3 Commutant d’une matrice diagonale Pour trouver le commutant d’une matrice diagonale (ou d’une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre unsystèmeden2 équationsàn2 inconnues Ilpeutêtreutilederetenirque:
,Mest diagonale 2 Soit M 2M R(n) une matrice commutant avec toutes les matrices diagonales Alors d’après la première question, Mest diagonale Réciproquement l’ensemble des matrices diagonales de M n(R) est une sous-algèbre commutative Généralisation : En supposant que Dest une matrice diagonale par blocs de la forme D= diag(1
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
Commutant, racines carrées, espaces stables Voilà des applications très classiques de la réduction des matrices Souvent elles méritent un pro-blème entier avec différents exemples Je pose ici quelques points importants I Le commutant Définition et structure : Etant donnée une matrice A 2 M (K) on appelle commutant de A et
2(R), la matrice f 1(M)1 Mf 1(M) soit diagonale 1 2 Commutant d'une matrice diagonale Soit B= 0 0 2M 2(R) avec 6= 1 2 1 Déterminer l'ensemble C(B) = fM2M 2(R) ; MB= BMg 1 2 2 Soit U, V 2M 2(R) Montrer que UBU1 = VBV1 si, et seulement si, la matrice V1 Uest diagonale 1 3 Une CNS de conjugaison à une matrice diagonale Soit (M;P) 2M
(d)Déterminer les endomorphismes qui commutent avec u 6 / Montrer que 0 0 0 1 1 −1 2 2 −2 est semblable à −1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 / Montrer qu’une matrice A ∈M n(K) est semblable à la matrice dont tous les coefficients sont nuls exceptés ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à 1 si et seulement si A est nilpotente d’indice
En interprétant M comme étant la matrice d'un endomorphisme d'un espace vectoriel E, montrer qu'il existe une base (I,J,K) telle que cet endomorphisme a dans cette base pour matrice une matrice diagonale avec 1 , 2 , −2 sur la diagonale Calculer alors Mn Exprimer en fonction de n les termes u n, v n, w n où u n, v n, w
2 3 Calcul du commutant de A On note C(A) = {M ∈M3(R) AM = MA}l’ensemble des matrices qui commutent avec la matrice A Q 12 Montrer que C(A) est une sous-alg`ebre de l’alg`ebre M3(R) Q 13 Montrer que M ∈C(A) si et seulement si la matrice P−1MP est diagonale Q 14 En d´eduire que C(A) est l’ensemble des matrices de M3(R) de la
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Fiche aide-mémoire 7 : Commutant d’une matrice 1 Des
3 Commutant d’une matrice diagonale Pour trouver le commutant d’une matrice diagonale (ou d’une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre unsystèmeden2 équationsàn2 inconnues Ilpeutêtreutilederetenirque:
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Matrices (1/2)
commutant avec M ? Généralisation aux matrices diagonales d'ordre n dont tous les éléments diagonaux sont distincts 2 à 2 8 Soit A une matrice carrée d'ordre 2, et soit φ l'application de M 2(R) dans lui même, envoyant M sur AM Montrer que φ est linéaire et déterminer sa matrice sur la
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Matrices Feuille 24 - Free
R(n) une matrice commutant avec toutes les matrices diagonales Alors d’après la première question, Mest diagonale Réciproquement l’ensemble des matrices diagonales de M n(R) est une sous-algèbre commutative Généralisation : En supposant que Dest une matrice diagonale par blocs de la forme D= diag(1;:::; p), où i= d iI k i;avec d 1;:::;d
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Commutant, racines carrées, espaces stables
blème entier avec différents exemples Je pose ici quelques points importants I Le commutant Définition et structure : Etant donnée une matrice A 2 M (K) on appelle commutant de A et l’on note CA = fM 2 M (K);MA = AMg: Le commutant est une sous algèbre de l’algèbre M (K) (dimension n2) qui contient I, A et tout polynôme de A, ie K[A]
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Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il
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MPSI 2 DS 07
2 3 Calcul du commutant de A On note C(A) = {M ∈M3(R) AM = MA}l’ensemble des matrices qui commutent avec la matrice A Q 12 Montrer que C(A) est une sous-alg`ebre de l’alg`ebre M3(R) Q 13 Montrer que M ∈C(A) si et seulement si la matrice P−1MP est diagonale Q 14 En d´eduire que C(A) est l’ensemble des matrices de M3(R) de la forme aM1 +bM2 +cM3 avec (a,b,c) ∈R3 o`u M1, M2 et
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Chapitre 21 Matrices - maths-francefr
est une matrice diagonale et la matrice ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ n’est pas une matrice diagonale 2) Matrices colonnes Matrices lignes Définition 2 Soit n un entier naturel non nul Une matrice colonne (ou un vecteur colonne) de format n est un tableau de nombres réels à n lignes et 1 colonne
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Chapitre 13 : Matrices - résumé de cours
Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle Toute matrice diagonale est symétrique Notation: On note S n ( ) l'ensembles des matrices symétriques et A n ( ) celui des matrices antisymétriques Ces ensembles sont stables par combinaison linéaire mais pas pour le produit matriciel 3 Matrices carrées inversibles
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Exo7 - Cours de mathématiques
est une matrice 2 3 avec, par exemple, a1,1 = 1 et a2,3 = 7 Encore quelques définitions : Définition 2 • Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux • L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p(K) Les éléments de Mn,p(R) MATRICES 1 DÉFINITION 2 sont appelés
(a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à Soit D une matrice diagonale de Mn(K) à coefficients diagonaux distincts (on les
matieres
Justifier sans calcul que deux solutions X et X commutent d Déterminer le Réciproquement, une matrice diagonale commute avec toute matrice diagonale
ds matrices
Calculer (A − I3)3 Est-il vrai que K[A] = C(A)? Partie III : Commutant de certaine matrice diagonale Soit D ∈ Mn
Commutant
(e) Déterminer le commutant de la matrice T ainsi que sa dimension (f) i (a) Donner, en expliquant avec soin, le polynôme minimal de u, noté mu Donner un exemple d'endomorphisme diagonalisable tel que dim C(u) = n, puis donner un
fetch.php?media=pmi:ds partie ccp commutant d une matrice d un endomorphisme dans le cas diagonalisable
b Soit B une matrice de M3(c) qui commute avec la ma- trice A, montrer que la matrice B est diagonalisable c Montrer qu'il existe un polynôme T de c[X] vérifiant
dl Reduc
3 mai 2014 · 32 - Centrale PSI 2013 (réciproque de u diagonalisable =⇒ un revient à chercher la dimension de l'ev des matrices commutant avec D On
revisionoral
(d) Si v est dans C(u), v commute encore avec u − Id et (u − 2Id)2 et donc laisse stable E1 et E2 Dans B, la matrice de v est bien diagonale par blocs De plus,
E A MP Maths Corrige
N est niloptente d'indice 3 et elle commute avec la matrice I3 On peut donc que T commute avec sa transposée, ei et seulement si elle est diagonale Correction :Par triangulaire supérieure commutant avec sa transposée Nous avons
correction
On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” ...
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On Dans cette question D est une matrice diagonale de Mn(IK)
morphismes de E qui commutent avec f. C'est un sous-espace vectoriel de L(E). (a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On Dans cette question D est une matrice diagonale de Mn(IK)
Justifier sans calcul que deux solutions X et X commutent. Réciproquement une matrice diagonale commute avec toute matrice diagonale. Q 8 Montrons que.
On note C l'ensemble des matrices qui commutent avec A. Montrer que C est un On suppose que A commute avec toutes les matrices diagonales. Montrer que A.
N est niloptente d'indice 3 et elle commute avec la matrice I3. On peut donc triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux :.
26 oct. 2014 Matrice `a diagonale strictement dominante. 9. Matrice nilpotente. 10. Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.
on appelle commutant de A l'ensemble
Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques