Valeurs propres, vecteurs propres Dans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes Notations K est un corps
Chapitre 5 - Valeurs propres et vecteurs propres - Diagonalisation I) Valeurs propres et vecteurs propres 1) Définition Définition 1 Considérons une matrice A∈Mn(R) On recherche un vecteur X6= −→ 0 de dimension ntel que AXsoit proportionnel à Xsoit AX= λX; cette relation s’écrira encore : AX−λX= −→ 0 ou encore (A−λIn
Vecteurs propres et valeurs propres Diagonalisation : Le probl eme revient a trouver une matrice diagonale D : D = [diag( 1; 2;:::; n)] et une matrice r eguli ere P telles que : A = PDP 1 Les i sont les valeurs propres de A et les colonnes de P les vecteurs propres associ es Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 17 / 26
vecteurs propres linéairement dépendants En fait, A = PDP 1, avec D matrice diagonale, si et seulement si les colonnes de P sont n vecteurs propres linéairement indépendants de A Dans ce cas, les entrées de la diagonale de D sont les valeurs propres de A rangées dans le même ordre que les vecteurs propres dans P
Et des matrices carrées A Vecteurs et valeurs propres d’un endomorphisme Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur K 1) Définitions On dit qu’un vecteur x de E est un vecteur propre de f si : a) x est non nul b) il existe un scalaire tel que f x x
2 3 Valeurs propres et vecteurs propres Définition1 SoitA 2 Mn(K) une matrice carrée Un vecteurx 2 Kn,x ̸= 0 est unvecteur propre,et 2 K est unevaleur propre,si Ax = x: (3) Idée: la matriceA agit sur un sous-espace vectoriel deCn comme la multiplication scalaire ( x) Ce sous-espace vectorielS est appelésous-espace propre,et toutx 2 S
D eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de s 2 3 Le point de vue purement matriciel Soient une matrice A2M n(R) On note ul’endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique est A(endomorphisme canoniquement associ e a A) Les no-tions de valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres et spectre de Apeuvent
Valeurs propres et vecteurs propres Définition On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur propre de A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λ telle que A~v =λ~v On dit que λ est la valeur propre de A associée à ~v Reprenons notre exemple : A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1
II 6 Eléments propres de matrices semblables a Valeurs propres : ce sont les mêmes Proposition Deux matrices semblables ont même spectre b Vecteurs propres et sous-espaces propres On peut aussi ramener la détermination des sous-espaces propres d’une ma-trice à celle des sous-espaces propres d’une matrice semblable Pour ceci, écri-7
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Valeurs propres, vecteurs propres - Exo7
1 Valeurs propres et vecteurs propres 1 1 Motivation Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1 h: x y 7 2 0 0 2 x y = 2x 2y L’application h est une homothétie de R2 (centrée à l’origine) Si D est une droite passant par l’origine,Taille du fichier : 150KB
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Chapitre 5 - Valeurs propres et vecteurs propres
Chapitre 5 - Valeurs propres et vecteurs propres - Diagonalisation I) Valeurs propres et vecteurs propres 1) Définition Définition 1 Considérons une matrice A∈Mn(R) On recherche un vecteur X6= −→ 0 de dimension ntel que AXsoit proportionnel à Xsoit AX= λX; cette relation s’écrira encore : AX−λX= −→ 0 ou encore (A−λIn)X= −→Taille du fichier : 137KB
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Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1
2 Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Quand il existe P et D telles que A = PDP1 ont dit que A est diagonalisable Une matrice A etant donn´ ´ee, on cherche ce que pourrait etre la matriceˆ P si A etait diagonalisable :´ A = PDP1 AP = PD A P = P D A = P c k c k k L = Ac k L c
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Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation 1
Ce sont les valeurs propres de l’endomorphisme dont la matrice est Adans la base standard de Rn (resp Cn) Dans la suite on parlera donc indiff´eremment des valeurs propres d’un endomorphisme ou de sa matrice dans une base Corollaire 2 4 Un endomorphisme ϕd’un espace vectoriel de dimension nou une ma-trice A(n,n) a au plus nvaleurs propres
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Vecteurs propres, valeurs propres - IGM
Vecteurs propres, valeurs propres Vincent Nozick Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 1 / 26 Eigen problemCalculDiagonalisationCalcul num erique Vecteurs propres et valeurs propres Introduction : Les vecteurs propres d’une application lin eaire correspondent aux axes privil egi es selon lesquels l’application se comporte comme uneTaille du fichier : 358KB
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Chapitre 4 Valeurs propres, vecteurs propres
Chapitre 4 Valeurs propres, vecteurs propres Diagonalisation 51 1 3 Sous-espace propre Soient X et Y deux vecteurs propres de A de mˆeme valeur propre : AX = λX, AY = λY Il est clair que toute combinaison lin´eaire de X et Y est aussi vecteur propre pour la valeur propre λ : A(αX+βY)=λ(αX+βY) Les vecteurs propres deA pour une valeur propre
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R et calcul matriciel - MathémaTICE
• eigen(A)$vectors est une matrice composée de 3 vecteurs propres Le programme ci-dessous vérifie que 3 est une valeur propre et que la première colonne de la
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Exo7 - Cours de mathématiques
1 Valeurs propres, vecteurs propres Commençons par définir les valeurs et les vecteurs propres d’une application linéaire Il est important d’avoir d’abord compris le chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres » des matrices 1 1 Définitions Rappel f: EE est appelé un endomorphisme si f est une application linéaire de E dans lui-même
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Chapitre 5 R´eductions des endomorphismes
2 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E D´efinition 4 : Une valeur propre de f est un r´eel λ tel qu’il existe un vecteur non nul u de E tel que : f(u) = λu L’ensemble des valeurs propres de f est appel´e le spectre de f
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Al4 : Diagonalisation des endomorphismes et des matrices
Définition Les valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et spectre de A sont ceux de u Précisons un peu : ‚valeur propre de A ‚valeur propre de u 9x 6˘0Kn u(x) ˘‚x 9X 2Mn,1(K)\{0} AX ˘‚X On retient donc Proposition Les valeurs propres de la matrice carrée A sont les ‚
Pour que ce syst`eme ait une solutions non nulle, il faut et il suffit que le déterminant de A − λI, sa matrice des coefficients, soit nul Théor`eme : λ est une valeur
MVA
On appellera valeur propre d'une matrice A, (n, n), les racines du polynôme caractéristique cA(X) Ce sont les valeurs propres de l'endomorphisme dont la matrice
diag
Théorème de diagonalisation Une matrice A de taille n × n est diagonalisable si et seulement si A n'a pas de vecteurs propres linéairement dépendants En fait
partie
26 mar 2018 · Le nombre λ est une valeur propre de la matrice A si et seulement si p(λ) := det (A − λI)=0 Autrement dit, les valeurs propres sont les racines du
diapos mth chapitre h
De l'utilité de la diagonalisation d'une matrice Dans l'ensemble Mr (K) des matrices carrées ä coefficients dans K(=R on C), les matrices diagonales
PolyJBHU ch
Si x est un vecteur propre de A, alors le scalaire λ de ii) est la valeur propre Remarque 49 i) Si on connaıt une valeur propre λ d'une matrice A, alors la
chapitre
Valeurs et vecteurs propres 2 Soit A une matrice carrée de taille n × n, x ∈ Rn un vecteur des vecteurs propres dont les valeurs propres correspondent `a
valeurs propres diagonalisation
Soit f : Kn → Kn un opérateur linéaire et M la matrice de f dans la base canonique Alors λ est une valeur propre de f si et seulement si det(M − λI) = 0
Chap F
Le vecteur x est alors appelé vecteur propre associé `a la valeur propre α Pour la matrice précédente, nous avons trouvé deux valeurs propres 1 et 0 5 et des
Chap
11 jan 2017 · Le déterminant d'une matrice diagonale est facile à calculer On a det α1 0 ·
analyse calculmatrix cours
? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que. AX = ?X. • Le vecteur X est alors appelé vecteur propre de A associé à
Défintion : valeur propre et vecteur propre. ? Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n si Ax = ?x pour un certain réel ?.
Remarque : Si ?i. 0 pour tout i la formule vaut pour tout n ? Z. 3. Théor`eme : Soit P une matrice inversible. Si A1
des matrices colonnes X) tels que f( x) = ? x (resp. AX = ?X). Il est donc formé des vecteurs propres et du vecteur nul ! • Si A est la matrice de f dans
Le vecteur x est alors appelé vecteur propre associé `a la valeur propre ?. Un vecteur propre a donc une direction privilégiée par la matrice alors que la
11 janv. 2017 Le premier vecteur de base est vecteur propre associé aux valeurs propres respectives 1 1 et. 2 pour les opérateurs de matrices respectives A?
E est un espace vectoriel sur K de dimension finie n ? N? ;. • f est un endomorphisme de E ;. • A est une matrice carrée d'ordre n ? N? à coefficients dans
23 févr. 2013 vecteur propre pour la valeur propre donnée par le terme ... une matrice V telle que V ?1AV soit une matrice diagonale de valeurs propres.
Avant de définir formellement dans la section suivante les notions de valeur propre et de vecteur propre d'une matrice nous considérons un nouvel exemple d'
Avant de définir formellement dans la section suivante les notions de valeur propre et de vecteur propre d'une matrice nous considérons un nouvel exemple d'
Valeurs propres vecteurs propres