Exercice 14 Une matrice, A, est nilpotente si lim →∞ k k A = 0 Prouver qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice symétrique soit nilpotente est que toutes ses racines caractéristiques soient inférieures, en valeur absolue, à 1 On utilise la décomposition spectrale pour écrire A comme CΛC′ avec Λ la matrice
Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e tel que AX = XA, AXA = A et XAX = X (b) A quelle condition sur les invariants de similitude de A a-t-on dimKerA2 = 2dimKerA? Preuve : (a) On d¶ecompose l’espace en sous-espace caract¶eristique pour A Sur les espaces caract¶eristiques
lorsque Q1 est la matrice (inversible) de changement de base de la base canonique vers la base B : Q1 = MatB0(B) = −3 1 3 2 6 La matrice Tse d´ecompose comme la somme de la matrice (diagonale) identit´e I2 et de la matrice (nilpotente) N= 0 1 0 0 On observe alors que N2 = 02 et ainsi que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal a 2, Nk = 02
4 Rattrapage Exercice 10 Soit A = a c c d 2M 2(R), montrer que A est diagonalisable sur R Correction H [002587] Exercice 11 Soit N une matrice nilpotente, il existe q 2N tel que Nq = 0
sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs K sera le corps R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Trigonalisation Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1
nilpotente En résumé, A est nilpotente si et seulement si χA =Xn Q 15 On redit que si 0 est l’unique valeur propre de A, alors χA =Xn puis An =0 et donc A est nilpotente Q 16 Soit T une matrice triangulaire à diagonale nulle Alors, χT =Xn puis T est nilpotente d’après la question Q14 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis
2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
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Exercice 1* es matrices suivantes, où a≠b
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Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 2 FILIERE PSI
nilpotente En résumé, A est nilpotente si et seulement si χA =Xn Q 15 On redit que si 0 est l’unique valeur propre de A, alors χA =Xn puis An =0 et donc A est nilpotente Q 16 Soit T une matrice triangulaire à diagonale nulle Alors, χT =Xn puis T est nilpotente d’après la question Q14 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis
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Annexes : exercices et corrigés - Pearson
Exercice 14 Une matrice, A, est nilpotente si lim →∞ k k A = 0 Prouver qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice symétrique soit nilpotente est que toutes ses racines caractéristiques soient inférieures, en valeur absolue, à 1 On utilise la décomposition spectrale pour écrire A comme CΛC′ avec Λ la matrice
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TD 13 Calcul matriciel - heb3org
Exercice 11 : [corrigé] Soit A, B et C trois matrices non nulles telles que ABC =0 Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1 Taille du fichier : 128KB
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I Exercices d’analyse
nilpotente, alors Nn = 0 (on pourra au préalable montrer que si une matrice A ∈M n (K) vérifie AX = 0 pour toute matrice colonne X ∈M n, 1 (K), alors A = 0)
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Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs K sera le corps R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Trigonalisation Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1 Trigonalisation On rappelle qu’une matrice A Taille du fichier : 204KB
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MATRICES EXERCICES CORRIGES - ac-rouenfr
Exercice n°3 1) Toute matrice antisymétrique possède une transposée égale à son opposée Par exemple, si on considère la matrice 0 1 1 0 A − = , on aura 0 1 1 0 A At = =− − 2) L’indication 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j nous donne le format de la matrice A : il s’agit d’une matrice 3 3× De plus on calcule successivement a11 = − =2 1 1 , a12 = − =2 2 0 , a13 = − =−2 3 Taille du fichier : 394KB
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Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison
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CORRECTION DU TD 3 - TSE
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans , on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, ette matri e n’est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours
Montrer que I3 − A est inversible et calculer son inverse Exercice 122 ( Quelques propriétés des matrices nilpotentes) Soit n ∈ N∗ Une matrice de N de Mn(K)
PTSI ex
Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, cette matrice n'est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme ,
correction du td
Exercice 5 On considère une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels S = pij Si N est une matrice nilpotente et A une matrice de même ordre que N qui
oral
Calculer An pour n ∈ N Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A =
fic
comme somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente que ∆ est diagonalisable, N est nilpotente et ∆N = N∆ (c'est un bon exercice de le
ch jordan
Montrer que tout hyperplan H de M(n,C) contient au moins n2 − n − 1 matrices nilpotentes linéairement indépendantes Exercices corrigés Exercice 1
endo nilp
9 avr 2009 · a) Rappeler la définition d'une matrice nilpotente corrigé du contrôle continu final du jeudi 18 juin 2009 Exercice 1 Soit la matrice M := ⎛
archives
Exercice 1 : Calculer la décomposition de Dunford des matrices suivantes (a, Il est manifeste que D est diagonalisable et que N est nilpotente ; manifeste
LU MA TD solutions
On vient de calculer les puissances d'une matrice en la diagonalisant Exercice 3 1 La matrice : B = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 est nilpotente car : B2 =
Corrections Feuille
Exercice 11. Soit N une matrice nilpotente il existe q ? N tel que Nq = 0. Montrer que la matrice I ?N est inversible et exprimer son inverse en fonction
On vient de calculer les puissances d'une matrice en la diagonalisant. Exercice 3. 1. La matrice : B =.. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0.. est nilpotente
NP et les matrices M et N sont semblables donc : MatB (f) est également nilpotente et de même indice de nilpotence que MatB(f). 1. Source : corrigé (très
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
dx. Exercice 71. Si N est une matrice nilpotente et A une matrice de même ordre que N qui commute avec A montrer
Corrigé du DM n. ?. 8. Exercice [Ecricome 2011]. On dit qu'une matrice A carrée d'ordre n est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel k non
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Exercice 1. ... Toute matrice nulle est nilpotente d'indice de nilpotence 1. Les ma- trices suivantes.
Soit A une matrice triangulaire supérieure stricte de Mn(K). Montrer que An est la matrice nulle. b. (***) Réciproquement montrer que toute matrice nilpotente
Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ?k ? [[1n]]
sable et d'une matrice nilpotente. affirme que ? est diagonalisable N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le vérifier à la main).
Exercices de mathématiques - Exo7