[PDF] Rang et déterminant des matrices





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Rang et déterminant des matrices

4 sept. 2019 La suppression d'une colonne nulle ou d'une ligne nulle préserve le rang. Page 17. Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss ...



Déterminants rangs

http://www.geodiff.ulg.ac.be/geometrie/Geom6printx4.pdf



Applications linéaires matrices

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf





LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

Évaluer le déterminant d'une matrice 3 3 sera maintenant possible. Nous procéderons en réduisant celui-ci en une série de déterminants 2 2 pour lesquels le.



Déterminants

Ces vecteurs sont linéairement indépendants. Comme rang(A) ? r + 1 il existe un vecteur-colonne. Vir+1 de la matrice A tel que le syst` 



Cours de mathématiques - Exo7

On peut aussi définir le déterminant d'une matrice A. Le déterminant permet de Le rang d'une matrice est la dimension de l'espace vectoriel engendré par ...



Matrices et déterminants 1 Matrices

La colonne j est cosj C + sinj S. Ainsi la matrice A est de rang 2. 4 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible.



PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES). YjY 1. Déterminant

12 févr. 2009 colonnes). – Une matrice carrée A ? Mn(C) est inversible si et seulement si elle est de rang maximal n. – Pour f ...



Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice

Le rang ne change pas par des opérations élémentaires des lignes et colonnes donc on peut le calculer par la méthode de Gauss. Une autre mani`ere de le 



Rang et déterminant des matrices - LaBRI

4 sept 2019 · Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice La suppression d'une colonne nulle ou d'une ligne nulle préserve le rang Page 17 



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Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres Page 7 Matrices faciles On dira qu'une 



[PDF] Le rang

31 jan 2006 · Définition Le rang d'une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée en lignes On le note rg A



[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 : Le déterminant de la matrice est définie par la relation



Fiche explicative de la leçon : Rang dune matrice : les déterminants

On rappelle que le rang d'une matrice ???? est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de ???? de déterminant non nul Cette matrice 



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Le rang d'une matrice est la dimension de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes C'est donc le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement 



[PDF] Rang dune matrice Cours et exercices

Rang d'une matrice Cours et exercices I Définitions et premiers exemples Définition 1 Soient n et p deux entiers naturels non nuls et A ? Mnp (K)



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21 fév 2013 · Déterminants rangs systèmes linéaires Pierre Mathonet déterminant d'une sous-matrice de A à p lignes et p colonnes ; 2 Si A ? R



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3 A quoi sert un déterminant ? 3 1 Le déterminant tient son rang L'une des applications principales des déterminants est de mesurer la liberté d'une 



[PDF] Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice

Le rang est r s'il existe une sous-matrice de taille r × r de déterminant = 0 mais pour chaque sous-matrice de taille k>r le determinant est = 0 Par exemple 

  • Comment déterminer le rang d'une matrice ?

    Le rang d'une matrice de taille �� × �� , �� , noté, r g ( �� ) , est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grand sous-matrice carrée de �� (qui peut être �� elle-même) de déterminant non nul.

  • Comment montrer qu'une matrice est de rang 1 ?

    Une matrice A de Mn(K) est de rang 1 si et seulement si il existe une matrice non nulle C de Mn,1(K) et une matrice non nulle L de M1,n(K) telles que : A = CL.

  • Quel est le rang d'une matrice nulle ?

    En mathématiques, et en particulier en alg?re linéaire, une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Des exemples de matrices nulles sont : ayant des coefficients dans un anneau donné ; ainsi, lorsque le contexte apparaît clairement, 0 désigne la matrice nulle.
  • Si aucune colonne n'est linéairement dépendante des autres colonnes, le rang de la matrice est égal au nombre de colonnes de la matrice et la matrice est dite de rang (colonne) plein. Si le rang est inférieur au nombre de colonnes, la matrice est dite de rang (colonne) incomplet, et la matrice est dite singulière.

Rang et d

´eterminant des matrices

Herv

´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2019

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Op ´erations´el´ementaires sur les matricesD ´efinitionSoitA2Mn;p(R), on appelle op´erations´el´ementaires surAles op ´erations suivantes :1Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : L i$Lj(resp.Ci$Cj).2Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li aLi(resp.Ci aCi).3Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d"une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i Li+aLj, aveci6=j(resp.Ci Ci+aCj). Op ´erations´el´ementaires sur les matricesTh

´eor`emeEffectuer une op

´eration´el´ementaire sur une matrice

A2Mn;p(R)revient`a multiplierA`a gauche par une matrice inversible pour les op

´erations sur les lignes (`a droite pour une

op

´eration sur les colonnes).

Op

´erations´el´ementaires surA2Mn;p(R):K=R

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice : pivot de Gauss

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

Exercice

D

´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :

A=0 B

BBB@0 0 1 3

1 01 2

0 0 1 2

2 44 1

1 0 3 01

C CCCA

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

AdeMn(K), on a :

Ainversible()rangA=n

On dit aussi r

´eguli`ere pour inversible.Corollaire

Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plusquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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