Exercice 3 Montrer que la suite (r n) n2N de nombres rationnels d e nie par r 0 = 2 et r n+1 = 1 + 1 r n est de Cauchy, mais non convergente dans Q Correction : On v eri e par r ecurrence que cette suite est bien d e nie et a valeurs dans Q
Proposition 2 1 Il existe des suites de Cauchy de Q qui ne sont pas convergentes ((Q;j:j) n’est donc pas un espace m etrique complet) Exercice 3 Montrer que la suite (r n) n2N de nombres rationnels d e nie par r 0 = 2 et r n+1 = 1 + 1 r n est de Cauchy, mais non convergente dans Q Exercice 4 Montrer que la suite (r n) n2N de nombres
Soit Σ un alphabet fini Les langages rationnels sur Σ sont définis inductivement par : (i) {ε} et ∅ sont des langages rationnels (iii) si L, L1 et L2 sont des langages rationnels, alors L1 ∪ L2, L1L2, et L⋆sont également des langages rationnels
2 Montrer que p 2 62Q, 3 En d eduire qu’ entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel 4 Soient aet bdeux rationnels positifs tels que p aet p bsoient irrationnels Montrer que p a+ p b est irrationnel Exercice 2 Trouver sous la forme p q des rationnels xdont les d evelopements d ecimaux p eriodiques sont donn es
Montrer ensuite que 1 ≥ 0 et −1 ≥ 0, et en d´eduire une contradiction Conclure 13 Le but de cet exercice est de montrer que tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel (on dit alors que les rationnels et les irrationnels sont denses dans R) On
Montrer que = [a N+1;:::;a N+T; ]: En déduire que est solution d'une équation de degré 2 à coe cients rationnels Montrer que 2Q( ) et en déduire que est un nombre algébrique de degré 2 La réciproque de ce résultat est vraie, c'est le théorème de Lagrange Dans le cas où = p davec dun entier sans facteur carré, on peut montrer que le
• Montrer qu'un langage est rationnel –A partir de (1) : utiliser les propriétés de stabilité à décomposer le langage en sous ensembles par union, intersection, concaténation, et montrer que ces sous ensembles sont rationnels –A partir de (2) : construire un automate acceptant ce langage
diviseurs communs que 1 et -1) Opérationssurlesrationnels On rappelle que : p q ¯ a b ˘ aq¯bp bq et p q £ a b ˘ ap bq L’addition et la multiplication sont donc des lois de composition internes dans Q, on vérifie que (Q,¯,£) est un corps commutatif On vérifie également que (Q,¯), (Q⁄,£) et (Q⁄¯,£) sont des groupes
Et des rationnels, il y en a t’il plus dans R? dans ]0,1[? dans [0,1]? Il y a t’il plus de r´eels que de rationnels? On va voir que tous les ensembles infinis ne sont pas ´equivalents, certains sont plus grands que d’autres On commence par ´etudier les plus petits d’entre eux, ce sont les ensembles d´enombrables 2 Ensembles d
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Chapitre 1 : Les nombres rationnels Les différentes sortes
une infinité de nombres rationnels)? Réponse surprenante : non, il est possible de dénombrer les nombres rationnels (de les compter avec des entiers) sans en oublier aucun Par exemple on peut compter les rationnels strictement positifs en faisant : n°1:1 1; n°2: 2 1; n°3: 1 2; n°4: 3 1; n°5: 2 2; n°6: 1 3; etc On fait augmenter progressivement la somme du numérateur et du dénominateur (elle vaut 2Taille du fichier : 411KB
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Les rationnels, les réels - Exo7
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels 1 (**) p 2 et plus généralement n p m où n est un entier supérieur ou égal à 2 et m est un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n’est pas une puissance n-ième parfaite 2 (**) log2 3 (****) p (LAMBERT a montré en 1761 que p est irrationnel, LEGENDRE a démontré en 1794 que p2Taille du fichier : 223KB
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1 Introduction Propri et es des rationnels
Exercice 2 Montrer que si (r n) n2N est une suite de nombres rationnels telle que jr n+1 r nj n pour tout n2N, ou est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy Correction : Il su t d’ ecrire pour m>n: jr m r nj= mX 1 k=n (r k+1 r k) mX 1 k=n jr k+1 r kj mX 1 k=n k < n 1 n+1 0
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1 Introduction Propri et es des rationnels
Exercice 2 Montrer que si (r n) n2N est une suite de nombres rationnels telle que jr n+1 r nj n pour tout n2N, ou est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy Proposition 2 1 Il existe des suites de Cauchy de Q qui ne sont pas convergentes ((Q;j:j)
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Suites r´eelles - univ-rennes1fr
Les entiers relatifs sont des rationnels L’ensemble des nombres d´ecimaux est d´efini par D = {r ∈ Q/∃k ∈ N, 10k r ∈ Z} x = 450 5767 est un nombre d´ecimal car 104 x est un entier Les nombres d´ecimaux sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des nombres d´ecimaux De plus, la somme et le produit de deux d´ecimaux est un d´ecimal, mais l’inverseTaille du fichier : 147KB
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Exercices fondamentaux
Montrer que a n et b n sont rationnels pour tout n, que le cas m2n = 2 ne se produit pas, et que si x appartient a tous les segments [a n,b n]∩Q alors x2 = 2 Conclure (on pourra aussi en d´eduire qu’il existe un nombre r´eel x ∈ [1,2] v´erifiant x2 = 2, et que ce nombre est irrationnel) 15 On rappelle qu’il n’existe pas de nombre rationnel x v´erifiant x2 = 2 (voir exercice
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Langages et expressions rationnels
Soit Σ un alphabet fini Les langages rationnels sur Σ sont définis inductivement par : (i) {ε} et ∅ sont des langages rationnels (iii) si L, L1 et L2 sont des langages rationnels, alors L1 ∪ L2, L1L2, et L⋆sont également des langages rationnels Est alors rationnel tout langage construit par un nombre fini d’application de la récurrence (iii) Pardéfinition
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Les nombres réels - Exo7
1 Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel Montrer que le produit de deux rationnels est un rationnel Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel Qu’en est-il pour les irrationnels? 2 Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : 0,1212; 0,12 12 ; 78,33456456 3 Sachant p 2 2=Q, montrer 2 3 pTaille du fichier : 171KB
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Irrationalité de e x est dit rationnel
Montrer que les suites (un)n2N et (vn)n2N sont adjacentes 6 En raisonnant par l’absurde, on se propose de montrer que le nombre e est irrationnel Pour ce faire, on suppose qu’il existe deux entiers naturels non nuls p;q premiers entre eux tels que e = p q: (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n; on a : un < e < vn: (b) En
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CH3 Propriétés des langages réguliers
Application : montrer que certains langages ne sont pas rationnels Exemples : L = {0 n1 : n ≥ 0} n'est pas régulier Si L est reconnu par un automate à n états, la factorisation de 0n1n conduit à une contradiction L = {écritures binaires de p, où p est premier} n'est pas régulier
Soient x1,x2 ∈ R tels que x1 est rationnel et x2 est irrationnel Montrons que Pour montrer que l'affirmation est fausse, il suffit de trouver deux nombres irrationnels Ce sont deux nombres irrationnels : x2 est irrationnel d'apr`es le cours et
chap ex
Exercice 1 I Montrer que les nombres suivants sont irrationnels 1 (**) √ 2 et plus généralement n √ m où n est un entier supérieur
fic
Montrer que si (rn)n∈N est une suite de nombres rationnels telle que rn+1 Proposition 2 1 Il existe des suites de Cauchy de Q qui ne sont pas convergentes
Fiche d correction
supA + inf B ⩽ sup(A + B) 3 Divers Exercice 10 Si a et b sont des réels ⩾ 0, montrer que : √
selcor
n∈N* et (vn) n∈N* sont adjacentes 6 En raisonnant par l'absurde, on se propose de montrer que le nombre e est irrationnel Pour ce faire
IrrationaliteE
Supposons alors que a et b sont des entiers supérieurs à 2 (et que an = m × bn) Ceci peut encore s'écrire 8p3 = q(−4p2 + 4pq + q2) ce qui montre que q
reels corrige
de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans Propriété caractéristique : dans l'écriture décimale d'un nombre rationnel, il y a une On montre par exemple que 3 peut se calculer de la façon suivante :
chap cours
18 sept 2014 · 1) Montrer que les suites (un) et (vn) sont strictement monotones, et donner On dit qu'un nombre réel x est irrationnel s'il n'est pas rationnel
DL
Les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le montre le théo - rème suivant Théorème 2 Si un intervalle de R contient au moins deux points
nr
Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel. Ce sont deux nombres irrationnels : x2 est irrationnel d'apr`es le cours et x1 = 10+(?.
14 mai 2005 Et des rationnels il y en a t'il plus dans R ? dans ]0
En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. En calculant son carré montrer que ce carré est racine d'un polynôme.
Montrer que ax + b est rationnel si et seulement si a = 0. 5. Soient a b
http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor/selcor09.pdf
enti`ere et les conventions de notations sont moins usuelles `a ce propos : lors Exercice : Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la ...
aussi rationnel. Pour démontrer ce résultat on introduit un param`etre L et une matrice carrée L × L dont les coefficients sont des fonctions (ps1 qs2 rs3 )
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. Montrer que le nombre 0ukuk+1uk+2... est rationnel. Correction ?. [005214] ... ce qui montre que P.
Montrer que si ab ? Q alors a+b ? Q. Démonstration. Prenons a ? Q
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est