Exercice 1 Montrer que pour tout n 2 N : 1 n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, 2 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120 Exercice 2 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210 Exercice 3 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360 De mˆeme avec pgcd 18 et produit 6480
lui-m^eme Par exemple 6 est parfait : 6 =1+2+3 Montrer que si 2n+1 −1 est un nombre premier alors 2 n(2 +1 −1) est parfait Culturel : Ce r esultat est d ej a dans les el ements d’Euclide La r ecip est vraie : un nombre parfait pair est toujours de la forme pr ec edente, c’est un r esultat du^ a Euler 1
a) Le nombre 4 3 n 4n est divisible par 5 quel que soit n de IN b) Le nombre 3 2 n 2n est divisible par 7 quel que soit n de IN c) Le nombre 3 5 2 n 1 2 3 n 1 est divisible par 17 quel que soit n de IN Exercice Maths-inter ma 4 Montrer par récurrence que pour tout n de IN a) Le nombre 4 n 15 n 1 est divisible par 9 quel que soit n de IN
c) D eterminer l’ensemble des entiers n tels que (n 1)(2n + 1) divise (n + 3)(n2 + 2n 2) Exercice 2 : Les parties 1, 2 et 3 sont ind ependantes 1 a) Montrer que pour tout n 2N; (9n 1) est divisible par 8 b) En d eduire que pour tout n 2N; (32n+1 3) est divisible par 8 c) D eterminer alors le reste de la division euclidienne de 32015 et
2) Montrer que pour tout entier non nul, 322nn est divisible par7 EXERCICE 2 : Déterminer tous les couples d’entiers naturels a et b tels que ab 1 18 2 EXERCICE 3 : Soit n un entier naturel 1) Montrer que si n est pair alors n2 est pair 2) Montrer que si est impair alors est impair 3) En déduire que est pair si et seulement si est pair et
1n det(A1n) où A1i est la matrice 5 2 7 2 5 5 est aussi divisible par 17 En effet, montrer que det(λA) =
Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec a k k k k k2 2 2 u u 2 1 2 2 2 1 1 4 4 1 2 Donc : a k k k22 2 2 1 2 1 cc avec 2 k k k 2 cc Donc : et est un nombre impair Exercice : est un nombre impair Montrer que si est impair alors a est un nombre impair Solution : on suppose que est pair alors
On veut montrer que P(n+1) est vraie Cela revient a se donner un ensemble V quelconque de n+1 vaches, et a montrer que toutes les vaches dans V ont m^eme couleur (iii) Pour montrer cela, il su t de montrer que pour tout couple (v 1;v 2) d’ el ements de V , v 1 et v 2 ont m^eme couleur Soit donc un tel couple (v 1;v 2) ∈V 2
On a montré par récurrence que : ∀n>4, n>n2 Exercice no 3 Montrons par récurrence que : ∀n>2, nest divisible par au moins un nombre premier • 2est divisible par 2qui est un nombre premier La propriété à démontrer est donc vraie quand n=2 • Soit n>2 Supposons que pour tout k∈ J2,nK, kest divisible par au moins un nombre
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Feuille 5 : Arithm´etique - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 1 Montrer que pour tout n 2 N : 1 n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, 2 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120 Exercice 2 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210 Exercice 3 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360 De mˆeme avec pgcd 18 et produit 6480 Exercice 4 Calculer le pgcd de 48 et 210, et de 81 et
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Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé
Montrons par récurrence que : ∀n>2, nest divisible par au moins un nombre premier • 2est divisible par 2qui est un nombre premier La propriété à démontrer est donc vraie quand n=2 • Soit n>2 Supposons que pour tout k∈ J2,nK, kest divisible par au moins un nombre premier et montrons que n+1 est divisible par au moins un nombre premier Si n+1 est un nombre premier, n+1 admet au
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Arithmétique dans Z - Exo7
Montrer que 8n2N : n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24; n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120: Correction H Vidéo [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3 Correction H Vidéo [000267] Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est Taille du fichier : 186KB
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Université Claude Bernard - Lyon 1 9 Polynômes
2 Soit n un entier naturel Montrer que (X −1)n+2 +X2n+1 est divisible par X2 −X +1 Exercice 2 13 (∗) Soit P ∈ C[X]défini par P(X)=X3 +3X2 +2X +i 1 Déterminer les racines du polynôme dérivé P′ 2 Montrer que P n’admet aucune racine réelle 3 Déduire des questions précédentes que P admet 3 racines distinctes dans C
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que 8k 2Z; P(n+km) est un entier divisible par m 2 Montrer qu’il n’existe pas de polynômes non constants à coefficients entiers tels que P(n) soit premier pour tout entier n Taille du fichier : 235KB
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Corrigé Devoir surveillé n° 1 Terminale S spécialité
2 Pour montrer que, pour tout entier naturel n, le nombre n(n4 – 1) est divisible par 30, il suffit de montrer que ce nombre est divisible par 2, 3 et 5, car 2 ×3×5 = 30 On a n(n4 – 1) = n(n2 – 1)( n2 + 1) = n(n – 1)( n + 1)( n2 + 1) Divisibilité par 2 : Si n est pair, alors n(n4 – 1) est divisible par 2 Si n est impair, alors n +1 est pair et n(n4 – 1) est divisible par 2
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Polynômes - lesmathematiquesfreefr
Vérifier queFm,ϑ est divisible parF1,ϑ Calculer le quotient Exercice17 4 7 ♥ Vérifier queXn sinϑ−X sinnϑ+sin(n −1)ϑ est divisible dansC[X] parX2 −2X cosϑ+1 et calculer le quotient Exercice17 4 8 ♥ Soitn etm deuxentiers naturels 1 Démontrer que sid n alorsXd −1Xn −1 2 Onposen =mq +r àlafaveur d’une division
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Chapitre 3 Arithm´etique ´el´ementaire
Exercice 1 1 Montrer que √ 2 est irrationnel 2 Montrer que √ 1000 est irrationnel 1 Si √ 2 est rationnel, alors on pourrait ´ecrire √ 2 = p q avec p et q premiers entre eux Alors, on aurait : 2 = p2 q2 ⇔ 2q2 = p2 Cela implique que 2 divise p grˆace a Euclide Si p = 2k, alors 2q2 = 4k2 ⇒ q2 = 2k2 Donc 2 divise q Ainsi pgcd (q,p) = 2, ce qui est absurde avec le fait que q
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Devoir n°2 - 2016 corrigé
Réciproquement : si, 2u n est divisible par 7 alors u n est divisible par 7 (2 ne l’est pas) (On verra comment faire une preuve correcte avec le théorème de Gauss) n3n 1 divisible par 7 3 1 (7) Ce n’est le cas que pour les entiers n dont le reste est 0 dans la division par 6 d’après le tableau de la question 1 e (la chasse au 1 donne
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351 - Concours olympiades - ChingAtome
Par exemple, n=24 est un nombre Harshad car la somme de ses chi res est 2+4=6, et 24 est bien divisible par 6 1 a Montrer que 364 est un nombre de Harshad b Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad? 2 a Donner un nombre Harshad de 4 chi res b Soit n un entier non nul Donner un nombre Harshad de n chi res
Exercice 12 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans
FDM TD
2 Pour montrer que, pour tout entier naturel n, le nombre n(n4 – 1) est divisible par 30, il suffit de montrer que ce
ts spe ds cor
Exercise 3 Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4 Soit n = 2k + 1 un nombre impair ( k entier) Le nombre impair
exar divis cor
Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n2 – 1 est divisible par 8 Si n est impair alors n≡1 2 donc il existe p appartenant à ℕ tel que n=2 p 1
Cfeuille
Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8 Exercice 5 Montrer que
selcor
Démontrer que a et b sont divisibles par 6 2 Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout n∈ℕ que n3 + 5n est un multiple de 6
divisibilite nombres premiers spe exer
Démontrer que quel que soit l'entier naturel n le nombre D=3n+ 3−44 n+ 2 est divisible par 11 EXERCICE 2 1 Dans le système de numération de base 6,
arithmetique congruences criteres divisibilite ex
0 est divisible par tout entier relatif Propriété Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible par n Démontrer une congruence :
DivisibTS
On emploie aussi l'expression " est divisible par " pour dire Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9 Exercice 4
extrait C A me math
5 nov 2013 · Exercice 2 Pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5, Montrer que l' entier p² - 1 est divisible par 24 (On montrera que p² - 1 est
DS cor
2. n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Exercice 2 Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210. Exercice 3 Déterminer
Pour tout n ? N le nombre 16n +4n +3 est-il divisible par 3. [000168]. Exercice 72. Démontrer
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120. Correction ?. Vidéo ?. [000257]. Exercice 3. Montrer que si n est
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Exercice : On suppose que 4n + 2 n'est pas le carré d'un nombre entier. Montrer que pour n ? 0 on a : [. ? n +. ? n + 1. ].
3. Le produit de deux entiers impairs est-il toujours un nombre impair? 4. Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible
Exercice 2 En utilisant la formule du binôme démontrer que : 1. 2n + 1 est divisible par 3 si et seulement si n est impair ;. 2. 32n+1 + 24n+2 est
Exercice 7-1 Montrer que pour tout n ? N n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24. Exercice 7-2 Calculer le pgcd de 48 et 210
À montrer la proposition : P := "Si n n'est pas divisible par 3 alors n2 ?1 est divisible par 3". Preuve ? Préparation (traduction en logique) : Posons.
(ii) Un nombre est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres ? Exercice 6 – Pour n > 2 montrer que n2(n2 ? 1)(n4 ? 16) est divisible par 60.
Feuille 5 : Arithmétique