L1 UCBL 2016–2017 Fondamentaux des mathématiques I Exercice 2 1 lim x0 sinx x =1(cours) 2 Non, la fonction f n’admet pas de limite en 0 En effet, lim
2) Si une fonction f a pour limite 0 en +∞, alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe 3) Si une fonction f a pour limite -1 en +∞, alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe Exercice n°5
2 2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée Théorème 4 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : 1) ln a b 3 2 Limite en 0 et en l’infini
Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en a signifie que pour tout intervalle ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a On note alors lim a f(x)=+∞ On définie de façon analogue une limite -∞ en a I 2 2 Conséquence graphique Dans le cas où la limite en un réel a est infinie, c’est à dire : lim a
5 Limite d’une fonction 10 -4 0/6; ( o4) −0 66666666666667 On sait que la primitive de la fonction carré nulle en 1 est la fonction x
Dérivabilité à droite ± à gauche , en un point : On dit que f est dérivable à droite en x0 si la limite : 0 0 0 ( ) ( ) lim xx f x f x o xx c est finie Cette limite est nommée le nombre dérivé de la fonction à droite en et on écrit : fxdc()0 On dit que est dérivable à gauche en si la limite : 0 0 0 ( ) ( ) lim xx f x f x o xx c
ε→0 Z b a fε(x)dx En outre, cette limite est ind´ependante du choix des familles de fonctions en escalier Cette limite est appel´ee int´egrale de f sur [a,b] au sens de Riemann et est not´ee Z b a f(x)dx D´emonstration : On ne va pas d´etailler la preuve compl`ete, mais l’argument principal est le suivant
Pour une fonction f dérivable en x0, l'approximation affine de f(x0 + h) est f(x 0) + f '(x0) × h L'approximation affine de e h est donc e 0 + e 0 × h = 1 + h Cela revient à dire que la courbe de la fonction exponentielle a pour tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation
= 0 « La fonction exp l’emporte en +∞ sur la fonction puissance » « La fonction puissance l’emporte en +∞ sur la fonction logarithme » On admettra que pour tout α ∈ ] 0 ; +∞ [ : lim →3 >? c = +∞ lim →3 ˘ˇ c = 0 Limite de composée avec la fonction exponentielle Soit 6 une fonction définie sur un intervalle I
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LIMITES – EXERCICES CORRIGES
0 1 (cf exercice précédent), étudiez les limites en 0 des fonctions : 1) x x x → sin5 2 2) x x x → sin3 3) x x x → sin sin 5 4 4) x x x → tan Exercice n°17 En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer 3 63 lim x 3 x → x + − − 0 sin lim x x → x 2 cos lim 2 x x x π π → − Exercice n°18 Déterminer 0 tan lim x x → x 1 1 lim x 1 x → x − − 6 2cos2 1 lim x 6 x →π x π − −Taille du fichier : 532KB
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La fonction logarithme népérien
Cette limite est strictement positive pour a ∈]0;+∞[ On en déduit que la limite suivante existe pour tout a ∈]0;+∞[et : lim X→lna X − A eX −eA = 1 a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[et (lnx)′ = 1 x 3 2 Limite en 0 et en l’infini Théorème 6 : On a les limites suivantes : lim x→+∞ lnx =+∞ et lim x→0+ lnx =−∞ Démonstration :Taille du fichier : 150KB
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SERIES ENTIERES - univ-rennes1fr
n ≥ 0 f n dont le terme général est de la forme : ait une limite ˘ finie ou + & Alors le rayon de convergence de la série est R = 1 ˘, avec les conventions R = + & si ˘ = 0 et R = 0 si ˘ = + & Exemple 1) ∑ n ≥ 0 n - 3 n2 + 1 3 n x a pour rayon de convergence 1 3 2) ∑ n ≥ 0 xn n a un rayon de convergence infini 3) ∑ n ≥ 0 n xn a un rayon de convergence nul Taille du fichier : 181KB
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Dérivation - Free
1- Limite finie d'une fonction en 0 Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit lim x 0 f x =l si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0 Exemple : lim x 0
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PRISE EN MAIN DE MAXIMA
5 Limite d’une fonction Quelques constantes : infinity : ∞ inf : +∞ minf : −∞ ind : indéfini borné, il n’y a pas de limite und : indéfini non borné, il n’y a pas de limite Quelques exemples ( i69) limit(1/x,x,inf); ( o69) 0 ( i70) limit(sin(x),x,inf); ( o70) ind ( i71) limit(1/x,x,0); ( o71) und 10
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Exercices supplémentaires : Etude de fonctions
Voici le détail pour la limite en ∞ : lim P 2 2 lim P 1 etlim 1 donc par composition lim P 1 ∞ 2 ∞ * 1 ∞ ∞ 1 Exercice 4 Ensemble de définition : on résout 4 30 et donc ' A :∞;1 :a 3; ∞ Ensemble de dérivabilité : la fonction √ 4 3 est la composée d’une fonction polynôme dérivable sur ˚ et strictement positive sur :∞;1 a:3; ∞ et de la fonction racine carré
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Limites de fonctions - Exo7
limite vaut 0 7 Nous avons l’égalité a3 1 =(a 1)(1+a+a2) Pour a= 3 p 1+x2 cela donne : a 1 x2 = a3 1 x2(1+a+a2) = 1+x2 1 x2(1+a+a2) = 1 1+a+a2: Lors que x 0, alors a1 et la limite cherchée est 1 3 Autre méthode : si l’on sait que la limite d’un taux d’accroissement correspond à la dérivée nous avons une méthode moins astucieuse Rappel (ou anticipation sur un prochain chapitre) : pour une fonction fTaille du fichier : 180KB
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Chapitre 4 Formules de Taylor - Institut de Mathématiques
0 +h appartienne `a I, il existe θ ∈]0,1[tel que l’on ait f(x 0 +h) = Xn k=0 hk k f(k)(x 0)+ hn+1 (n+1) f(n+1)(x 0 +θh) (notons ici que θ d´epend de h) 41 Exemples a) Consid´erons `a nouveau la fonction sin(x) La formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 3 au voisinage de 0 s’´ecrit sin(x) = x− x3 3 + x4 4 cos(θx) avec θ ∈]0,1[ Ainsi, on peut dire que x − x3 3
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Chapitre 5 : La th´eorie de l’int´egration de Riemann
ε→0 Z b a fε(x)dx = lim ε→0 Z b a fε(x)dx En outre, cette limite est ind´ependante du choix des familles de fonctions en escalier Cette limite est appel´ee int´egrale de f sur [a,b] au sens de Riemann et est not´ee Z b a f(x)dx D´emonstration : On ne va pas d´etailler la preuve compl`ete, mais l’argument principal est le suivant
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FONCTION EXPONENTIELLE
1 e2x – 1 > 0 ⇔ e2x > 1 ⇔ e2x > e0 ⇔ 2x > 0 car la fonction exp( x) est strictement croissante sur IR ⇔ x > 0 donc S =] 0 ; +∞ [ 2 On a e x > 0, donc e x + 1 > 0 L'inéquation e x + 3 e x + 1 > 2 est donc définie sur IR et on peut multiplier ses deux membres par e x + 1 qui est strictement positif Taille du fichier : 100KB
La technique consiste à mettre en facteur le prépondérant 4x2 en facteur sous la racine carrée Situation 4 Une somme contient des racines carrées, présente une
limites fonctions
avec des racines carrées Exemple1 f(x) = x (√ x2 + 1 − x ) Quelle est la limite en +∞ ? On utilise souvent la quantité conjuguée pour écrire autrement une
fonctionsG
ce point, avec dénominateur non nul; par définition de la continuité, la limite de notre racine cubique est un trinôme du second degré, dont le discriminant vaut
ttelafeuille
Pour tout x∈]0 ; ∞[,ln x x Relation 1 Remarque Les limites ne nous intéressent pas ici Nous voulons seulement comparer les fonctions La limite en 0
lim remarquables ln
Déter miner la limite, si elle existe en + ∞ puis en − ∞ Le discriminant du 4x2 + 2x +1 = +∞ puisqu'une racine carrée est toujours positive et lim x→− ∞
exer compl sol C
Exercice 3 Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes a) limx→0 Correction 1 Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carrées, il est utile de faire intervenir “l'expression conjuguées” : √ a − √
selcor
comme la fonction carré Celles dont C'est le dilemme de la racine carrée Nous optons Déterminons la limite de la fonction racine nième en +∞ Lorsque x
vtsracinenieme
racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[ donc pour tout x ≥ 5 En particulier
racine carrée. Dans le premier exemple une factorisation suffit car la limite de la parenthèse n'est pas égale à 0 et ainsi nous n'avons pas de forme ...
Correction 1 Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines et pour k = n − m > 0 impair f n'a pas de limite en 0 car les ...
Pour tout x∈]0 ; ∞[ln x x. Relation 1. Remarque. Les limites ne nous intéressent pas ici. Nous voulons seulement comparer les fonctions. La limite en 0
On s'appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les Exemple 2.15 (Composée d'exponentielle et de racine carrée). Déterminons ...
de x racine carrée – nous allons pouvoir calculer les limites (lorsqu'elles Son ensemble de définition est ]0; +∞[ et sa limite en +∞ est 0 ! En effet ...
Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0 on a : lim. →. +ℎ − ( ).
5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur 0;+∞⎡⎣
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
Pour tout x?]0 ; ?[ln x x. Relation 1. Remarque. Les limites ne nous intéressent pas ici. Nous voulons seulement comparer les fonctions. La limite en 0
Correction de l'exercice 2 ?. Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de racines carrées il est utile de faire intervenir “l'
Développements limités au voisinage d'un point . 0 x 25 =? x 5 » est vraie (prendre la racine carrée). – « x ?]???4[ =? x2 +3x?4 > 0 » est vraie ...
2. Développements limités e) Opérations. Exemple 2.15 (Composée d'exponentielle et de racine carrée). Déterminons le DL3(0) de la fonction ? : x ??.
Démontrer que pour tout x ? 5 on a 0 ? f(x) ?. 1. ? x . Correction : Il y a deux inégalités à démontrer. Premièrement
1 ère partie : On considère la suite définie par : u0=0 et pour tout pas un polynôme ; c'est une différence entre une racine carrée et un polynôme.
= 1. . = 1. . Page 3. 3 sur 7. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Quelques exemples : ?0 = 0. ?1 = 1. ?2 ? 14142. ?3
petites de ? quand on manipule la définition de limite d'une fonction en un point. Revenons à nos moutons : si l'on suppose que 1 ? ? > 0 alors.
3 déc. 2014 2.2 Quotient inverse
il découle de cette dernière égalité et de 1 < 2 < 2 que 0 < n1 < n0. Et par composition avec la racine carrée alors f (x) a bien une limite en x0 et ...
Limites – Corrections des Exercices