.
Qu'est-ce que l'axiome du choix dénombrable?
Axiome du choix dénombrable. Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables : Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x n) tend vers f(0) pour toute suite (x n) tendant vers 0.
Annexe A - Ensembles dénombrables