Exemple: On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes Cette propriété ne se démontre Cette propriété ne se démontre pas, on l’admet et autour de cette propriété, on obtient d’autres propriétés de la géométrie plane
• droites →Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, il faut d’abord montrer qu’elles sont coplanaires Il s’agit de trouver un plan contenant ces deux droites → deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d’intersection parallèles entre elles
Ø Comment montrer que trois points sont alignés ? Ø Comment reconnaître que deux droites sont sécantes ou parallèles ? Ø Comment déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes ? Algorithmique : Ø Instructions conditionnelles Ø Initiation à Python Histoire : Ø Carl Friedrich Gauss, XVIIIème
rapports : il faut aussi s’assurer que les points sont bien placés dans le même ordre 2 Montrer que deux droites sont parallèles: Exemple:-dessous, les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M d’une part MH MA = 3 d’autre part , =8 6 =4 3 On constate que ????= De plus les points A, M, H d’une part et les points L, M, T
On peut noter que deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun Quand deux droites sont coplanaires, d’après le cours de géométrie plane, on sait qu’il existe trois types de positions relatives de ces deux droites : sécantes, strictement parallèles ou confondues On adopte alors la définition suivante : Définition 2
Pour montrer que deux droites de l’espace ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu’elles ne sont ni parallèles ni sécantes Comme et ne sont pas colinéaires ( leurs coordonnées ne sont pas
Montrer que le point M(11;4)appartient à la droite d 1 2 Droites parallèles et droites sécantes Soient dune droite de vecteur directeur →u et d′ une droite de vecteur directeur →v • Les droites d et d′ sont parallèles si et seulement si les vecteurs →u et →v sont colinéaires, c’est-à-dire det(→u;−→v)=0
d et d′ sont deux droites sécantes en A Les points B et M sont des points de d, distincts de A et les points C et N sont des points de d′, distincts de A Si AM AB = AN AC alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles En examinant les trois figures ci-dessus, Jade dit que l’énoncé est faux Quelle figure permet à Jade de
Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles A c t i v i t é 4: L a s y n t h è s e Voici un tableau synthèse sur le théorème de THALES, la réciproque et la contraposée Compléter ce tableau : Pour On utilise calculer une longueur quand les droites sont parallèles démontrer que deux droites sont parallèles
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Méthode pour démontrer en géométrie dans l’espace 1
→Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, il faut d’abord montrer qu’elles sont coplanaires Il s’agit de trouver un plan contenant ces deux droites → deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d’intersection parallèles entre elles → avec les vecteurs, pour montrer que deux droites sont parallèles, on montre qu’elles ont des vecteurs directeurs colinéaires
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Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de l’espace
On peut noter que deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun Quand deux droites sont coplanaires, d’après le cours de géométrie plane, on sait qu’il existe trois types de positions relatives de ces deux droites : sécantes, strictement parallèles ou confondues On adopte alors la définition suivante : Définition 2
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EQUATIONS DE DROITES & SYSTEMES LINEAIRES
1 Montrer que les droites sont sécantes 2 Préciser leur point d’intersection On considère les droites :=−3+4 " := −1 1 Montrer que les droites sont sécantes 2 Préciser leur point d’intersection Le plan étant muni d’un repère orthogonal (O;,), d’unités 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées : 1 Tracer la droite () d’équation y=3x+5
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DROITES ET PLANS DE L'ESPACE
1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et d 2 sont confondus
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I Théorème de Thalès – Configuration en papillon
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en un point A les points B, A et M sont alignés dans cet ordre les points C, A et N sont alignés dans cet ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles Exemples : 1) Configuration de base :
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Quelques méthodes de géométrie dans l’espace
⨿ Pour montrer que deux droites dont on a une représentation paramétrique sont non coplanaires : Cela revient à prouver que les droites ne sont pas parallèles et qu’elles ne sont pas sécantes Pour montrer qu’elles ne sont pas parallèles, on vérifie que les coordonnées des deux vecteurs
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A 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF Enoncés corrigés de
a Montrer que les droites (HI) et (EA) sont sécantes On note X le point d’intersection b Montrer que les droites (HJ) et (CG) sont sécantes On note Y le point d’intersection c Montrer que les droites (XY) et (IJ) sont parallèles 4 ABCDEFGH est un cube On note (d) la parallèle à (BD) passant par A a Montrer que (d) et (FH) sont
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VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L'ESPACE
- Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même plan (EFG) et sont sécantes en G - Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan (ADG) et sont parallèles - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires 2) Positions relatives de deux plans Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles P 1 et P 2 sont sécants P
Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles P1 et P2 sont Propriété : Si un plan P contient deux droites sécantes d et d' parallèles à un plan P' alors les plans Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales
EspaceTS
droites →Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, il faut d' abord montrer qu'elles sont coplanaires Il s'agit de trouver un plan contenant
espace methode montrer que
5 3 droites coplanaires rappel Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes Pour montrer que deux droites ne sont pas
TS droites et plans
Deux plans p1 et p2 peuvent être : ○ sécants leur intersection est une droite ○ strictement plan) 2°) Démontrer que les droites (CE) et (BH) sont sécantes
TSgespcours
PROPRIETE 8: Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre droite PROPRIETE 9
espace
Deux droites sont strictement parallèles si elles sont coplanaires et n'ont aucun point commun On montre que la droite n'est pas contenue dans le plan
droites et plan espace
Droites coplanaires : deux droites sont coplanaires si elles sont contenues dans le même plan point et elle est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan Pour montrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que deux
cours geomesp
les droites d et d' sont parallèles Conclusion : La droite d est parallèle au plan P 2- Plans parallèles Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un
paraperpesp
Deux droites coplanaires sont sécantes en un point ou parallèles Deux droites non Deux plans sont sécants suivants une droite ou parallèles Dans le cube
espace
Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.
droites. ?Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes il faut d'abord montrer qu'elles sont coplanaires. Il s'agit de trouver un plan
Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes.
On montre que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan soit par exemple à et à Méthode 13 : Montrer que deux droites sont sécantes ou pas.
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles.
Deux droites coplanaires sont sécantes en un point ou parallèles. Deux plans sont sécants suivants une droite ou parallèles.
Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de prouver que deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. Pour
- Si de plus elles sont sécantes elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^.
5.3 droites coplanaires rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont
EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS