[PDF] Cours 2 : continuité et compacité

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - Continuite et compacite

Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 1 / 38 ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 1. Applications continues Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 2 / 38 Denition metrique et caracterisation topologique de la continuite Soient (X;d) et (Y;d0) des espaces metriques et soitf:X!Yune application.Denition

On dit quefestcontinue enx02Xsi

8" >0;9 >0d(x0;x)< =)d0(f(x0);f(x))< ":

On dit quefestcontinue (sur X)si fest continue en tout point deX.Proposition

On a equivalence entre :

(i)L'applicationfest continue surX. (ii)L'image reciproque parfd'un ouvert de(Y;d0)est un ouvert de(X;d).

(iii)L'image reciproque parfd'un ferme de(Y;d0)est un ferme de(X;d).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 3 / 38

Caracterisation topologique de la continuite (preuve) Preuve.Supposons quefest continue surXet donnons-nous un ouvertUdeY. Soitx2f1(U). Par denition,y=f(x)2Uqui est ouvert. Il existe donc" >0 tel que B Y(y;")U. La continuite defenxnous assure qu'il existe >0 tel que f(BX(x;))BY(y;")U; ce qui montre que B

X(x;)f1(U):

Par consequent,f1(U) est un ouvert deX.

Inversement, supposons que l'image reciproque de tout ouvert deYest un ouvert deX. Pour toutx2Xet pour tout" >0, l'image reciproque deBY(f(x);") parfest un ouvert deXqui contientx, donc il existe >0 tel que B

X(x;)f1(BY(f(x);")):

Autrement dit, l'image deBX(x;) parfest incluse dansBY(f(x);"), ce qui demontre la continuite defau pointx.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 4 / 38 Caracterisation topologique de la continuite (preuve, suite) L'equivalence entre (ii) et (iii) est une consequence du fait que l'image reciproque du complementaire d'une partieAdansYest egale au complementaire dansXde l'image reciproque deA, i.e. f

1(YA) =Xf1(A):

Ce qui termine la demonstration.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 5 / 38

Stabilites de la continuite

La composee d'applications continues est aussi une application continue : sif:X!Y est continue au pointx2Xet sig:Y!Zest continue au pointf(x)2Y, alorsgf est continue au pointx.Sif:X!Eetg:X!Esont deux applications continues enx2X, a valeurs dans un espace vectoriel norme (E;k k) et si;:X!Ksont deux fonctions continues en x2X, alorsf+gest continue enx2X.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 6 / 38

Continuite uniforme

Denition

Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces metriques. Une applicationf:X!Yest dite uniformement continue surXsi

8" >0;9 >0;8x;x02X;d(x;x0)< =)d0(f(x);f(x0))< ":Remarque.La fonctionx7!pxest uniformement continue sur [0;+1[ en vertu de l'inegalite

px 0px

6pjx0xj;

pour tousx;x0>0, mais la fonction continuex7!x2n'est pas uniformement continue surR.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 7 / 38

Applications lipschitziennes

Denition

On dit qu'une applicationf:X!Ydenie entre deux espaces metriques, estlipschitzienne de rapportk>0(ou encorek-lipschitzienne) si d

0(f(x);f(y))6k d(x;y)

pour tousx;y2X.Une application lipschitzienne est uniformement continue car la distance entre deux points

images est dans ce cas majoree par une fonction lineaire de la distance des points a la source. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 8 / 38

La fonction distance est 1-lipschitzienne

Soit (X;d) un espace metrique etx02X. On a

d(x;x0)d(y;x0)6d(x;y); et en echangeant le r^ole dexet dey, on conclut que jd(x;x0)d(y;x0)j6d(x;y): Ceci montre que l'applicationd(;x0) :X!Rest 1-lipschitzienne. Cas particulier : dans un espace vectoriel norme (E;k k), on a kyk kxk6kyxk;

pour tousx;y2E. Ceci montre quex7! kxkest 1-lipschitzienne.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 9 / 38

Caracterisation sequentielle des applications continues

Proposition

Soient(X;d)et(Y;d0)deux espaces metriques etx2X. Une applicationf:X!Yest continue au pointxsi et seulement si pour toute suite(xn)n>0qui converge versxdansX, on a lim n!+1f(xn) =f lim n!+1xn :Preuve.Supposons quefest continue enxet soit (xn)n>0une suite qui converge versx.

Pour tout" >0, il existe >0 tel que

d(x;y)< )d0(f(x);f(y))< ": Il existen02Ntel qued(xn;x)< pour toutn>n0, et doncd0(f(xn);f(x))< ", pour tout n>n0.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 10 / 38 Preuve du critere sequentiel de continuite (suite)

Supposons quefn'est pas continue enx.

Il existe" >0 tel que, pour tout >0, il existey2Xtel que d(y;x)< etd0(f(y);f(x))>": En prenant= 1=n, on construit ainsi une suite (xn)n>1telle que d(xn;x)<1=netd0(f(xn);f(x))>":

La suite (xn)n>1converge versxet la suite (f(xn))n>1ne converge pas versf(x).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 11 / 38

Criteres de continuite pour les applications lineaires entre evn

Proposition

Soient(E;k kE)et(F;k kF)deux espaces vectoriels normes etL:E!Fune application lineaire. Alors, les propositions suivantes sont equivalentes : (i)l'application lineaireLest continue surE; (ii)l'application lineaireLest continue en0; (iii)il existe une constanteC>0telle que kL(x)kF6CkxkE; pour toutx2E.Remarque.Comme annonce, le dernier critere est a rapprocher de la denition des normes subordonnees donnee au premier cours. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 12 / 38 Preuve des criteres de continuite pour les applications lineaires Preuve.On supposeLcontinue en 0 (assertion la plus faible des trois). Il existe >0 tel que, pour toutx2E, on ait : kxkE6) kL(x)kF61:

Par homogeneite, six6= 0 on a :

kL(x)kF=kxkE

LkxkEx

F61 kxkE:

Finalement,Letant lineaire, on peut ecrire :

kL(x)L(y)kF=kL(xy)kF6CkxykE;

ce qui montre queLest lipschitzienne (assertion la plus forte des trois).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 13 / 38

Espaces d'applications lineaires continues

On noteL(E;F)l'espace vecto rieldes applications lin eairesde EdansFetL(E;F)le sous-espace vectoriel des applications lineairescontinuesdeEdansF.

SiL2 L(E;F), on peut denir

kLkL(E;F):= sup x2Ef0gkL(x)kFkxkE= sup kxk61kL(x)kFkxkE= sup kxk=1kL(x)kF:

En particulier

kL(x)kF6kLkL(E;F)kxkE:

On verie que l'on denit ainsi une norme surL(E;F).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 14 / 38

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 2. Compacite

Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 15 / 38 Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 16 / 38

Notion de compacite

La compacite est une notion omnipresente dans tous les domaines des mathematiques.

Denition

Soit(X;d)un espace metrique. Les assertions suivantes sont equivalentes. (i)De tout recouvrement deXpar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrementni. (ii)Toute famille de fermes deXd'intersection vide admet une sous-famillenie d'intersection vide.

Si(X;d)possede les proprietes ci-dessus, on dit qu'il estcompact.Justication.L'equivalence entre (i) et (ii) se fait par passage aux complementaires :

une reunion d'ouverts i2IO i=Xdevient une intersection de fermes\ i2IF i=?; ouFi=XOi, et vice versa.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 16 / 38

Motivation et exemples pour les espaces compacts

Motivation.Le grand inter^et de la compacite s'explique en partie parce que cette notion fournit des enonces d'existence : la formulation (ii) ci-dessus est un enonce d'existence tres general qui se decline dans de multiples situations. Pour ce faire, il peut ^etre utile de se ramener, dans (i) ou (ii), a des familles de parties ouvertes ou fermees avec de bonnes proprietes vis-a-vis de l'inclusion (croissance ou decroissance). La compacite assure aussi l'existence de limites pour des (sous-)suites bien choisies (critere de

Bolzano-Weierstrass).

Exemples.On va voir que toutes les parties fermees et bornees desK-espaces vectoriels de dimension nie (K=RouC) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n'importe quelle norme). En revanche, la question de la compacite de parties fermees et bornees dansK-espaces vectoriels de dimension innie (par exemple des boules ou des spheres dans des espaces de fonctions) est plus delicate. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 17 / 38

Non-exemple d'espace compact

Non-exemple :l'espace metrique (]0;1[;j j) n'est pas compact. Justication.Remarquer que l'on a une reunioncroissante(et donc qu'une reunion partielle nie est un intervalle de la suite) : ]0;1[=[ n>3] 1n ;11n et que, pour toutn>3, l'intervalle ]1n ;11n [ est un ouvertstrictde (]0;1[;j j). Justication alternative.Remarquer que l'on a une intersectiondecroissante(et donc qu'une intersection partielle nie est un intervalle de la suite) : n>2]0;1n

et que, pour toutn>2, l'intervalle ]0;1n] est un fermenon videde (]0;1[;j j).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 18 / 38

Caracterisation sequentielle des compacts

On dispose deja de criteres sequentiels pour verier la fermeture d'une partie et la continuite

d'une application; en voici un (celebre) pour la compacite.Theoreme (theoreme de Bolzano-Weierstrass)

Soit(X;d)un espace metrique. AlorsXest compact si, et seulement si, de toute suite

d'elements deXon peut extraire une sous-suite qui converge.Reference.On renvoie au polycopie de cours pour la preuve : theoreme 3.1 p. 36.

Exemple :(]0;1[;j j) n'est pas compact.

Justication (encore une).La suite (1n

)n>2n'admet aucune sous-suite convergente dans (]0;1[;j j).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 19 / 38 Sous-espaces compacts d'un espace metrique quelconque On part d'un espace metrique (X;d) et on se donne une partieYdeX. L'ensembleYest un espace metrique pour la distancedY, restriction dedaYY(et que parfois on notera encored). La question de la compacite deYpour la topologie induite pardest naturelle. Elle se pose en termes d'ouverts deYpour la topologie induite, mais on peut se ramener aux ouverts de l'espace ambiantX:Lemme SoitYun sous-ensemble d'un espace metrique(X;d). Alors(Y;dY)est un espace compact si, et seulement si, de tout recouvrement deYpar des ouverts deXon peut extraire un

sous-recouvrement ni deY.Preuve.Decoule du fait que les ouverts de (Y;dY) sont les traces des ouverts de (X;d).

Terminologie.SiYest un sous-ensemble d'un espace metrique (X;d), on dira queYest un

compactdeXsi (Y;dY) est un espace metrique compact pour la topologie induite.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 20 / 38

Les parties compactes sont fermees

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique et soitYXun compact deX, autrement dit une partie telle

que(Y;dY)soit un espace metrique compact. AlorsYest ferme dansX.Preuve.Fixonsx2XY. Pour touty2Y, choisissons (gr^ace a la distanced) deux ouverts

disjointsUx;yetUy;xcontenant respectivementxety. On extrait du recouvrement deYpar lesUy;x, poury2Y, un sous-recouvrement ni :

YV:=n[

i=1U yi;x:

Par construction, l'intersection nieU:=Tn

i=1Ux;yiest un ouvert qui contientxet ne rencontre pasV.A fortioriUne rencontre pasY. Commexetait arbitraire dansXY, on voit donc queXYest ouvert dansX.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 21 / 38

Intersections decroissantes d'espaces compacts

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique. Une intersectiondecroissantede compacts non vides deXest non vide.Preuve.Soit (Kn)n>0une suite de compacts, qu'on suppose decroissante (i.e.Kn+1Kn) et d'intersection vide. ChaqueKnest ferme dansK0et l'intersection desKnest, par hypothese, vide. Par compacite, il existe donc une intersection partielle,nie, vide. Par decroissance de la suite de compacts, cela revient a dire qu'il existeN2N(par exemple le plus grand indice intervenant dans l'intersection partielle nie) tel que N n=0K n=?:

En particulierKN=?. Cela prouve la proposition par contraposition.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 22 / 38

Parties fermees dans les espaces compacts

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique. SiXest compact etYXest ferme, alorsYest compact

pour la topologie induite.Preuve.On se doute que le critere le plus adapte a la situation est celui impliquant les

fermes... Soit (Fi)i2Iune famille de fermes de (Y;d) d'intersection vide. L'ensembleYetant ferme, lesFisont aussi des fermes deX. Par compacite deX, on peut donc extraire de la famille (Fi)i2Iune sous-famille nie d'intersection vide. Remarque.On va bient^ot voir que le segment [0;1] est un espace compact pour la distance de la valeur absolue : cela peut se voir par un argument de dichotomie, combine au critere sequentiel de Bolzano-Weierstrass. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 23 / 38

Images continues d'espaces compacts

Proposition

L'image d'un compact par une application continue est un compact. Preuve.Soit (X;d) et (Y;d0) des espaces metriques, soitf:X!Yune application continue et soitZXun compact. On va utiliser ici le lemme precedent (sur la topologie induite), en se donnant (Vi)i2Iun recouvrement def(Z) par des ouverts deY. Alors (f1(Vi))i2Iest un recouvrement deZpar des ouverts deX:

Zf1f(Z)[

i2If

1(Vi):

Par compacite deY, on peut en extraire un sous-recouvrementZ[ j2Jf

1(Vj) avecJI

ni. Finalement, on obtient bien un sous-recouvrement ni def(Z) : f(Z)[ j2JV j.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 24 / 38

Produit d'espaces metriques compacts

Si (X;d) et (X0;d0) sont deux espaces metriques, on peut munir l'espace produitXX0de la distance somme: d s(x1;x01);(x2;x02):=d(x1;x2) +d0(x01;x02); ou bien de ladistance produit(Lipschitz-equivalente a la precedente) : d p(x1;x01);(x2;x02):= max(d(x1;x2);d0(x01;x02)):Corollaire Le produitXYde deux espaces metriques compacts(X;d)et(Y;d0)(muni de la distance

produit ou de la distance somme) est un espace metrique compact.Preuve.Soit ((xn;yn))n>0une suite d'elements deXY. La compacite de (X;d) permet

d'extraire de la suite (xn)n>0, une sous-suite (x'(n))n>0qui converge versx. La compacite de (Y;d0) permet d'extraire de la suite (y'(n))n>0, une sous-suite (y'( (n)))n>0qui converge vers

y. En particulier, (x;y) est une valeur d'adherence de la suite ((xn;yn))n>0.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 25 / 38

Compacite de [0;1]Lemme

On supposeRmuni de la topologie usuelle, i.e. issue de la valeur absolue usuelle. Alors

l'intervalle[0;1]est un compact deR.Preuve.Soit (Ui)i2Iune famille d'ouverts qui recouvrent [0;1]. On note :

W:=fs2[0;1] : [0;s]admet un recouvrement ni par desUig: On aW6=?car 02W. De plus, par constructionWest un sous-intervalle de [0;1] : donc

W= [0;c[ ouW= [0;c] pourc= supW.

Sic<1, on remarque qu'il existej2Itel quec2Uj. L'ensembleUjetant ouvert, on peut trouversCompacts de (RN;k k1)Proposition On munitRNde la normek k1. Alors un sous-ensemble deRNest compact si, et seulement

si, il est ferme et borne.Preuve.Deja, un compactXest un ferme. En outreXest necessairement borne : autrement,

on pourrait construire une suite (xn)n>0d'elements deXtelle quekxnk>n(une telle suite ne peut pas admettre de sous-suite convergente dansRN). Inversement, commencons par remarquer que pour touta>0 l'intervalle [a;a] est compact, comme image de [0;1] par une fonction ane. De plus, le pave [a;a]Nest un compact comme produit d'espaces compacts. Par denition dek k1, un ensembleXest borne s'il est inclus dans un pave [a;a]N, qui est

compact. Si de plusXest ferme, c'est un ferme dans un compact, donc il est compact.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 27 / 38

Bornes superieure et inferieure d'une fonction continue

Theoreme

Une fonction continue a valeurs reelles, denie sur un espace metrique compact, est bornee et atteint ses bornes.Preuve.L'image d'un compactXpar une application continue est un compact, donc un ferme borne deR. En particulier infXfet supXfappartiennent a l'image deXparf. Remarque.On a vu qu'un espace metrique contient naturellement des fonctions continues, a savoir les fonctions partiellesd(x;)distance a un point: ce sont en eet des fonctions

1-lipschitziennes. Une variante de cette remarque permet de construire des ouverts disjoints

contenant des fermes disjoints donnes au depart. Un exemple similaire est fourni dans ce qui suit par les normes sur les espaces vectoriels. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 28 / 38

Equivalence des normes en dimension nieTheoreme

Toutes les normes surRNsont equivalentes. Plus generalement, sur unK-espace vectoriel de

dimension nie, toutes les normes sont equivalentes.Preuve.SoitNune norme quelconque surRN. Pour un vecteurx=PN

i=1xiei, on a :

N(x)6NX

i=1jxijN(ei) 6 NX i=1N(ei)! kxk1:

AinsiN: (RN;k k1)!(R;j j) est continue car

jN(x) N(y)j6N(xy)6 NX i=1N(ei)! kxyk1:Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 29 / 38

Equivalence des normes en dimension nie, preuveOn noteS:=fx2RN:kxk1= 1gla sphere unite de (RN;k k1). Au titre d'image

reciproque d'un ferme par une fonction continue,Sest ferme. Par denition, c'est une partie bornee dansRN, donc c'est un compact. Par le theoreme qui precede,Natteint ses bornes surSet en particulier est minoree par

N(x0)>0 pour un certainx02S.

Pour toutx2RN f0g, on peut ecrirex=kxk1xkxk1;l'inter^et etant quexkxk12S. On obtient alors :

N(x)>N(x0)kxk1;

par homogeneite de la norme.

Finalement, on a :N(x0)kxk16N(x)6PN

i=1N(ei) kxk1pour toutx2RN. Ceci prouve queNetk k1sont equivalentes, et nalement que toutes les normes surRNsont equivalentes.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 30 / 38

Theoreme de Borel-Lebesgue

Par denition, les parties bornees dansKNsont les m^emes pour deux normes equivalentes. En outre, on a deja vu que deux normes equivalentes donnent lieu a la m^eme topologie. Par consequent, l'equivalence de toutes les normes surKNimplique que le fait d'^etre ferme (ou compact) ne depend pas non plus de la norme choisie.Corollaire (theoreme de Borel-Lebesgue) SurRNou plus generalement surKN(independamment de la norme), les sous-ensembles

compacts sont les fermes bornes.Preuve.Cela decoule de ce qui precede et du fait que cela est connu pour la normek k1.

Remarque.Ce resultat est faux en dimension innie : la boule unite fermee de (`1(N;K);k k1) n'est pas compacte. Pour toutn>0, denirxn:= (0;:::;0;1;0;:::), avec

1 seule valeur non nulle, pour l'indicenexactement. On a alors :

kxnxmk1= 1 sin6=m: pas de sous-suite convergente.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 31 / 38

Continuite automatique d'applications lineaires

Proposition

SiEest un espace vectoriel norme dedimension nie et Fest un espace vectoriel norme, alors L(E;F), l'espace des applications lineaires deEdansFconcide avecL(E;F)l'espace des applications lineaires continues deEdansF.Preuve.Soit (e1;:::;eN) est une base deE, on note N X i=1x iei

E:= sup

i=1;:::;Njxij. La linearite deLet l'inegalite triangulaire impliquent que, pour toutx=PN i=1xiei, on a : kL(x)kF6NX i=1jxijkL(ei)kF 6 NX i=1kL(ei)kF! kxkE;

d'ou la continuite deL(avec majoration explicite de la constante de Lipschitz).Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 32 / 38

Theoreme de Heine

Proposition (theoreme de Heine)

Soitfune application continue d'un espace metriquecompact (X;d)dans un espace metrique (X0;d0), alorsfest est uniformement continue.Preuve.Soit" >0. Pour toutn>0, on note K n:= (x;x0)2XX:d(x;x0)61n etd0(f(x);f(x0))>" Pour chaquen>1, la partieKnest compacte (ferme dansXXqui est compact), on a K n+1Knet\ n>0K n=?: Donc, il existen0>0 tel queKn0=?.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 33 / 38

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 3. Connexite

Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 34 / 38

Notion de connexite

Denition

Soit(X;d)un espace metrique. On dit queXestconnexe s'il n'existe pas de sous-ensemble

deXautre que?etXqui soit a la fois ouvert et ferme.Typiquement, unraisonnement de connexitese met en place comme suit. Supposons qu'on ait

a verier une certaine propriete, disons (P), pour tous les points d'un espace metrique connexe. Alors, on montre que l'ensemble des points deXqui satisfont (P) est : non vide, ouvert et ferme. Exemple.On peut prouver ainsi que dans tout ouvert connexe non vide deRN, deux points sont toujours relies par une ligne polygonale par morceaux. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 35 / 38

Connexite et applications continues

Notons deja que :

Un espace metrique(X;d)est connexe si, et seulement si, il n'existe pas de fonction continue non constante surXa valeurs dansf0;1g. Cela provient de ce que les images reciproquesf1(f0g) etf1(f1g) sont ouvertes et fermees.Proposition L'image d'un espace metrique connexe par une application continue est connexe. Preuve.Soient (X;d) et (Y;d0) des espaces metriques avecXconnexe, soitf:X!Yune application continue. Supposons qu'il existe deux ouvertsUetVdeYtels que U\V\f(X) =?etf(X)U[V. Par continuitef1(U) etf1(V) sont ouverts; en outre, ils satisfontX=f1(U)[f1(V) etf1(U\V) =?. Ceci implique quef1(U) =? soitU\f(X) =?, ouf1(V) =?soitV\f(X) =?.Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 36 / 38

Exemples d'espaces connexes

On peut prouver queRest connexe. En fait :Proposition

Les parties connexes deRsont les intervalles deR.Cela decoule du theoreme des valeurs intermediaires.

Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 37 / 38

Notion de connexite par arcs

Denition

Un espace metrique(X;d)estconnexe par arcssi deux points quelconques deXpeuvent ^etre relies par un arc continu i.e. si

8x;y2X;9

2 C([0;1];X)tel que

(0) =xet (1) =y:Proposition

Si(X;d)est connexe par arcs alors(X;d)est connexe.Preuve.Sifest a valeurs dansf0;1get sixetysont relies par un arc continu

, le theoreme des valeurs intermediaires impose af de prendre la m^eme valeur en 0 et 1. Doncfest constante. On peut prouver que tout ouvert connexe d'un espace vectoriel norme est connexe par arcs. Cours 2 : continuite et compaciteBertrand Remy 38 / 38quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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