a pour module le produit des deux modules donc 1 a pour argument la somme des deux arguments donc Donc Si on dérive , on obtient Ces deux analogies troublantes avec la fonction exponentielle que nous avons vu au chapitre précédent justifient l'emploi de la notation suivante : Définition: Notation exponentielle Pour tout réel , on pose
Exponentielle imaginaire: formule e i (t+s) = eit eis, tout élément de U s'écrit sous la forme ei t avec t , ei t = ei s t – s est un multiple de 2 Relations d'Euler, formule de Moivre Arguments d'un complexe non nul Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul Argument d'un produit, d'un quotient
Module et argument 4 Notation exponentielle 5 Caractérisation des réels et imaginaires purs - b est appelée partie imaginaire de z - Un omplexe a une infinité d’arguments : si est
géométrique Notation exponentielle Cas particulier : nombre complexe de module 1 ∣z∣=1 1 z = z 12 =z L'inverse d'un nombre complexe de module 1 est égal à son conjugué 2 6 Exercices a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixez tels que :∣ z−2 z+1−i∣ =1 Première méthode (méthode algébrique) z=x+iy x∈ℝ y∈ℝ On
III - Module et argument IV - Les différentes écritures d’un nombre complexe non nul Partie réelle, partie imaginaire : L’égalité z=r×eiθ est une forme exponentielle du nombre
Forme exponentielle et forme trigonométrique z = Zejθ Module Argument z = Z Partie réelle Partie imaginaire Conjugué:
géométrique-Notation exponentielle Cas particulier : nombre complexe de module 1 ∣z∣=1 1 z = z 12 =z L'inverse d'un nombre complexe de module 1 est égal à son conjugué 2 6 Exercices a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixez tels que :∣ z−2 z+1−i∣ =1 Première méthode (méthode algébrique) z=x+iy x∈ℝ y∈ℝ On
Module et argument d’un nombre complexe non nul Définition: Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe Le module de z, noté z, est la longueur OM L argument de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle (u OM) Il est défini à 2
II ) NOTATION EXPONENTIELLE On s'aperçoit que l’argument se comporte comme une puissance donc par convention on pose cos + i sin = ei Propriété : tout complexe non nul z de module r et d’argument admet une écriture de la forme z = r ei Cette forme s’appelle la forme exponentielle de z
2 Un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive a un argument égal à ˇ 2 (mod 2ˇ) et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négatif a un argu-ment égal à ˇ 2 (mod 2ˇ) Donc, on peut dire : z2iR ,(z= 0 ou arg(z) = ˇ 2 (mod ˇ)); où iR représente l’ensemble des imaginaires purs
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La fonction exponentielle complexe
La fonction exponentielle complexe module et son argument et que pour multiplier deux nombres complexes non nuls on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments Plus g´en´eralement, les applications t → eiβt, β ∈ R, permettent d’obtenir des isomorphismes entre les groupes (R/ 2π β Z,+) et (U, ) Cela montre que tous les groupes quotients R/aZ, a 6= 0, sont isomorphes Taille du fichier : 156KB
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Exercices : Argument d’un nombre complexe Savoir d
H leurs a xes respectives Ecrire, en utilisant le graphique, z A, z B, z C, z D, z E, z F, z G, z H sous forme exponentielle et alg ebrique Ecrire un nombre complexe sous forme trigonom etrique et exponentielle 1) D eterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 3 z 2 = 4 z 3 = i z 4 = 3i z 5 = 2 + 2i z 6 = 2 2i z 7 = p 3 + 3i 2) Ecrire ces nombres complexes sous
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Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
Argument d’un réel non nul, d’un imaginaire pur • arg(z) 0 2Le complexe z est un réel strictement positif si et seulement si = [ ]π • zLe complexe est un réel strictement négatif si Taille du fichier : 497KB
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I CALCULS DANS ℂ - e-monsite
Forme exponentielle : z re= i r et Zéro n’a pas d’argument et son module est nul Lien entre les différentes formes : r z x y= = +22 et vérifie x cos z = et y sin z = EGALITE DE DEUX NOMBRES COMPLEXES Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et
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Forme trigonométrique et exponentielle Nombres complexes
vants, préciser leur module et argument 14 et Calculer la forme exponentielle des nombres suivants , , , est un imaginaire pur et en déduire la nature du quadrilatère 24 On considère pour tout le point d’affixe On désigne par le point d’affixe Démontrer , et sont alignés 25 On note et les points d’affixes respectives et Pour tout , on considère et le point d Taille du fichier : 418KB
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1 Complexes - pagesperso-orangefr
Calculer leurs parties réelles et imaginaires, leurs arguments et modules Question1 2 a et b sont deux réels, vérifier l’égalité : eia ¯eib ˘2ei a¯b 2 cos µ a ¡b 2 ¶ En déduire les modules et arguments de eia ¯eib Trouver une formule semblable pour eia ¡eib Question1 3 Mettre les nombres p 3¡1¯i(1¯ p 3), 1¯i p 3¯i¡ p 3, 1¯i(1¯ p 2) sous forme exponentielle
module et son argument et que pour multiplier deux nombres complexes non nuls on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments Plus généralement
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Remarque 4 5 On déduit de ce qui préc`ede que la multiplication par le nombre complexe cos ϕ ` i sin ϕ, de module 1 et d'argument ϕ, correspond, dans le plan, `
M ch nombrescomplexes
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtsargumentmodule.pdf
3 Forme exponentielle Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.
Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique et exponentielle. 1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :.
On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Exponentielle imaginaire pure. Définition : Soit ? ? R on appelle exponentielle imaginaire d'angle
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U. On pose ei? = cos? + un nombre complexe non nul admet une infinité d'arguments qui diffèrent.
Exercice 3 Effectuer les calculs suivants : 1. (3 + 2i)(1 ? 3i). 2. Produit du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le
Exercice 15. Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
On définit le module et l'argument de ce complexe de la façon suivante : • On appelle module d'un Ecrire les nombres complexes sous forme exponentielle.
Exponentielle complexe argument d'un complexe non nul partie réelle et leur partie imaginaire
I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif
Le module les arguments