[PDF] Déterminants Ces vecteurs sont linéairement

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Determinants

Dans tout le chapitre,Krepresente un corps commutatif.1.Applications et formes multilineaires SoientE1;:::;EpetFdes espaces vectoriels surKet'une application deE1:::Epdans F. Denition 1 {Dire que'estp-lineairesignie que, pour touti2 f1;:::;pg, pour tout (x1;:::;xi1;xi+1;:::;xp)2E1:::Ei1Ei+1:::Ep, l'application'ideEidansF denie, pour toutx2Ei, par'i(x) ='(x1;:::;xi1;x;xi+1;:::;xp) est lineaire. Autrement dit,'est lineaire par rapport a chacune de ses variables.

Sip= 2, on dit que'est bilineaire.

SiF=K, on dit que'est une formep-lineaire.

Remarque -Si'est une applicationp-lineaire, alors, pour touti2 f1;:::;pg, pour tout (x1;:::;xi1;xi+1;:::;xp)2E1:::Ei1Ei+1:::Ep, on a '(x1;:::;xi1;0;xi+1;:::;xp) = 0. Proposition 2 {L'ensemble des applicationsp-lineaires deE1:::EpdansFest canonique- ment muni d'une structure deK-espace vectoriel noteLp(E1;:::;Ep;F).

SiE1=:::=Ep, on note cet espaceLp(E;F).

Theoreme 3 {On suppose queFest une somme directe densous-espaces vectorielsFi. Alors L p(E1;:::;Ep;F) est isomorphe anY i=1L p(E1;:::;Ep;Fi).Demonstration :soit'2Lp(E1;:::;Ep;F)et soitpklakeme projection canonique deFsur F k. Alors, pour toutk2 f1;:::;ng, l'applicationpk'estp-lineaire. On considere l'application:'7!(p1';:::;pn'). Il est clair queest lineaire. Montrons queest injective : soit'2Lp(E1;:::;Ep;F)telle que(') = 0. Alors, pour tout k2 f1;:::;ng,pk'= 0. Donc, pour tout(x1;:::;xp)2E1:::Ep,pk'(x1;:::;xp) = 0. Comme ceci est vrai pour toutk, on en deduit que'(x1;:::;xp) = 0(puisque toutes ses projections sur des sous-espaces deFen somme directe sont nulles). On a donc montre que est injective.

Montrons queest surjective. Soit('1;:::;'n)2nY

i=1L p(E1;:::;Ep;Fi). On denit une application'par'='1++'n. On a bien'2Lp(E1;:::;Ep;F). De plus,'est p-lineaire etpk'='kpour toutk2 f1;:::;ng. Doncest surjective.

On a ainsi construit un isomorphisme entre les deux espaces consideres.Comme tout espace vectoriel de dimension nie peut ^etre considere comme une somme directe

de sous-espaces vectoriels isomorphes aK, on n'etudiera que les formesp-lineaires, c'est-a-dire l'espaceLp(E1;:::;Ep;K).

Theoreme 4 {dimLp(E1;:::;Ep;K) =pY

k=1dimEk.Demonstration :notonsnila dimension de l'espaceEipour touti2 f1;:::;pg. Soit(eij)1jriune base deEi.

Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I On va construire un isomorphisme entreLp(E1;:::;Ep;K)etKn1:::np. Soit'2Lp(E1;:::;Ep;K)et(x1;:::;xp)2E1:::Ep.Ecrivons chacun desxidans la base deEi:xi=n iX j i=1x ij ieij i. On a alors '(x1;:::;xp) =' n1X j 1=1x 1j 1e1j

1;:::;n

pX j p=1xnp j penp j p X (j1;:::;jp)2x 1j

1:::xp

j p'(e1j

1;:::;ep

j p) avec =f(j1;:::;jp);8i2 f1;:::;pg;1jinig. Donc, a tout'2Lp(E1;:::;Ep;K), on a associe les elements deKn1:::npdonnes par'(e1j

1;:::;ep

j p)pour(j1;:::;jp)2. Notons cette application. Elle est bien lineaire par proprietes des fonctions Reciproquement, soit une famille d'elementmj1;:::;jpavec(j1;:::;jp)2. L'application'de E

1:::EpdansKdenie, pour tout(x1;:::;xn)2E1:::Eppar

'(x1;:::;xp) =P (j1;:::;jp)2x1j

1:::xp

j pmj1;:::;jpestp-lineaire. Donc est surjective. Il reste a montrer qu'elle est injective. Soit'2Lp(E1;:::;Ep;K)telle que (') = 0. Alors il est clair que'= 0.2.Formes p-lineaires alternees sur un espace vectoriel D'apres le theoreme4, siEest de dimension nien, alors dimLp(E;K) =np. Denition 5 {Soit'une formep-lineaire surE. Dire que'est alterneesignie que, si pour tout (x1;:::;xp)2Ep, s'il existe (i;j)2 f1;:::;pg2aveci6=jetxi=xj, alors'(x1;:::;xp) = 0. Proposition 6 {L'ensemble des formesp-lineaires alternees est unK-espace vectoriel note A p(E).

On noteSpl'ensemble des permutations def1;:::;pg.

Proposition 7 {Soit'2Lp(E). Si'est alternee, alors, pour toute transposition2Spet

pour tout (x1;:::;xp)2Ep, on a'(x(1);:::;x(p)) ='(x1;:::;xp).Demonstration :soitla transposition echangeantietj. On a

'(x1;:::;xi+xj;:::;xi+xj;:::;xp) = 0car la forme est alternee ='(x1;:::;xi;:::;xj;:::;xp) + 0 + 0 +'(x1;:::;xj;:::;xi;:::;xp)par linearite ='(x1;:::;xi;:::;xj;:::;xp) +'(x(1);:::;x(i);:::;x(j);:::;x(p))

D'ou le resultat.Remarque -On montre facilement que la reciproque est vraie siKest un corps de caracteristique

dierente de 2. Corollaire 8 {Soit'une formep-lineaire alternee. Alors, pour toute permutationdeSp, pour tout (x1;:::;xp)2Ep,'(x(1);:::;x(p)) ="()'(x1;:::;xp)ou"() est la signature de.3.Determinant { 2 { D eterminants3.1.Denition Nous allons d'abord etudier l'espaceAn(E) dans le cas oun= dimEet montrer que cet ensemble est non vide. Soit (e1;:::;en) une base deE. Soit (x1;:::;xn)2En. On pose x i=nX j=1x ijej.

Denissons une application par

2 6 4E n!K (x1;:::;xn)7!X

2Sp"()x1(1):::xn(n)

L'application ainsi denie est bienn-lineaire.

Verions qu'elle est alternee. SiKest un corps de caracteristique dierente de 2, il sut de verier que, pour toute transposition, sipermute les indicesietj, on a (x1;:::;xi;:::;xj;:::xn) =(x1;:::;xj;:::;xi;:::;xn). Ce qui est clair par denition de . Supposons maintenant queKsoit un corps de caracteristique

2. Soiti6=jetxi=xj. On a (on noteS+nl'ensemble des permutations de signature egale a

1) : (x1;:::;xi;:::;xi;:::;xn) =X 2S+nx

1(1):::xn(n)X

2SnnS+nx

1(1):::xn(n)

X 2S+nx

1(1):::xn(n)X

2SnnS+nx

1(1):::xn(n)

ou=ijcarxi=xj Or l'application7!est bijective deSnnS+pdansS+pdonc (x1;:::;xi;:::;xi;:::;xn) =X 2S+nx

1(1):::xn(n)X

02S+nx

10(1):::xn0(n)= 0

Donc est alternee.

Il reste a montrer que l'application n'est pas nulle. Or (e1;:::;en) =X

2Sn"()1;(1):::n;(n)= 1

ouijrepresente le symbole de Kronecker. On a donc prouve queAp(E) est non vide. Theoreme 9 {SoitEunKun espace vectoriel de dimensionn. sip > n, alorsAp(E) =f0g; sip=n, alors dimAp(E) = 1.Demonstration :soient(e1;:::;en)une base deEet(x1;:::;xp)2Ep. On posexi=nX j=1x ijej.

Soit'2Ap(E). En utilisant lap-linearite de', on a

'(x1;:::;xp) ='(nX j=1x

1jej;:::;nX

j=1xp jej) X (i1;:::;ip)2f1;:::;ngpx1i

1:::xp

i p'(ei1;:::;eip) { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Sip > n, alors deux termes parmi(i1;:::;ip)sont egaux et comme la forme'est alternee, '(ei1;:::;eip) = 0. DoncAp(E) =f0g. Sip=n, il existe une unique permutationqui associe(i1;:::;ip)a(1;:::;n). On a alors '(x1;:::;xp) =X

2Sp"()'(e1;:::;ep):

On en deduit quedimAp(E)1. Or cet espace est non vide donc il est de dimension 1.Denition 10 {SoitB= (e1;:::;en) une base d'unK-espace vectorielEde dimensionn.

Alors, d'apres ce qui precede, il existe une unique formen-lineaire alternee, note DetBtelle que Det B(e1;:::;en) = 1. Si (x1;:::;xn)2En, DetB(x1;:::;xn) s'appelle le determinant du systeme de vecteurs (x1;:::;xn) par rapport a la baseB.

On a Det

B(x1;:::;xn) =X

2Sn"()x1(1):::xn(n)

avecxi=nX j=1x ijejpour touti2 f1;:::;ng.3.2.Premieres proprietes

Proposition 11 {DetB(x1;:::;xn) = 0 si et seulement si le systeme (x1;:::;xn) est lie.Demonstration :si(x1;:::;xn)est lie, alors l'un des vecteurs est combinaison lineaire des

autres. On conclut ensuite en utilisant lap-linearite du determinant et le fait que ce soit une forme alternee. Supposons que(x1;:::;xn)forme un systeme libre et montrons que DetB(x1;:::;xn)6= 0. On aura alors montre la reciproque par contraposee. Dans ce cas,B0= (x1;:::;xn)est une base deE. OrAn(E)est un espace vectoriel de dimension 1. Donc il existe6= 0tel que DetB=DetB0(6= 0car aucune des deux formes n'est nulle). On en deduit que Det

B(x1;:::;xn) =DetB0(x1;:::;xn) =6= 0.Proposition 12 {SoientB= (e1;:::;en) etB0= (e01;:::;e0n) deux bases d'unK-espace

vectoriel de dimensionn. Pour tout (x1;:::;xn)2En, on a Det

B0(x1;:::;xn) = DetB0(x1;:::;xn)DetB(e01;:::;e0n)Demonstration :d'apres la dimension deAn(E), il existe2Ktel que DetB=DetB0. On

applique cette egalite a(e01;:::;e0n)et on obtient le resultat.Corollaire 13 {Pour toute permutation2Sn, on a

Det

B(x(1);:::;x(n)="()DetB(x1;:::;xn).

NOTATIONSoitB= (e1;:::;en) une base deE. Pour toutxi2E, on pose x i=nX j=1x ijej et on ecrit alors Det

B(x1;:::;xn) =

x

11::: xn1.........

x

1n::: xnn

c'est-a-dire que l'on a ecrit dans lakeme colonne les coordonnees dans la baseBdu vecteurxk. Le determinant depend donc lineairement de chaque colonne. Il est nul des que 2 des vecteurs sont proportionnels et il ne change pas si on ajoute a l'une des colonnes une combinaison lineaire des autres. { 4 { D eterminants3.3.Determinant d'un endomorphisme Theoreme 14 {SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetu2L(E). Alors il existe un scalaire note Detu(et appele determinant de l'endomorphismeu) tel que

8'2An(E);8(x1;:::;xn)2En;'u(x1);:::;u(xn)= (Detu)'(x1;:::;xn):Demonstration :si'= 0, la relation est vraie. Soit'2An(E). Posons'u(x1;:::;xn) =

'u(x1);:::;u(xn). Commeuest lineaire et que'est une formen-lineaire et alternee, il est clair que'uest une formen-lineaire alternee.

CommedimAn(E) = 1, il existe2Ktel que'u='.

Montrons queest independant de'.

Soit 2An(E). Alors il existek2Ktel que =k'. On a alors u(x1;:::;xn) = u(x1);:::;u(xn)=k'u(x1);:::;u(xn) =k'u(x1;:::;xn) =k'(x1;:::;xn) = (x1;:::;xn) On a donc u= .Corollaire 15 {Soitu2L(E) etB= (e1;:::;en) une base deE.

Alors on a Detu= DetBu(e1);:::;u(en).Demonstration :il sut de prendre'=DetBdans la denition de Detu.Corollaire 16 {Det(Idn) = 1 et Det(Idn) =npour tout2K.

Proposition 17 {Soientuetvdeux endomorphismes deE. Det(uv) = DetuDetv.Demonstration :soit'2An(E). On a successivement

uv(x1);:::uv(xn)= (Detu)'v(x1);:::;v(xn) = (Detu)(Detv)'(x1;:::;xn)

On en deduit donc que Det(uv) =DetuDetv.L'application de (GL(E);) dans (K;) est un morphisme de groupes.Proposition 18 {Soitu2L(E).uest bijectif si et seulement si Detu6= 0.Demonstration :siuest bijectif, il existev2L(E)tel quevu=IdE. On a donc

DetuDetv= 1, d'ou Detu6= 0.

Supposons maintenant queune soit pas bijectif. SoitB= (e1;:::;en)une base deE.u(e1);:::;u(en)est un systeme lie. Donc DetBu(e1);:::;u(en)= 0 =Detu.3.4.Determinant d'une matrice

Denition 19 {SoitA2Mn(K). On noteaijles coecients de cette matrice. On appelle determinant de la matriceAle scalaire

DetA=X

2Sn"()a(1)1:::a(n)n:

Proposition 20 {SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnrapporte a une baseB f2L(E). On noteAla matrice de l'endomorphismefdans la baseB. On a Detf= DetA. { 5 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes IDemonstration :on af(ej) =nX i=1a

ijei. Donc DetA=DetBf(e1);:::;f(en)=Detf.Les resultats obtenus pour les endomorphismes deviennent alors

Proposition 21 {1 { DetIn= 1 et Det(In) =n

2 { Det(AB) = DetADetB

3 {Aest inversible si et seulement si DetA6= 0.

4 { Det(A) =nDetA

Proposition 22 {SoitA2Mn(K). Alors Det(A) = Det(tA).Demonstration :par denition de la transposee d'une matrice,

Det(tA) =X

2Sn"()a1(1):::an(n)

X

2Sn"()a(1)

(1):::a(n) (n) prenons pour chaque terme=1 X

12Sn"()a1(1)1:::a1(n)n

X

02Sn"(01)a0(1)1:::a0(n)n

car7!1est bijective deSnsurSn =X

02Sn"(0)a0(1)1:::a0(n)n

car"() ="(1) =DetAConsequence : pour le calcul d'un determinant, toute technique valable sur les colonnes est valable sur les lignes.4.Developpement d'un determinant

4.1.Developpement par blocs

Soit 0< p < ndeux entiers naturels etMla matrice deMn(K) de la forme M=A C 0B avecA2Mp(K); B2Mnp(K) etC2Mp;np(K) Proposition 23 {DetM= DetADetBDemonstration :on considere l'applicationdenie par :2 6 4M p(K)Mnp(K)!K (X;Y)7!DetX C 0Y PourYxe, l'applicationX7!(X;Y)est une formep-lineaire alternee (des colonnes deX). CommeAp(K)est de dimension 1, il existe donc2Ktel que(X;Y) =DetX. En posant

X=Ip, on obtient que=(Ip;Y).

{ 6 { D eterminants Or l'applicationY7!(Ip;Y)est une forme(np)-alternee (par rapport aux colonnes de Y). Donc il existe02Ktel que(Ip;Y) =0DetY. En posantY=Inp, on obtient que

0=(Ip;Inp).

Finalement, on a(X;Y) = (DetX)(DetY)(Ip;Inp).

(Ip;Inp)est le deteminant de la matriceIpC 0Inp . En faisant des combinaisons lineaires desppremieres colonnes de cette matrice, on peut remplacer la matriceCpar la matrice nulle

donc(Ip;Inp) = 1.La proposition se prolonge au calcul du determinant d'une matrice triangulaire superieure par

blocs (si les blocs diagonaux sont des matrices carrees).4.2.Mineurs Denition 24 {SoitA= (aij)2Mn(K). On appelle mineur relatif au coecientaijet on note j ile determinant d'ordren1 de la matrice obtenue a partir deAen enlevant laieme ligne et lajeme colonne.

Theoreme 25 {SoitA= (aij)2Mn(K). On a :

DetA=nX

k=1(1)k+jakjjquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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