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Déterminants, rangs, systèmes linéaires

Pierre Mathonet

Présentation provisoire

Département de Mathématique

Faculté des Sciences

Liège, le 21 Février 2013Sous matrices

Une définition intuitive : on sélectionne certaines lignes et certaines colonnes d"une matrice (ou on en supprime d"autres) :12π 4e6
789(
))A=On note entre parenthèses les lignes et les colonnes qui sont sélectionnées dansA, donc A (1,3;1,2)=?1 2 7 8? .De même : A (1;1,2,3)=?1 2π?.2 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Déterminants

On définit l"application "déterminant" sur l"ensemble de toutes les matrices carrées, par récurrence :Definition

SiA?R11=R, alors det(A) =A. SiA?Rn+1n+1, alors

det(A) =n+1? j=1a

1,j(-1)j+1det(Aˆ1,ˆj).Definition

1SoitA?Rmnune matrice. Unmineur d"ordre pdeAest le

déterminant d"une sous-matrice deAàplignes etpcolonnes;2SiA?Rmm, lemineur de l"élémenta i,jest det(Aˆi,ˆj);3SiA?Rmm, lecofacteur de l"élémenta i,jestAi,j= (-1)i+jdet(Aˆi,ˆj);4

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Definition

La matrice des cofacteurs : siAest une matrice carrée (cof(A))i,j= (A)i,j= (-1)i+jdet(Aˆi,ˆj).On peut écrire la définition du déterminant : det(A) =n+1? j=1a

1,jA1,j.

C"est larègle des cofacteurs(sur la première ligne). 5

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Le cas des matrices de taille 1,2,3 et 4

1Matrices de taille 1 : poura?R11, on a det(a) =a;2Matrices de taille 2 :

det?a11a12 a

21a22?

=a11A11+a12A12=a11a22-a12a21.Représentation graphique : a 11a 12a 21a
22??

3Pour une matrice à trois lignes et trois colonnes, on a

det( (a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33)

=a11A11+a12A12+a13A13 =a11det?a22a23 a

32a33?

-a12det?a21a23 a

31a33?

+a13det?a21a22 a

31a32?

=a11(a22a33-a32a23)-a12(a21a33-a31a23) +a13(a21a32-a31a22).6

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.On a une représentation graphique : c"est la règle attribuée à Sarrus

(Pierre Sarrus (1798-1861)).a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
33(
)a 11a 12a 21a
22a
31a

32•

Attention : cela ne vaut que pour les matrices carrées de taille 3.• Dans beaucoup de cas, il vaut mieux utiliser la règle des cofacteurs.4 det (a

11a12a13a14

a

21a22a23a24

a

31a32a33a34

a

41a42a43a44)

=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14 =a11det? a22a23a24 a

32a33a34

a

42a43a44?

-a12det? a21a23a24 a

31a33a34

a

41a43a44?

+a13det? a21a22a24 a

31a32a34

a

41a42a44?

-a14det? a21a22a23 a

31a32a33

a

41a42a43?

.7

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Propriétés I

Proposition

1Le déterminant est une application multilinéaire sur les colonnes des

matrices : on a pour tous C

1,...,Cn,C?i?Rn, tout réelλet tout

i?n1det(C1...Ci+C?i...Cn) =det(C1...Ci...Cn)+det(C1...C?i...Cn),2det(C1...λCi...Cn) =λdet(C1...Ci...Cn).2Le déterminant est antisymétrique sur les colonnes : une matrice A

et une matrice A ?obtenue en permutant deux colonnes de A ont des déterminants opposés.3Le déterminant de la matrice identité I nvaut 1.4Pour tout n?N0, l"application déterminant est l"unique application définie surRnnà valeurs réelles et satisfaisant ces trois propriétés.8 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Propriétés II

Proposition

1Pour tout A?Rnn, on a pour tout i?n

det(A) =n? j=1a i,jAi,j.2Pour tout j?n det(A) =n? i=1a i,jAi,j.

Ce sont des règles des cofacteurs pour les lignes et les colonnes.3On a aussidet(A) =det(A≂)etdet(AB) =det(A)det(B)pour

toute matrice B?Rnn.4L"application déterminant est multilinéaire sur les lignes. Exercice : vérifier toutes ces propriétés sur des matrices carrées de taille 3. 9

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Exercices

Calculer les déterminants des matrices suivantes.

1)?1 2

-4 3?

2)?1 2

2 4? 3)?1x 7y?

4)?7 0

12 0? 5)( (x y z 7 0 2 -1 2-3) 6)( (7-1x 2 5y 1 0z) 7)( (1 3 4 2 5 7

3 0 3)

8)( ((1 3 4x

2 5 7y

3 0 3z

1 1 1t)

))9)( ((0 0 0x

2 5 0y

3 0 3z

1 1 1t)

10

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Utilité majeure du déterminant

Proposition

Les éléments C

1,...,CndeRnsont linéairementdép endantssi, et

seulement si on adet(C1,...,Cn) =0.Utilité :

1Démontrer que les vecteursu=?1

2? etv=?7 6? sont linéairement indépendants dansR2.2Etudier la dépendance linéaire deu=( (1 -2 3) ,v=( (2 3 1) ,w=( (8 5 9) dansR3.3Exprimer queu=( (1 -2 3) ,v=( (2 3 1) ,w=( (x 1 x 2 x 3) sont linéairement dépendants dansR3.11

P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Rangs de matrices

Definition

SoitA?Rnp. LerangdeAest le nombre maximal de colonnes deA linéairement indépendantes (dansRn). On le noterg(A)ouρ(A).Proposition Le rang d"une matrice A?Rnpest l"ordre du plus grand mineur non nul de A. C"est aussi le nombre maximal de lignes linéairement indépendantes de A.Le rang permet donc de "compter de manière intelligente" les colonnes d"une matrice, ou ses lignes.Exemples : rg (1 2 2 4 3 6) =1,rg( (1 1 2 2 2 4

3 4 7)

=2,rg( (1 0 1 0 0 0

2 0 3)

=2.12 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Systèmes linéaires : définitions

Unsystème d"équations linéaires à p équations et n inconnues(que nous notonsx1,...,xn) est un ensemble d"équations de la forme???quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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