Exercice : Séries télescopiques Justifier la convergence et donner la somme de rang et le case échéant, la somme de la série dont le terme général est le suivant : Solution a) Rappelons la formule : donc : La série converge et : Donc : b) On a : donc la série diverge et : donc la série est téléscopique et :
Exercice IV On considère c n = Xn k=1 k = n(n+1) 2 1 Soit a n = 1 cn Montrer que a n est une série téléscopique 2 Évaluer la somme X∞ n=1 a n 3 On considère maintenant a n = ln 1+ 1 n Montrer que a n est une série téléscopique et en déduire le terme général de la suite des sommes partielles de a n 1
3 Que dire d'une série téléscopique? Exercice 24 1 Montrer que la série X n 2 u nde terme général u n= 1 n(n 1) converge et calculer sa somme Lorsqu'une série converge, il est intéressant de connaître, pour chaque rang p,"l'erreur commise" en approchant Spar S p Pour cela, on introduit la notion dereste Lorsque la série X u
Corrigé du DM no 1 - Série numérique Exercice 1 (Somme téléscopique) Montrerquelasérie X n 0 3 (3n+1)(3n+4) convergeetcalculersasomme Notonspourtoutn 0;u n = 3 (3n+1)(3n+4) On a l’équivalence entre suites positives : u n ˘ n+1 1 3n2 Comme 1 3n2 est le terme général d’unesérieconvergente,alorsd
La série est téléscopique donc (a n) converge et il existe tq a n = +o(1) D’où le résultat Exercice On pose u 0 0 et 8n2N?;u n+1 = e nu n+1 Préciser la limite de u n et nu n Nature de P P u n et de ( 1)nu n Résolution On a, par récurrence immédiate, (u n) positive De plus, 8n 0;u n 1 n 0 donc u n 0 P(n+ 1)u n+1 = e u n 1
Remarque : la convergence de la série pouvait être obtenue simplement avec un équivalent Séries à termes positifs ou de signe constant 4 • La première série est à termes positifs et : n n n 1 ~ 2 +1 +∞, donc la série diverge puisque la série harmonique diverge • Pour la deuxième série, elle est encore à termes positifs et
3 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ ( ) Exercice 23 On considère la série numérique de terme général pour et : ( ()) 1 Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée, elle converge pour tout 2 Montrer que si la série est divergente On pourra utiliser un développement limité de ( ) 3
Exercice 11 : Montrer que les séries de termes généraux positifs a n et a n a n+1 sont de même nature Exercice12: Soit(a n) n 1 unesuitederéels 1 Montrer que si la série X n 0 a n converge vers S, alors la série X n 0 a n+a n+1 converge, et calculersasomme 2 Supposonsquepourtoutn 0 onaita n 0 Montrerquesilasérie X n 0 a n+a n+1
Vanne de zone à trois voies série 6480, 1" en fonctionnement “BY-PASS” avec Té de by-pass série 6490 sans buse Vanne de zone téléscopique à trois voies avec by-pass série 6489, en fonctionnment “BY-PASS” équipé d’une buse U6 Kv (m3/h) 1,20 Ø 3/4" 1,4 1,8 80 60 160 140 600 700 1600 1400 1800 800 70 90 120 50 100 200 500 1000
Série 677 Vanne de zone à 3 voies dimension 1/2”, 3/4” et 1” Série 678 Vanne de zone à 3 voies avec té de by-pass téléscopique dimension 1/2”, 3/4” et 1” Série 6563 Tête électrothermique à ouverture manuelle et indicateur de position 230 V (~) - alimentation 24 V ( /cc)
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Exercice : Séries télescopiques Justifier la convergence
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TD2 - Séries
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Séries Numériques (corrigé des indispensables)
La série proposée est clairement télescopique, construite avec la suite (a n) donnée par : ∀ n ∈ , n an e 1 = Puisque (a n) converge (vers 1), la série converge et sa somme vaut (e – 1) 2 Ecrivons comme proposé : (1 – x) u n = (1 x) 1 (1 x ) 1 (1 x ) (1 x ) x x n n 1 n 1 n n n 1 − − − = − − − + + +, et la série apparaît bien comme télescopique en posant : ∀ n
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Corrigé du DM no 1 - Série numérique
Corrigé du DM no 1 - Série numérique Exercice 1 (Somme téléscopique) Montrerquelasérie X n 0 3 (3n+1)(3n+4) convergeetcalculersasomme Notonspourtoutn 0;u n = 3 (3n+1)(3n+4) On a l’équivalence entre suites positives : u n ˘ n+1 1 3n2 Comme 1 3n2 est le terme général d’unesérieconvergente,alorsd
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Séries numériques Chap 02 : cours complet
Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet - 3 - Définition 1 3 : série télescopique Une série réelle ou complexe ∑un est dite télescopique lorsque son terme général peut se mettre sous la forme : ∀ n ∈ , u n = a n+1 – a n, où (a n) est une suite de réels ou de complexes Théorème 1 4 : convergence d’une série télescopiqueTaille du fichier : 83KB
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UE-PHOP045E Ingenieur 4 Contrôle d’analyse Durée 30 min
Exercice 1 Calculer la somme des séries P + 1 n=4 p 1 n p +1 et P + n=2 1 4n La première série est de type téléscopique : +X1 n=4 1 p n 1 p +1 = lim N+1 1 p n 1 p +1 = lim N+1 1 p 4 1 p N = 1 2 La séconde série est de type géométrique : X1 n=2 1 4n = X1 n=0 1 4n 1 1 4 = 1 1 1 4 1 1 4 = 1 12 : Exercice 2 Calculer l’intégrale impropre R +1 2 (1+x) 3dx Z +1 2 (1+x) 3dx
sept exercices, ce qui aboutit en Physique à environ 120 exercices sur l' ensemble scopique, le nombre moyen N de noyaux restant uL = ri + L di dt avec L inductance de la bobine en henrys (H) et r résistance interne de la bobine en ohms
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ensemble de notions fondamentales par le terme de « régime scopique » que j' emprunte à demeure découverte, sans qu'il y ait rien d'elle pour cela qui se répande ; puis, l'ayant recouverte de l'exercice de la vision Ce rapport semble
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quement rien sur les obstacles épistémologiques à l'appren- une série d' exercices faciles à noter scopique (le modèle) et macroscopique (l'observable ) ;
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tout ce que vous ressentez ou pensez sans rien choisir ni omettre, même si cela vous paraît ridicule, difficile à formuler Tout médecin doit s'abstenir, même en dehors de l'exercice de sa profession, de tout acte de sous contrôle scopique
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