Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair Soit deux entiers consécutifs n et n+1 - Si n est pair, alors il s’écrit sous la forme n = 2k, avec k entier Alors le produit des deux entiers consécutifs s’écrit : n(n+1) = 2k(2k+1) = 2k 1, avec k 1 = k(2k+1) entier Donc n(n+1) est pair
La somme de deux nombres consécutifs est impaire Le produit de deux nombres consécutifs est pair Considérons deux nombres consécutifs En appelant k le premier, le second s’écrit k + 1 ( leur parité est, pour l’instant, sans importance) Notons que parmi les deux nombres consécutifs, un est pair et l’autre est impair
2 Non, prenons A = π et B = −π qui sont tous deux irrationnels On a A + B = 0 qui n'est pas irrationnel Exercice 6 On décompose 5814 et 3876 en produit de facteurs premiers et on trouve : 5814 = 2 × 32 × 17 × 19 3876 = 22 × 3 × 17 × 19 Oui, les nombres 5814 et 3876 ont les mêmes diviseurs premiers
2 Étudier la parité de la somme, de la différence et du produit de deux entiers a et b (avec a > b) lorsque : a et b sont tous les deux pairs ; a et b sont tous les deux impairs ; a est impair et b est pair Exercice 7 Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4
∗ La diff´erence de 2 nombres entiers ne peut pas ˆetre 1 2 ∗ On conclut que 2k +1 ne peut pas ˆetre pair et donc est impair • Finalement, on peut dire que l’ensemble de tous les entiers positifs peut ´etre divis´e en deux groupes: si un entier n’est pas pair, c -a`-d de la forme 2k, il doit ˆetre de la forme 2k + 1 un
2 le produit de deux multiples de a est un mul-tipledea VIII n désigneunnombredeZ 1 écrire en fonction den le nombre précédent et lenombresuivantn 2 Additionnercestroisnombres Dequelnombre lasommeest-elleunmultiple? 3 Énoncer une propriété traduisant cette pro-priété IX Démontrer que le produit de deux nombres im-pairsest
deux multiplications (52 x 17 et 57 x 12) pour prouver qu’on ne peut pas interchanger les chiffres des facteurs à multiplier, même s’ils gardent la même valeur de position, sans changer le produit Ils doivent ensuite expliquer et modéliser la façon d’utiliser les produits partiels lorsqu’on multiplie deux nombres à deux chiffres
Un entier n a 5 diviseurs et n−16 est le produit de deux nombres premiers 1) Prouver que n =p4, avec p premier 2) Écrire n−16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p 3) En déduire la valeur de n EXERCICE 28 Déterminer deux entiers naturels a et b tels que a >b, pgcd(a,b)=18, et qui ont respectivement 21 et 10
V Division de deux quotients A) Inverse d'un nombre non nul Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est egal à 1 Exemples : • 1×1=1 donc l'inverse 1 est lui-meme
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Nombre pair - Nombre impair
Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair Dans tous les autres cas, le produit est pair Produit de deux nombres pairs : Prenons deux nombres pairs Le premier est 2n et le second 2p ( Un nombre impair est du type 2 x ) Nous avons : ( le symbole x est Taille du fichier : 1MB
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Correction des exercices sur les nombres entiers
Démontrer que le produit de deuxnombresimpairsest un nombre impair (2p +1)×(2p +1) est impair comme produit de deux nombres impairs (ovoir exercice précédent); on le multiplie de nouveauparunnombre impair, donc le produit finalest impair XI Expliquer pourquoi chacunde ces nombresn’est paspremier : a) 39=3×13 donc39 n’est paspremier b) 72=2×36 donc72 n’est
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Arithm tique - PGCD
• Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est un nombre pair • Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair • Le carré d’un nombre pair est un nombre pair • Le carré d’un nombre impair est un nombre impair Exercice 3 : a) Que peut on dire de deux multiples consécutifs de 3 ? b) Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est un multiple de 3
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Les entiers pairs et impairs
• Nous appellerons les entiers qui ne sont pas pairs des entiers impairs Il est facile de voir que, pour chaque nombre pair 2k, son successeur 2k + 1 est un nombre impair – Pour ceux que c¸a int´eresse Une preuve que 2k +1 est impair: ∗ Supposons que 2k + 1 est pair ∗ Donc il existe un entier h tel que 2k +1 = 2h ∗ Donc 2h−2k = 1 Et donc 2(h− k) = 1
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Les différents raisonnements I) II)
On veut montrer que si un produit de deux entiers est impair , alors les deux entiers sont impairs La contraposée de cette proposition est : le produit de deux entiers dont l’un au moins est pair
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Extrait de cours maths 3e Multiples et diviseurs
2 Étudier la parité de la somme, de la différence et du produit de deux entiers a et b (avec a > b) lorsque : a et b sont tous les deux pairs ; a et b sont tous les deux impairs ; a est impair et b est pair Exercice 7 Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4
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1 sur 4 NOTION DE MULTIPLE, DIVISEUR ET NOMBRE PREMIER
On en déduit que S est un multiple 3 III Nombres pairs, impairs Définition : Un nombre pair est un multiple de 2 Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair Exemples : 34, 68, 9756786 et 0 sont des nombres pairs 567, 871 et 1 sont des nombres impairs Propriétés : 3 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Propriétés : Un nombre pair s’écrit
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np 22 - PanaMaths
Le produit est impair Remarque : on aurait également pu noter dès le début que tout produit d’un entier par un entier pair est pair On peut, en définitive, énoncer la règle classique suivante : La produit de deux entiers relatifs est : • Pair si, et seulement si, l’un au moins des deux entiers est pair • Impair si, et seulement si, les deux entiers sont impairs Question 2
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Devoir à la maison de 3 Carrés et cubes de nombres entiers
2) Le carré d'un nombre entier impair est un nombre impair 3) La somme de deux nombres entiers pairs est un nombre pair 4) La somme de deux nombres entiers impairs est un nombre pair 5) En utilisant les résultats précédents, démontrer que le produit de deux nombres entiers consécutifs est un nombre pair On pourra distinguer deux cas
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer alors que dans ce cas, x, y et z sont de plus deux à deux premiers entre eux 2 On suppose que x, y et z sont deux à deux premiers entre eux Montrer que deux des trois nombres x, y et z sont impairs le troisième étant pair puis que z est impair On suppose dorénavant que x et z sont impairs et y est pair On pose y=2y0, X = z+x 2
Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair. Dans tous les autres cas le produit est pair. ? Produit de deux nombres pairs : Prenons
Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx =
simple. a) Démontrer que la somme de deux nombre entier pairs est aussi un nombre pair. b) Démontrer que le produit de deux nombres impairs est toujours.
On en déduit que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est un multiple de 3. IX. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.
Mais ce n'est pas la seule façon de démontrer qu'une affirmation est Le produit de deux nombres impairs est impair c'est en particulier le cas du carré ...
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
La somme de trois nombres impairs est un nombre impair. • Le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair. Exercice 4 : Soit un entier naturel.
Un nombre entier naturel est impair s'il peut s'écrire Entiers pairs entiers impairs. Exemple ... Démontrer que le produit de deux nombres impairs est ...
Le produit de deux nombres impairs est-il impair? 3. Le produit d'un nombre Exercice 6 Soit n ? N. Montrer que soit 4 divise n2 soit 4 divise n2 ? 1.
Nous nous intéressons donc `a sa contraposée : si on multiplie deux nombres impairs alors leur produit est impair. Soit donc x et y impairs
Comment démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair ?
Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. Écrire ces nombres sous la forme n=2k+1 n = 2 k + 1 , et m=2l+1 m = 2 l + 1 , puis faire le produit. Soit n n et m m deux nombres entiers impairs. Ils s’écrivent donc n=2k+1 n = 2 k + 1 et m=2?+1 m = 2 ? + 1 , avec k k et ? ? des entiers.
Quand un nombre est-il impair?
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
Comment calculer le nombre impair ?
Puisque p = 2 k ? + k + ? p = 2 k ? + k + ? est un entier, on a écrit n × m n × m sous la forme 2 p + 1 2 p + 1, avec p p entier : c'est bien que n × m n × m est un nombre impair.
Quelle est la différence entre deux nombres A A et b b impairs ?
Soient deux nombres a a et b b impairs. Définition : un nombre est impair s'il n'est pas divisible par 2 2, et qu'il peut donc s'écrire sous la forme 2k+1 2k+1 avec k k un entier. Donc a=2k+1 a =2k+1 et b=2q+1 b=2q+1. La somme de a a et de b b peut donc s'écrire sous la forme 2k 2k avec k k un entier.
Nombre pair - Nombre impair