fx x x 1 Montrer que pour tout x de ; 2sin2 2 3 fx x 2 Montrer que f est une fonction périodique de période 3 Montrer que fx 0 pour tout x de ; 36 Exercice 02: 1 Résoudre dans l'équation : 2sin 1 0 x 2 En déduire les les solutions de l'équation :
fx x +− = 1) Déterminer D f 2) Vérifier que ∀∈xD f 1 1 1 fx x = ++ 3) Montrer que f est décroissante sur D f 4) Montrer que ∀∈xD f 0 1
FX 15 - ESPACES DE DIMENSION FINIE 2 Ex ‡ Soit E un Kev de dimension finie et soit f 2L(E):Montrer que : ker f = Im f, (f2 = 0 dim(E) = 2rg f Ex · Soient E un Kev de dimension finie et soient f;g 2L(E):Montrer, en considérant la restriction
1) Montrer qu’il existe un unique polynôme Pn 2K[X] tel que Pn +Pn (X +1) = 2Xn: 2) Trouver une relation de récurrence liant P0 net P 1: 3) Montrer que la famille (P k) 2N est une base de K[X] et décomposer Pn (X +1) sur cette base 4) Démontrer que Pn (1 X) = (1)n Pn: Ex – On pose, pour tout n 2N;Ln = h X2 1 ni( ):A l’aide de la
2) Montrer que l’application u est linéaire 3) Déterminer Ker u()et en donner une base 4) Montrer que Im (u X)=ℂ1[] EXERCICE 17 : Soit nun entier naturel non nul et f l’application qui à tout polynôme P X∈ℝ n []associe 1 0 ∫P t dt 1) Montrer que l’application f est une forme linéaire non nulle En déduire la dimension de
1) Montrer que f est un automorphisme de E et préciser f 1 2) Montrer que EE 3E Soit p la projection de E sur Ed parallèlement à d E3 et q la projection de E sur G parallèlement à F 3) Montrer que f p q 3 EXERCICE 12 : Soient F x y z x y z ^ 3, , ; 0 ` et G Vect 1,1,1 deux sous espaces vectoriels de 3 1) Montrer que F et G sont
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension
a) Montrer que, si Ker f = {0}, alors Kerf2 = {0} b) On suppose maintenant que Ker f ̸= {0} Montrer que Ker f = Kerf2 c) Conclure 2 On suppose que Ker f = Kerf2 a) Etablir que si´ µ est une valeur propre de f alors µ2 est une valeur propre de f2 b) Soit λ une valeur propre non nulle de f2, et µ1,µ2 ses deux racines carr´ees
Montrer que la restriction de f à l’intervalle −1 2; +∞ induit une bijection vers un ensemble que l’on précisera Donner une expression simple de l’application réciproque associée 2 Reprendre la question ci-dessus avec la restriction de f à l’intervalle −∞; −1 2 Exercice 8 : [corrigé] 1 Montrer que shréalise une
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Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
Montrer que f(x) = (x² + 3x) x +8 est dérivable sur ]−8;+∞[ La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue sur ]−8;+∞[donc elle est dérivable sur ]−8;+∞[ Attention : vous remarquerez la différence entre l’exemple de la continuité et celui-ci :Taille du fichier : 47KB
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Equation f(x) = x - ac-bordeauxfr
f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction g définie par g (x) = f (x) − x est continue et strictement décroissante sur R 2 Comparer g (x) avec f (0) − x dans le cas où x est positif En déduire lim ( ) x→+∞ g x À l’aide d’un raisonnement semblable, déterminer la limite de g en − ∞ 3 En déduire que l’équation f (x) = x admet une solution unique α 4 Exemple Taille du fichier : 61KB
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Montrons que, pour tout x appartenant à l’intervalle [1 f
x f x x xx 1 Vérifions que pour tout x > 0, 2 '( ) gx fx x et signe de lnx x x est de la forme u v, sa dérivée est de la forme 2 u v uv'' v Pour tout x > 0, 2 2 2 2 1 ( )( ) (ln )(1) 2 2 1 ln '( ) 2 2 xx x x fx x x x x soit 22 2 2 2 2 1 ln 2 ln 2 3 ( ) '( ) x x x x g x fx x x x 2 Sens de variation de f et tableau de variation de f Pour tout x > 0, x2 0 donc le signe de fx'( ) est le
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Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles
f(x)= f(x−nT)≤M DoncfestbornéeparMsurR Exercice 17 : Montrerquef: R →R bornéeetg: R →R continueontdes composéesbornées Correction :Soit M ∈R tel que pour tout réel x, f(x)≤M On a alors pourtoutréelx,f(g(x))≤Mdoncf gestbornée Puisquegestcontinuesurlesegment[−M,M] elleyestbornéeparuncertain M0
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Chapitre 7 Fonctions dérivables
f(x)−f(a) x−a C’est avec la définition 1 que l’on établit les différentes formules de dérivation données en 1ère S Un formulaire de dérivées usuelles sera rappelé et complété plus loin Exemple Soit f la fonction définie sur Rpar : pour tout réel x, f(x) = x2 Soit aun réel Pour tout réel hdifférent de 0, f(a+h)−f(a) h =
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Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
Soit φ l’application affine telle que φ(x) = f(x) et φ(y) = f(y) La conservation des barycentres par les applications affines permet d’´ecrire : φ(λx+(1−λ)y) = λφ(x)+(1−λ)φ(y) = λf(x)+(1−λ)f(y) ≥ f(λx+(1−λ)y) Cela signifie que pour tout z ∈ [x,y], f(z) ≤ φ(z) et donc que le point (z,f(z)) est au-dessousTaille du fichier : 170KB
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Exercices de Colles de Sup - École Normale Supérieure
Exercice 5 (**) Soient Eun ensemble et f: E Etelle que f f f= f Montrer que fest injective ssi fest surjective Solution Si fest injective, f f= Iddonc fest surjective Si f est surjective, ourp tout x, on crité x= f(y), ec qui donne f(f(x)) = x donc fest injective Exercice 6 (**) Soient E, Fensembles Taille du fichier : 399KB
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Lycee´ Thiers - mpsi-3weeblycom
Montrer que f est une bijection et préciser sa bijection réciproque Montrer que si u est bijective, alors f (u) aussi puis expliciter h f (u) i 1: FX 3 - INJECTIONS, SURJECTIONS & BIJECTIONS 3 Ex – Soient E un ensemble, A et B deux parties de E:On considère l’application : f : P(E) P(A) P (B);X 7(X \A;X \B) 1) Montrer que : f est injective ,A[B = E 2) Montrer que : f est surjective ,
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Théorème de la bijection : exemples de rédaction
1ilexistex 2Itelqueu 1= f(x), 2ilexistex 2Itelqueu 2= f(x) D’oùf 1(u 1) = f 1(f(x 1)) = x 1 et f 1(u 2) = f 1(f(x 2)) = x 2 L’implication à montrer s’écrit donc : f(x 1) f(x 2) carfestcrois-sante Lecaractèrecontinudef Taille du fichier : 278KB
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TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles
1 Supposons que g f estinjective etmontrons que f est injective Soient x et y deux éléments de E tels que f(x) = f(y) Alors : g(f(x)) = g(f(y)) ⇔ g f(x) = g f(y) Or, par hypothèse, g f est injective donc : g f(x) =g f(y)⇒ x =y Ceci étant vrai pour tout élément x,y ∈ E, on en déduit que f est injec-tive 2 Supposons que g f est injective et f est surjective
Montrer que le polynôme x3 + 2x − 1 a une unique racine qui appartient à l' intervalle ]0, 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x − 1 La fonction f est continue dérivable
TD corrige
Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪G = G) et Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n −1 2 Soit k un entier
ficall
Montrer que √ 2 ∈ Q, 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication Τ Correction Τ
fic
(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
selcor
Exercice 9 Soit a, b, c, d positifs tels que abcd = 1 Montrer que a2+b2+c2+d2+ab +cd+bc+ad+ac+bd ⩾ 10 Trouver les cas d
Inegalites Theo
Exercice 4 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : Exercice 6 Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E :
td
En admettant que la fonction t ↦→ ln(t) est strictement croissante, montrer que f est strictement décroissante sur l'intervalle ] − 1,1[, sans calculer sa dérivée En
lc
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires On sait que (d1 ) // (d2 )
COMMENT DEMONTRER
Montrer que B = C Solution Double inclusion Exercice 2 (*) Soient E, F deux ensembles, f : E −→ F et Φ :
colles
Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 + 2k)+1) donc n2 + n est pair Donc, pour tout n ∈ N, n2 + n
corrige c LG
Soient f et g deux fonctions continues R → R. On suppose que : ∀x ∈ Q f(x) = g(x). Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant
Exercice 10 Soit f : R → R continue en 0 telle que ∀x ∈ R f(x) = f(2x). Montrer que f est constante. 3´Etude de fonctions. Exercice 11 Déterminer les
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x sin x. 1. Pour tout n Nous allons montrer que f est constante. Soit x0 ∈ R alors la suite x0 + nT ...
Exercice 12 : Soit f : R → R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Correction :Unicité : Soit g : x ↦→ f(x) − x.
On peut aussi dire que f(x) tend vers l quand x tend vers x0. Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe. Proposition
Exercice 5 ***. Montrer que (1. √. 2
∀x ∈ Vf(x) − f(x0) ≤ 0. Comme x0 est un point intérieur `a I
Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R → R et k ∈ R+. On suppose que
Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est
J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x). Montrer que f = g.
est linéaire et son noyau E est un sous-espace vectoriel de C1. Exercice 10 : Montrer que l'ensemble F des triplets (x y
1. Montrer à partir de la définition donnée en cours
c) Montrer que f : x ?? x + sin. (1 x. )2 n'admet pas de limite en 0. d) h1 + h2 admet-elle une limite en 0 ? e) Montrer que la fonction sin n'admet pas
Exercice 12. Soit E = Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ? n et f : E ? E définie par : f(P) = P+(1?X)P . Montrer que f est une application
26 févr. 2015 venons de démontrer que si une fonction dérivable f s'annule (n+1) fois ... f (x) mais pour appliquer le résultat de l'exercice précédent
que la fonction Sup (fg) est continue sur I. Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I ? R continue telle que ?x ? I
Pour montrer que f est une application linéaire il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + Soit f:R3 ? R2 définie par f(x
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que x. f x x x. 1. Montrer que f est impaire et continue sur . 2. Montrer que f est ...
Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne). Soit f : R ? R et k ? R+. On suppose que
Corrigé du TD no 11