[PDF] Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice

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Chapitre 5 : Le determinant d'une matriceL1-Math2B : Cours 10 Pour cette section, on fixe une matrice carr´eeAde type (n,n) avec coefficient dansK.

1 Dimension ? et 3

Sin= 2, alors la matriceAest de la formea b

c d Led´eterminantdeA, not´e det(A) est donn´ee par det(A) =adbc.

On a d´ej`a vu dans le chapitre pr´ec´edent que la matriceAest inversible si et seulement si le d´eterminant

est non nul. En plus, la valeur absolue du d´eterminant est l"aire du parall´elogramme engendr´e par les deux

vecteurs colonnes deA.

Sin= 3, alors la matriceAest de la forme0@

a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c 31A
Led´eterminantdeA, not´e det(A) est donn´ee par det(A) =a1(b2c3b3c2)a2(b1c3b3c1) +a3(b1c2b2c1).

On peut montrer queAest inversible si et seulement si det(A)6= 0. La valeur absolue du d´eterminant est le

volume du parall´el´epip`ede engendr´e par les trois vecteurs colonnes deA.

Exemple :On calcule det0@1 1 03 11

0 2 31A

1(3 + 2)3(3) + 0 = 59 =4.

? Cas }eneral Pour le cas g´en´eral, on peut d´efinir le d´eterminant par r´ecurrence surn. SiA = (aij) est une matrice carr´ee de type (n,n), pour chaqueietjentre 1 etn, on consid`ereMijla matrice carr´ee de type (n1,n1)

obtenue deAen supprimant lai`eme ligne et laj`eme colonne deA. Le (i,j)-cofacteurdeAest d´efini comme

A ij= (1)i +jdet(Mij). Le d´eterminant deApeut ˆetre calcul´e de la mani`ere suivante : det(A) =Pnk=1ak1Ak1.

Remarque :On peut montrer que le d´eterminant peut aussi ˆetre calcul´e enappliquant un d´eveloppement

par rapport `a n"importe quelle ligne ou colonne. Plus pr´ecis´ement,pour chaqueientre 1 etnet pour chaque

jentre 1 etn, on a det(A) =nXk=1a ikAik=nXk=1a kjAkj.

Utilliser cette d´efinition du d´eterminant n"est souvent pas efficacepour le calculer. Pour cette raison, on

montrera plus tard dans ce chapitre une m´ethode par pivot de Gauss qui est plus performant. On commencera

avec quelques propri´et´es du d´eterminant.

Matrices ´el´ementaires :On va d´efinir 3 familles de matrices carr´ees dansMn(K). Soit2Keti,jdeux

indices distinctes entre 1 etn. [T]Tij() = (tk`), o`utkk= 1 pour toutk,tij=, et tous les autres coefficients sont ´egaux `a 0. 13 [E]Eij= (ek`), o`uekk= 1 pour toutk6=ietk6=j,eij=eji= 1, et tous les autres coefficients sont

´egaux `a 0.

[D]Di() =dk`), o`udkk= 1 pour toutk6=i,dii=et tous les autres coefficients sont ´egaux `a 0.

En particulier,Di() est diagonale, obtenue `a partir de la matrice identit´eInen remplacant un coefficient

sur le diagonal par.Tij() est triangulaire (sup´erieur ou inf´erieur) obtenue `a partir de lamatrice identit´e

I

nen remplacant un coefficient non-diagonal par.Eijest obtenue `a partir de la matrice identit´eInen

´echangeant deux lignes.

Examples pourn= 3 :

T

12() =0@

10 0 1 0

0 0 11A

;E12=0@ 0 1 0 1 0 0

0 0 11A

;D2() =0@ 1 0 0 00

0 0 11A

Exercice :

(i) det((Tij() = 1; (ii) det((Eij=1; (iii) det(Di() =.

Ces matrices correspondent aux op´erations ´el´ementaires des lignes et colonnes. Plus pr´ecis´ement, SiAest

une matrice quelconque avecnlignes,L1,...,Ln.

Tij()Aest obtenue en remplacantLiparLi+Lj.

EijAest obtenue en ´echangeantLietLj.

Di()Aest obtenue en remplacantLiparLi.

En plus, siBest une matrice quelconque avecncolonnesC1,...,Cn, alors

BTij() est obtenue en remplacantCiparCi+Cj.

BEijest obtenue en ´echangeantCietCj.

BDi() est obtenue en remplacantCiparCi.

Les d´emonstrations des deux prochains th´eor`emes seront donn´es l"ann´ee prochaine, en L2. Pour cette ann´ee,

on va les utiliser, sans d´emonstration. Propri´et´e du d´eterminant(SANS DEMONSTRATION) : Th´eor`eme.Chaque matriceA2Mn(K)est produit de matrices ´el´ementaires.

Th´eor`eme.det(AB) = det(A)det(B).

Premieres cons´equences de ces deux r´esultats et la d´efinition : (i) det(A) = det(tA); (ii) SiAest triangulaire, alors det(A) est le produit des coefficients diagonaux; (iii) det(A) =ndet(A); (Attention avec la puissancen) (iv) SiAa une ligne ou une colonne ´egale `a 0, alors det(A) = 0. (v) det(A)6= 0 si et seulement siAest inversible;

Attention: det(A+B)6= det(A) + det(B).

3 Calcul du determinant : Methode de pivot de Gauss

Op´erations ´el´ementaires des lignes

Rajouter un multiple d"une ligne `a une autre ligne : Cette op´eration ne change pas le d´eterminant;

Echanger deux lignes : Cette op´eration multiplie le d´eterminant par1; Multiplier une ligne par(6= 0) : Cette op´eration est multipli´e le d´eterminant par.

La d´emonstration de ceci vient des r´esultats pr´ec´edents. En effets, les op´erations ´el´ementaires des lignes

correspondent `a la multiplication `a gauche par une matrice ´el´ementaire. Comme det(AB) = det(A)det(B),

il suffit d"utiliser le r´esultat de l"exercice sur les d´eterminants des matrices ´el´ementaires.

14 Comme det(A) = det(tA), on a exactement le mˆeme r´esultat pour les colonnes.

Dans la m´ethode de pivot de Gauss pour calculer un d´eterminant, on applique des op´erations des lignes et/ou

colonnes pour obtenir une matrices triangulaire. Le d´eterminant d"une matrice triangulaire est le produit de

ces coefficients diagonaux.

4 Calculer l'inverse d'une matrice carree par les determinants

Le d´eterminant nous donne une nouvelle m´ethode pour calculer l"inverse d"une matrice carr´ee.

deA, not´eecom(A). SiAest une matrice (n,n), elle est inversible si et seulement si det(A)6= 0.

Dans ce cas

A -1=1 det(A)tcom(A). Exemple :Pour une matrice de type (2,2), on aA=a b c d . La comatrice est : dc b a

et on retrouve la formule pour l"inverse d"une matrice de type (2,2) donn´ee dans le chapitre pr´ec´edent.

Exemple :On va calculer l"inverse deA=0@

1 1 0 3 0 2

1 4 21A

, et comparer avec la r´eponse trouv´ee dans le chapitre pr´ec´edent.

D"abords, on calcul la comatrice. Chaque coefficient estle d´eterminant d"un mineur 22. On commence

`a noter les coefficients avec signe n´egatif : 0 1 A. Apr`es on calcule les mineurs.A11= 08 =8. Alors on inscrit8 dans la premi`ere case de la premi`ere

ligne.A12= 62 = 4. Donc dans la deuxi`eme case de la premi`ere ligne, on inscrit 4,avec le signe n´egative

dans cette case, qui nous donne4. Ainsi de suite. On trouve finalement com(A) =0@ 8 4 12 2 23 2 231A
Maintenant, on calcule le d´eterminant. On trouve det(A) =12.

FinalementA-1=1

det(A)tcom(A) =0@2

316161

3161611

4141A
On retrouve le r´esultat trouv´e dans le chapitre pr´ec´edent.

Remarque.On a maintenant deux m´ethodes pour d´eterminer l"inverse d"une matrice (s"il existe). En

g´en´eral, la m´ethode du pivot de Gauss est plus pratique, car il y amoins de calculs `a faire. Cependant, dans

certains cas, la m´ethode avec d´eterminant est utile, par exemple, pour les matrices 22.

5 Le ran} d'une matrice

Rappel : le rang d"une matriceAest la dimension de l"espace vectoriel engendr´e par les colonnes deA.

Autrement dit, le rang est la dimension de l"image d"une application lin´eaire represent´e parApar rapport

`a une base. Le rang ne change pas par des op´erations ´el´ementaires des lignes et colonnes, donc on peut le

calculer par la m´ethode de Gauss. Une autre mani`ere de le calculer est par le d´eterminant. 15

Une matrice carr´ee de taillenest de rangnsi et seulement si le determinant6= 0. SiAest une matrice de

taillemn, on consid`ere toutes les sous-matrices carr´ees deAde taillejmin(m,n). Le rang estrs"il

existe une sous-matrice de taillerrde d´eterminant6= 0, mais pour chaque sous-matrice de taillek > r, le

determinant est = 0.

Par exemple, une matrice carr´ee deMn(K) est de rangnsi et seulement si le d´eterminant est non nul. Si le

d´eterminant est nul, on cherche les mineurs

Une matriceM3(K) est de rang 3 si le d´eterminant est non nul. Elle est de rang 2 si le d´eterminant est 0,

mais il existe un mineur 22 qui est non nul. Il est de rang 1 si la matrice n"est pas nulle, mais tous les 9

mineurs 22 sont nuls. 16

Chapitre 6 : Changement de bases

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnavec deux basesBE={u1,...,un}etB?E={u?1,...,u?n}. SoitFunK-espace vectoriel de dimensionmavec deux basesBF={v1,...,vm}etB?F={v?1,...,v?m}. Soit f:E→Fune application lin´eaire. Le but de ce chapitre, et de comparer la matrice defpar rapport aux basesBEdeEetBFdeFet la

matrice defpar rapport aux basesB?EdeEetB?FdeF. Avant, on se rappelle les d´efinition de ces matrices

et les repr´esentations des ´el´ements comme un vecteur colonne. Repr´esentation d"un vecteur deEpar rapport `a la baseBEpar un vecteur colonne: Siu?E, alors il existe une unique combinaison lin´eaire des vecteurs de baseBEqui donneu.

Siu=n?

i=1x iui,alorsX=(((((x 1 x 2. x n))))) =Mat(u;BE). Xest le vecteur colonne qui repr´esenteudans la baseBE.

Pour comparer les matrices obtenues apr`es changement de base, on introduit la notion d"unematrice de

passage. Matrice de passage: La matrice de passage de la baseBEdeE`a la baseB?EdeE, not´e

P=PB?EB

Eest

la matricen×n, o`u lai`eme colonne est ´egale `aMat(u?i;BE). Autrement dit, lai`eme colonne est le vecteur

colonne des coefficients deu?i´ecrit comme combinaison lin´eaire dans la baseBE.

On peut remarquer que la matrice de passage

PB?EB

E=Mat(id;B?E;BE) , o`uidest l"identit´e surE.

En plus, la matrice de passagePB?

EB

Eest inversible, o`u l"inverse (PB?

EB

E)-1=PBEB?E.

Maintenant, on compare les vecteurs colonnes qui repr´esentent un vecteurudeEpar rapport `a deux bases.

Changement de base: SiX=Mat(u;BE), etX?=Mat(u;B?E), etP=PB?EB

E, alors

X=PX?.

Rappel:

Matrice d"une application lin´eaire par rapport aux bases: Sif:E→Fest une application

lin´eaire, alorsA=Mat(f;BE;BF) est la matricem×n, o`u lai`eme colonne estMat(f(ui);BF). Autrement

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