F HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire 1 La méthode
(a) Montrer que Aet Bsont en bijection si et seulement si CardA= CardB (b) Montrer qu'il existe une application injective de Avers Bsi et seulement si CardA CardB En déduire qu'il existe au moins deux Montréalais avec le même nombre de cheveux (c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB
Remarques -• L’´ecriture avec les quantificateurs est souvent plus commode pour montrer qu’une application est injective • L’expression”auplus” signifie qu’un´el´ementde F soit n’a pas d’ant´ec´edent, soit en a un Proposition 5 6 – Soit f : E −→ F une application L’application f est bijective si chaque
Méthode 19 2 (Montrer qu'une application est linéaire) Pourmontrer qu'une application fn'est pas linéaire, on met en défaut le point 2'a ou le point 2'b de la méthode précédente Pour cela, onexhibe un contre-exemple Méthode 19 3 (Montrer qu'une application n'est pas linéaire) L(E;F) est l'ensemble des applications linéaires de
D e nition Une application lin eaire de Edans Fest une application f:EFtelle que pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K, f(u+ v) = f(u) + f(v), f( u) = f(u) Si F= Kon dit que fest une forme lin eaire Si F= E, fest appel ee un endomorphisme Pour montrer que fest une application lin eaire, il su t de v eri er que
Exemples 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur) 2) L'application x72xest une application linéaire de R dans R En revanche, l'appli-cation carrée, x7x2, n'en est pas une 3) Pour x
Alors toute application bi-linéaire continue B : E 1 ⇥ E 2 F est différentiable en tout point (a 1,a 2) 2 E 1 ⇥ E 2 et sa différentielle est l’application linéaire E 1 ⇥ E 2 F définie par (h,k) 7B(a 1,k)+B(h,a 2) 5) Plus généralement : Application multilinéaire continues Toute application multilinéaire continue L : E 1
Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F)
2 Montrer que k· kp n’est pas une norme pour p∈]0,1[ 3 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 4 Montrer que pour tout x∈ Rn,kxkp → kxk∞ quand p→ +∞ Solution 1 Comme Bp est sym´etrique par rapport aux deux axes de coordonn´ees, il suffit de tracer le graphe de
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Applications Bilin eaires et Formes Quadratiques
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur le corps K Rappelons qu’une application f: EF est lin eaire, si elle v eri e les egalit es suivantes, ou xet ysont des el emen ts quelconques de E, et un el emen t quelconque de K: f(x+ y) = f(x) + f(y) f( x) = f(x) Une application bilin eair e est l’analogue a deux variables d’une application lin eaire Il nous faut donc trois espaces vectoriels Taille du fichier : 425KB
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Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires
Proposition1 2 5 Soit ’ : E E00une application linéaire surjective Alors,onaunisomorphismed’espacesvectoriels: ’: E=ker’’E00 définipar:x+ ker’7’(x) Démonstration :L’apllicationdel’énoncéestbiendéfinieetestbienlinéaire Elle est surjective car si y2E00, il existe x2Etel que ’(x) = ydonc :
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Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire
Montrer qu’une application est linéaire 1 La méthode SoientEetFdeuxespacesvectoriels Onchercheàmontrerqu’uneapplicationf: EFestlinéaire Iln’yaqu’uneméthodeOnconsidèredeuxvecteurs~xet~ydeE,ainsiquedeuxréelsaetb,etonmontre que f(a~x+b~y) = af(~x)+bf(~y): Toute la difficulté réside dans le fait que ~xest parfois un élément de Rn,
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15 Exemples fondamentaux d’applications différentiables
k est linéaire, donc différentiable 2 Le produit de deux nombre réels, R⇥R R, (x,y) xyest une application bilinéaire (2-linéaire) 3 L’application L : R2 ⇥R R3 définie par L((x,y),z)=(2xz yz,0,xz) est bilinéaire 4 L’application det qui associe à une matrice carrée d’ordre n sont déterminant
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Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences
On appelle application bilinéaire ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De façon équivalente ( ) ( )} b bilinéaire forme bilinéaire Une forme bilinéaire b sur E est dite non dégénérée (ou régulière) si Elle est dégénérée si Ker ≠ {0} Remarque : La restrition d’une forme ilinéaire régulière à un ss-espace vectoriel de E peut être dégénérée SI b est non
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Produits scalaires Espaces euclidiens
Une forme bilinéaire sur E est une application ϕ de E×E dans Rqui est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables c’est-à-dire ∀(u 1 ,u 2 ,v)∈ E 3 , ∀(λ 1 ,λ Taille du fichier : 482KB
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Sommaire
Théorème : Pour montrer qu’une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu’elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu’elle est symétrique Démonstration : On sait ∀λ,µ∈ R ∀u,u 1,u 2 ∈ E ∀v ∈ E (Ψ(λ u 1 +µ u 2,v) = λΨ(u 1,v)+µΨ(u 2,v) Ψ( u,v) = ( ) D’où Ψ(u,λ v 1 +µ v
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1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur) 2) L'application x72xest une application linéaire de R dans R En revanche, l'appli- cation carrée, x7x2, n'en est pas une 3) Pour x 0 2R, l'application d'évaluation ev x 0: F(R;R) R qui à une fonction f2 F(R;R) fait correspondre f(x 0), sa aleurv en x 0, est une application linéaire du R-espace Taille du fichier : 245KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f: Indication H Correction H Vidéo [000976] 3 Indication pourl’exercice1 N Une seule application n’est pas linéaire Indication pourl’exercice2 N Prendre une combinaison linéaire nulle et l’évaluer par fn 1 Indication pourl’exercice3 N Faire un dessin de l’image et du noyau pour f : R R R Taille du fichier : 187KB
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IV Applications lin eaires
L’application identit e de Eest not ee Id E; elle est d e nie par Id E(u) = upour tout u2E C’est une application lin eaire de Edans E Soit 2K L’homoth etie de rapport est l’application lin eaire f:EEd e nie par f(u) = u pour tout u2E On a f= Id E Soit E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels suppl ementaires dans E: E= E 1 E 2 On
La forme bilinéaire symétrique b est dite non dégénérée quand son noyau est réduit `a {0} Si E est de dimension finie, le rang de b est le rang de l'application ϕb,
Bil
6 mai 2015 · Montrer que si H est un groupe, alors f est un morphisme, mais que c'est faux par exemple pour l'application nulle du monoïde multiplicatif N
BookAlgLin
3 6 Formes bilinéaires symétriques et formes bilinéaires alternées 24 4 Formes Démonstration : Il s'agit de montrer que si x+F = x +F et y+F = y +F, alors : (x + y ) + F (On rappelle que le rang d'une application linéaire est la dimension de
cours
Monter que b est une forme bilinéaire sur E × E Exercice 2 Soit ϕ : M2(R) × M2( R) −→ R (A, B) ↦− → Tr(tAB) 1 Vérifier que ϕ est une application bilinéaire
fetch.php?media=pmi:td formes bilineaires et quadratiques
est dite bilinéaire (resp sesquilinéaire) si pour tout y ∈ E, l'application x ↦→ b(x Le même raisonnement montre que u est linéaire, et que c'est un automor-
Algeo chap
Ce lemme est tr`es utile pour démontrer qu'une application est une forme bilinéaire et identifier sa matrice représentative, surtout dans le cas de E = Kn muni de
MAT COURS new
5) Si f est linéaire et ϕ bilinéaire, alors l'application ψ : (x, y) ↦− → f(ϕ(x, Montrer que si M ∈ E la polaire est la tangente `a E en M (on se place dans le plan
Chap Formesbilineaires
21 avr 2017 · Une forme bilinéaire sur un K-espace vectoriel E est une application b : montre que M et M ont même rang (puisqu'on compose M avec des
r C A sum C A cours alg bilin
b) L'application (ϕ,x) ↦− → ϕ(x) est bilinéaire de E∗ × E dans K de montrer que ces deux sous-espaces vectoriels ont même dimension pour obtenir
Havet
h) Montrer que D? et L(B1) ont le même noyau. 2 Formes bilinéaires. Rappelons qu'une application K–bilinéaire est appelée une forme bilinéaire si elle est `
est une forme bilinéaire symétrique (vérifier la symétrie). Définition 2.13 Une application q : E ? K est appelée forme quadratique.
L'ensemble Q(E) des formes quadratiques sur E est un sous- espace vectoriel de l'espace vectoriel F(EK) des applications de E dans K. Exercice 22. Montrer que
Montrer qu'il s'agit d'une application bilinéaire anti-symétrique. Est-elle dégénérée ? Exercice 3 : On se place sur R2[X] et on consid`ere l'application.
Définition 3 – Une forme quadratique q sur E est une application q : E ? R L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilinéaire.
D'une part on dit qu'une application f : G ? H entre deux groupes est un morphisme On peut montrer que
DEFINITION 1 : APPLICATION BILINEAIRE On dit que la matrice ( ) ... Toute forme bilinéaire alternée sur E est antisymétrique. La réciproque est vraie si ...
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique (t) dt = 0 implique que ?t ? [0.1]
On peut démontrer que si l'application f est G-différentiable dans un voisinage Va de a ? O
23-Oct-2013 Si q est une forme quadratique sur Rn il existe n formes linéaires ?1
On définit l'application f : M×M?? R comme suit : (A B) ?? det(A + B) ? det(A ? B) Montrer que f est une forme bilinéaire et calculer sa matrice dans
On appelle ?b l'application linéaire de E dans son dual associée `a la forme bilinéaire symétrique b Si E est de dimension finie et E est une base de E alors
On dit qu'une application B : E × F ? K est une forme bilinéaire si : ? x x ? E ? y y ? F ? t t ? K B(tx + t x y) = tB(x y) + t B(x y) B(x ty
Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
Savoir vérifier qu'une application est une forme bilinéaire (positive définie positive) 4 Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice d'une
Montrer que la dimension de l'espace vectoriel B(E × E K) est n2 Exercice Soit b une forme bilinéaire sur E Soient B1 et B2 deux bases de E On note P
est un isomorphisme de K-espaces vectoriels Preuve D'apr`es la proposition précédente l'application t est linéaire Montrons qu'elle est injective ; soit
21 avr 2017 · Une application q : E?K est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire symétrique b ? S(E) telle que pour tout x ? E q(x)
Une forme bilinéaire sur E est une application b : E × E?K linéaire en chaque argument c'est-à-dire Montrer que b ? B(E) et calculer [b]e en fonction
1 sept 2021 · Ce cours d'algèbre linéaire suppose connu les notions d'espace vectoriel de base d'application linéaire et de matrice ainsi qu'une
Comment montrer qu'une application est bilinéaire ?
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.Comment montrer une forme bilinéaire ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.Comment calculer la matrice d'une forme bilinéaire ?
Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit. L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de x 1 y 1 dans l'expression explicite de f ( x , y ) ; il est donc égal à 1.- En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F? de E constitué des vecteurs x tels que : On définit de même un noyau à droite E?, qui est un sous-espace de F. et l'on définit de même la non-dégénérescence à droite.
Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques