ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions
Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcément continue dans ℝ Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais pas dans ℝ 2 3 Opérations sur les fonctions continues Chacun de ces résultats découle de la loi des limites correspondante (voir chapitre 1, §1 4)
La fonction valeur absolue x 7→ x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un intervalle I =[a,b] Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c ∈ I tel que f(c)=k Remarque : Ce théorème est admis
Mais il faut se méfier : si D=I1∪ I2où I1=[0,1[ et I1=[1,+∞[, la continuité sur I1et sur I2n’assure pas la continuité Dcar une fonction continue sur I1et sur I2est continue à droite en 1mais n’est pas nécessairement continue en 1 Par contre, puisque
Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur ℝ mais n’est pas dérivable en r La fonction racine carré est continue sur [ r;+∞[ mais n’est pas dérivable en r Exemple : La partie entière d’un nombre est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à On le note ( ) ou encore ⌊ ⌋
L’objet de ce problème est de construire une fonction définie sur [0,1] qui soit continue sur [0,1] et dérivable en aucun point de [0,1] On construit f comme la limite d’une suite de fonctions fn définies sur [0,1] On définit fn par récurrence : • f0 est la fonction définie par f0(x)=x pour tout x ∈ [0,1];
(f) Soit f(x) = x2 définie sur J Montrer que fn’est pas uniformément continue (g) Montrer que f(x) = p xest uniformément continue mais pas de Lipschitz sur J Corrigé 1 Les trois premières questions sont relatives au cours a) La fonction fest uniformément continue si, pour tout ">0, il existe >0 tel que, si
Mais comme pour tout n∈ N, x Soit gune fonction continue de R dans R telle que g(0) 0 tel que fn’est pas continue en α
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Fonctions continues
Définition 3 1 Soit f : DR une fonction On dit que fest uniformément continue sur Dsi pour tout >0 il existe >0 tel que pour tout x;y2Dsi jx yj< alors jf(x) f(y)j< : Il est claire que si fest uniformément continue sur Dalors fest continue sur D:Mais pas inversement : Par exemple, la fonction f(x) = x2 définie sur [0;+1[ est continue
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Continuité sur un intervalle - maths-francefr
une fonction continue sur I1et sur I2est continue à droite en 1mais n’est pas nécessairement continue en 1 Par contre, puisque D=[0,+∞[, une fonction est continue sur Dsi et seulement si elle est continue en tout point de ]0,+∞[et continue à droite en 0 1 2 Fonctions continues et opérationsTaille du fichier : 239KB
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Analyse – Math31
(f) Soit f(x) = x2 définie sur J Montrer que fn’est pas uniformément continue (g) Montrer que f(x) = p xest uniformément continue mais pas de Lipschitz sur J Corrigé 1 Les trois premières questions sont relatives au cours a) La fonction fest uniformément continue si, pour tout ">0, il existe >0 tel que, si
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Théorème d’approximation de Weierstrass
Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b]est uniformément continue On se propose de démontrer ce théorème par l’absurde On considère donc une application f:I= [a,b]→ R, continue, mais pas uniformément continue 1 - Montrer qu’il existe ε>0tel que, pour tout n∈ N∗, il existe (xn,yn)∈ I2 tel que xn−yn ≤ 1 n
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Fonctions continues entre espaces 0 n 0 métriques
2 1 Fonctions continues et uniformément continues Maintenant qu'on sait ce qu'est une distance, on peut dé nir la continuité pour des fonctions entre espaces métriques, plutôt que de R dans R ; c'est essentiellement la même chose, en remplaçant jx yj(qui n'a a priori pas de sens dans un espace métrique) par d(x;y ) Dé nition 2 1 Soit (X;d ) et (Y;D ) deux espaces métriques, f :X Y et x 2 X On
ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions
« Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée » Théorème de la valeur intermédiaire Si f est une fonction continue sur [a, b] et f (a) f (b), alors, pour tout réel u strictement compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = u Le théorème de la valeur
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Convergence simple, convergence uniforme
La suite ( fn) tend simplement vers 0 sur [0, 1], mais pas uniformément De même pour les fonctions continues affines par morceaux " en pics " : g n(x) = 2 nx si 0 ≤ x ≤ 2n 1, g n(x) = 2 − 2 nx si 2n 1 ≤ x ≤ n 1, g n(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ 2n 1, qui se résument en : g n(x) = sup( 1 – 2 nx – 1 , 0) ,
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Continuité et dérivabilité d’une fonction
La fonction valeur absolue x 7→ x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un intervalle I =[a,b] Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c ∈ I
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Fonctions continues - MATHEMATIQUES
• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 +kπ, k ∈ Z • la fonction valeur absolue est continue sur R; • toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à
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Continuité Applications continues - Exo7
Applications uniformément continues Exercice 6 1 Soit f une fonction réelle continue sur [0;1]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : 8e >0 9Ce; 8x;y2[0;1] jf(x) f(y)j6Cejx yj+e: 2 Montrer qu’une fonction f uniformément continue de Rdans Rvérifie pour tout x2R, jf(x)j6ajxj+b où a et b sont des constantes [002358] Exercice 7
Définition de la continuité uniforme sur un intervalle Exercice : si ƒ est 3 Applications 10 3 1 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes 10 Mais pas d'extension possible à tout entier En effet la fonction
fc f abfd fdd a e b e c
6 jan 2012 · que nous envisageons dans ce chapitre, mais aussi de vous inciter à la prudence ment, pour montrer qu'une convergence n'est pas uniforme, Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme, la limite
cu
7 oct 2019 · Banach quelconque, mais on n'en parlera pas ici est une suite de fonctions continues à supports compacts qui converge (simplement) vers
Agreg series fonctions
Remarque 2 1 2 Tout ensemble fini de fonctions continues en un point x0 (resp dans fonction nulle (3) Montrer que la convergence n'est pas uniforme dans E pas uniforme Sans l'hypothèse "l'espace de départ est compact", mais avec" l' équicon- ment si H est équicontinue et 8x 2 K, H(x) = 1f(x); f 2 Hl est bornée
A.F.Chapitre
ment sur [0, 1[ vers la fonction nulle 4 2 La suite fonction f n'est pas nécessairement continue sur Ω 7 6 Suite de On dit alors que f est la limite uniforme sur Ω de la suite de converge uniformément sur [a, +∞[ mais elle ne converge pas
seriesfns
La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A, c'est-à- dire entre (1) et (2), est que b] dans È ou  , qui converge uniformément sur [a , b] vers f (continue d'après ce qui précède) fonction nulle sur [0 , 1] mais ⌡⌠ 0 1 fn(x) dx = 1 ne converge pas vers 0 0 1/n 2/n n 1 uniformé- ment sur È III
MA stefc
ment vers la fonction f , alors la suite de fonctions (fn) converge simplement vers f : fn THÉORÈME 6 4 ♥♥♥ La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est uniforme puisque les fonctions fn sont continues au point 1 mais pas la
cours suites series fcts integrales Eleve
Toutes les fonctions fn ci-dessus sont continues (et même C∞) sur [0,1], mais la limite simple f ne La convergence simple n'entraıne donc pas la convergence uniforme En revanche : La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction conti- nue ment nulle sur [0,2π], donc sur R par 2π-périodicite
cours mat
3 mai 2017 · 1 2 1 Continuité uniforme D éfinition √x −x, pour tous x,x > 0, mais la fonction continue x ↦→ x2 n'est pas uni- Supposons que f n'est pas continue en x ment des fonctions continues, `a savoir les fonctions partielles
MAT SlidesAmphi ContinuiteEtCompacite Re CC sume CC
Convergence simple ou uniforme des séries de fonctions 6 4 Soit I un intervalle de R, et soit α : I Ñ C une fonction continue vérifiant αptq ă 1 αk :“ εp, q Comme εp,q ne dépend pas de t P E et tend vers 0 quand p, q Ñ 8 puisque la série converge vers fptq “ t uniformément sur R, mais aucune fn n'est bornée sur R
PolySSF
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Mais pas d'extension possible à tout entier. En effet la fonction.
Montrer que la fonction f(x) = x2 n'est pas uniformément continue sur. [0 +?[. Ce sera une conséquence de l'exercice 3
x n'est pas lipschitzienne sur [0 1]
Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue mais continues. 1. f : R?. +. ? R est continue mais pas uniformément continue sur R?.
20 oct. 2016 Exemple 4. x ?? x2 n'est pas uniformément continue sur R. Démonstration. Supposons que la fonction carrée soit uniformément conti-.
19 janv. 2012 (10) Soit J un intervalle d'intérieur non vide. Une fonction G uniformément continue sur tout intervalle [a b] inclus dans J est-elle ...
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse. Exercice 2.3. Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. uniformément continue mais pas lipschitzienne sur R+ et x ?? x2 continue non ...
exponentielle est donc uniformément continue sur tout segment de R. Mais d'après la question 7.2 la fonction exponentielle n'est pas uniformément continue
Cette fonction n'est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propriété des valeurs intermédiaires pour chaque couple de points dans R.
Mais pas d'extension possible à tout entier En effet la fonction valeurs absolue est uniformément continue sur (puisque 1-lipschitzienne) et pourtant
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
(1) Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition f n'est pas uniformément continue sur I (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne En effet il suffit de considérer la fonction de [01] dans [01] f : x ?? ?
Chapitre8 : Fonctions continues I désigne ici un intervalle infini de R (c'est-à-dire ni vide ni réduit à un singleton) D désigne une partie non vide de R
Mais d'après la question 7 2 la fonction exponentielle n'est pas uniformément continue sur R L'implication ((G uniformément continue sur tout segment contenu
Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites finies en +? et —? Montrer que ƒ est uniformément continue sur R Exercice 10 (Théorème de
La somme et le produit de deux fonctions continues en un point sont continus en ce point L'inverse d'une fonction continue en un point non nulle en ce point
dire continue en tout point de D) mais n'est pas uniformément continue n'est pas toujours continue 2 3 Fonction continue sur un intervalle fermé borné
:
Fonctions continues et uniformement continues