La fonction f est dite concave (resp strictement concave) sur I si −f est convexe (resp strictement convexe) sur I Remarques et exemples 1) Une fonction convexe sur un intervalle I est aussi convexe sur toute partie de I qui est un intervalle 2) Une partie E d’un espace vectoriel r´eel est dite convexe si x, y ∈ E et λ ∈ [0,1
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 –Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 —Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de IRn et a ∈ IRn La fonction f : C 7→IRn est fortement convexe sur C si et seulement si la fonction g définie ci-dessous est convexe : g(x) = f(x)− α 2 kx−ak2 Démonstration
Si f : IRnIRm est une fonction constantealors rf = 0 et J f = 0 On a aussi fortement concave) si f est convexe (respectivement strictement convexe, res-
f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement croissante sur I Théorème 10 (Cas des fonctions dérivables) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Rà valeurs dans R On suppose de plus que f est dérivable sur I
Si fest strictement convexe sur I, elle admet au plus un minimiseur La fonction x7ex est strictement convexe sur R et n’admet pas de minimum ni de minimiseur sur R 1 2 2 Optimisation de fonctions de R dans R Si fest une fonction d e nie d’un intervalle IˆR et a valeurs dans R[f+1g,
Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I a) f est strictement convexe ssi f0 est strictement croissante b) Si f est deux fois d´erivable et si sa d´eriv´ee seconde est strictement positive sur I, alors f y est strictement convexe
Proposition 5 outeT fonction strictement monotone est ontinuec ssi f(I) est un intervalle Application 1 (Théorème de la bijection) [3] fest un homéomorphisme de Idans Jsi et seulement si f est ontinuec et strictement monotone 1 4 Critères de convexité Rappel: un convexe est stable par passage au barycentre Proposition 6
Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou dans l’exemple 3 que f est strictement convexe sur V si, et seulement si Aest
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Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
Cette fonction n’est pas strictement convexe G´eom´etriquement, les fonctions strictement convexes sont les fonctions convexes dont le graphe ne contient aucun segment de droite La proposition suivante pr´ecise cette affirmation Proposition 33 2 Soit f une fonction convexe d´efinie sur un intervalle I La fonction f est strictement convexe si et seulement si il n’existe aucun Taille du fichier : 170KB
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Fonctions convexes 1 Dimension 1
Une fonction fest dite (strictement) concave si fest (strictement) convexe –Le nombre x+ (1 )y, 2[0;1] est une combinaison convexe de xet y, c’est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1) – Interprétation géométrique : Soit C f la courbe représentative de fdans le repère orthonormé usuel de R2 On fixe deux points x y2I Tout point z2[x;y] s’écrit de Taille du fichier : 160KB
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Fonctions convexes 1 Dimension 1
Une fonction fest dite (strictement) concave si fest (strictement) convexe —Le nombre x+ (1 )y, 2[0;1] est une combinaison convexe de xet y, c’est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1) — Interprétation géométrique : Soit C f la courbe représentative de fdans le repère orthonormé usuel de R2 On fixe deux points x y2I Tout point z2[x;y] s’écrit de
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Convexité : résumé - MATHEMATIQUES
f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement croissante sur I Théorème 10 (Cas des fonctions dérivables) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Rà valeurs dans R On suppose de plus que f est dérivable sur I f est convexe sur I si et seulement si f′ est une fonction croissante sur I f est concave sur I si et
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Analyse 1: convexité et fonction convexe
Fonction strictement convexe Dé nition : strictement fonction convexe f: RdR est strictement convexe si elle véri e 8x 0 6= x 1 2 Rd;8 2]0;1[;f( x 1 +(1 )(x 0) {z } x ) < f(x 1)+(1 )f(x 0) Interprétation : le segment joignant deux points de le courbe est strictement au dessus de la courbe Fondamentaux pour le Big Data c Télécom echrisTPa 7/15 Analyse 1: convexité et fonction convexe
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Convexit´e - unicefr
La fonction x 7→x4 est strictement convexe puisque sa d´eriv´ee est strictement croissante Exo 5 Pour quelles valeurs du param`etre m la fonction f := x 7→2x2 +msinx est-elle strictement convexe? Convexit´e et tangentes Proposition Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I Alors f est convexe ssi f majore toutes ses lin´earis´ees Ca se d´emontre et surtout ca se dessine
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COURSOPTIMISATION CoursenMasterM1SITN IonelSorinCIUPERCA
fortement concave) si f est convexe (respectivement strictement convexe, res- pectivementfortementconvexe) Remarque:Ilestfaciledevoirqu’ona:fortementconvexe =)strictementconvexeTaille du fichier : 477KB
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FONCTIONS CONVEXES - ISIMA
Figure 3 1 – Fonction convexe 3 2 Définitions et propriétés On décrit dans ce chapitre les propriétés des fonctions convexes de IRn Définition 3 3 : Soit une fonction f : S 7→R, où S est un ensemble convexe non vide de IRn f est dite convexe sur S si : f(λx1+(1 −λ)x2) ≤ λf(x1) +(1 −λ)f(x2), ∀x1 et x2 ∈ S, λ ∈ (0,1) f est dite strictement convexe si l
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Exercice 31 : la convexité des préférences du consommateur
Et, une fonction convexe est une fonction dont l’épigraphe est convexe - En économie il suffit de représenter la courbe d’indifférence (U strictement quasi-concave, mais quasi-concave (la concavité n’étant pas préservée pour n’importe quelle transformation monotone croissante ) En effet : L’hypothèse de quasi concavité s’écrit : Ui(x i 1) < U i(x i 2) ⇒ U i(x i 1 Taille du fichier : 79KB
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Convexité en optimisation, convexité forte
Définition5:Fonction -elliptique Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou uniformément convexe ou -convexe ou -elliptique s’ilexiste >0 telque,pour
On appelle fonction elliptique une fonction f : IRn → IR de classe C1 et fortement convexe 15 Page 16 2 2 2 Exemples des fonctions convexes, strictement
cours optim M sitn
strictement concave) sur I si −f est convexe (resp strictement convexe) sur I Remarques et exemples 1) Une fonction convexe sur un intervalle I est aussi
new.convexe
Théorème 3 4 (unicité de solution) Si X est une partie convexe d'un espace vectoriel E et si f est strictement convexe sur X, alors (PX ) a au plus une solution
fc
3) Caractérisation des fonctions convexes dérivables f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement
convexite
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour λ ∈]0, 1[ et x = y Une fonction f est dite (strictement) concave si −f est (strictement) convexe
notes convexite
2 On montre facilement qu'une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de
chap
Dans tout ce chapıtre, C désigne une partie convexe de IRn, et f une fonction numérique partout définie sur C 9 1 Fonctions affines, convexes, strictement
iup .opti.chp
17 déc 2009 · Toute fonction strictement croissante est injective Proposition 2 L'ensemble des fonctions croissantes sur I (resp convexes sur C ) un cône (dans
Fonction convexe ⇐⇒ ´Epigraphe convexe Fonction strictement convexe ∀u, v, u enveloppe sup´erieure de toutes les fonctions convexes inf´erieures `a f
Convex Diff
On dit que f est strictement convexe si l'inégalité ci-dessus est stricte pour x = y t ?]0
9.1 Fonctions affines convexes
Propriété de stabilité: combinaison positive de fonctions convexes Par contre on peut avoir une fonction strictement convexe avec cependant.
fonctions convexes et ?1?2
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est
Figure 1: Fonction convexe. Source: Wikipedia. Fonction strictement convexe. Une fonction f X ? R est dite strictement convexe sur un intervalle C ? X si.
17 déc. 2009 Toute fonction strictement croissante est injective. Proposition 2. L'ensemble des fonctions croissantes sur I (resp convexes sur C ) un cône ( ...
Joseph Salmon. Fonction strictement convexe. Définition : strictement fonction convexe f : Rd ? R est strictement convexe si elle vérifie ?x0 = x1 ?.
Une fonction f est (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. Remarque. On peut également restreindre ? à ]01[ pour la définition de la
Toute norme Î.Î de E est convexe non strictement convexe dès que E ”= {0}. On déduit de la première équivalence qu'une fonction convexe sur I est ...
On dit que f est strictement convexe si l'inégalité ci-dessus est stricte pour x = y t ?]01[ Rappelons que toute fonction convexe possède une régularité
Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe – Le nombre ?x + (1 ? ?)y ? ? [0 1] est une combinaison convexe de x et y
19 fév 2020 · Proposition 2 8 Une fonction fortement convexe est strictement convexe elle ad- met donc un minimiseur unique Note : par contre une fonction
On montre facilement qu'une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe
Dans tout ce chap?tre C désigne une partie convexe de IRn et f une fonction numérique partout définie sur C 9 1 Fonctions affines convexes strictement
Si au moins l'une des fonctions f1··· fp est strictement convexe alors f est stric- tement convexe 3 Si au moins l'une des fonctions f1··· fp est
Si f est strictement convexe sur I elle admet au plus un minimiseur • La fonction x ?? ex est strictement convexe sur R et n'admet pas de minimum ni de
-I est dite strictement convexe sur C si V¥ G]0 1[Vx y G C x ?=y I(¥x + ( 1 - ¥)y) < ¥I(x) + ( 1 - ¥)I(y) -I est dite fortement convexe sur C s¿il existe
Une fonction f : R ? R est dite convexe sur [a b] si la corde prise Si f et g sont deux fonctions convexes alors f + g est une fonction convexe
Enfin une fonction dérivable f ? (I) est strictement convexe si et seulement si sa dérivée f ? est strictement croissante si et seulement si pour tout a ?
Comment montrer qu'une fonction est strictement convexe ?
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave poss? une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.Comment montrer qu'une fonction est strictement concave ?
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.- Théorème 2.1 Un fonction f est convexe si et seulement si, pour tout (x, y) ? (dom(f))2 et ? ? 0 tels que y + ?(y ? x) ? dom(f), f satisfait : f(y + ?(y ? x)) ? f(y) + ?(f(y) ? f(x)).19 fév. 2020
Convexité en optimisation convexité forte