Cours 2 : continuité et compacité
Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact
COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a
Compacité
Soit (X d) un espace métrique compact
THEOREMES DANALYSE
12 avr. 2005 Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0 ... f atteint ses bornes : il existe c1
203. Utilisation de la notion de compacité
29 mai 2010 L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. Notamment toute fonction d'un compact dans R est bornée et atteint ses bornes.
Les fonctions de plusieurs variables (suite)
Soit f : X ? R (avec X compact non vide) continue. Alors : (i) f est bornée sur X. (ii) f atteint ses bornes inférieure et supérieure.
3. Les espaces de Banach classiques 3.1. Espaces de fonctions
continue sur K est bornée (et atteint ses bornes) ce qui permet de définir la L'espace vectoriel des fonctions continues et `a support compact sur.
MAT311 Cours 2 : Continuité et compacité 1
3 mai 2017 Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact
Fonctions continues et uniformement continues
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. 10. 3.2. Théorème du point fixe. 11. 3.3. Sommes de Riemann.
Chapitre 3 - Espaces métriques compacts
Rappelons que toute fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes inférieure et supérieure. Cette propriété implique que f([a b])
Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
La compacité est importante pour nous en particulier parce que les fonctions continues sur les espaces compacts ont des propriétés très fortes Théorème 3 7 Soit (X;d ) un espace métrique compact et f : X ! R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve:
COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace m´etrique compact `a valeurs dans R est born´ee et atteint ses bornes inf´erieure et sup´erieure Exemple 3 4 3 (Voir TD) Soient A B deux partie compactes de ( Ed )
COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
COURS 12 : Fonctions continues (suite) Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ab] alors f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée
compact - licence-mathuniv-lyon1fr
1(e) A est compact f est continue et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes 1(f) Un min ou max est atteint soit dans l’int´erieur (en un point critique) ou sur la fronti`ere Ici la premi`ere possibilit´e est exclue pour le min 2(a) On a y 2+y ?1 ? 0d’o`uy ? (1+ ? 5)/2 < 2 Ensuite z est major´e par 3 et
Système itéré de fonctions
Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Autrement dit : si CˆR2un ensemble compact et f: C!R une fonction continue alors il d’une part la fonction est bornée et d’autre part le maximum et le minimum sont atteint en des points de C
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Applications continues sur une partie compacte Image d’une partie compacte par une application continue Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes Théorème de Heine Parties connexes par arcs d’un espace vectoriel normé Chemin continu joignant deux points
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
Comment montrer que f est bornée et atteint ses bornes ?
Alors f est bornée et atteint ses bornes. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f). Par dé nition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn) converge vers M .
Comment montrer qu'un produit est compact ?
Corollaire 3.4. Pour tout n 2 N , et tout a1;:::;an;b1;:::;bn, l'ensemble Q [ai;bi]est un compact de Rnmuni de la distance induite par kk1. Preuve: Chacun des espaces [ai;bi] est compact, et par récurrence on montre facilement à partir de la pro- position précédente qu'un produit ni d'espaces métriques compacts est compact.
Comment montrer qu'un ensemble est compact ?
Preuve: Si A Rnest tel que (A;d ) soit compact, alors on sait que (A;d ) doit être fermé dans Rn, et borné d'après la proposition précédente. Réciproquement, si A est fermé borné dans Rn, alors il existe M tel que A soit contenu dans [ M;M ]n; on a vu que cet ensemble est compact, et A y est fermé, donc (A;d ) est compact.
MAT311, Cours 2 : Continuit
´e et compacit´e1
x1. Applications continues1.1. Notion de continuit
´e d"une application
1.1.1 D
´efinition m´etrique et caract´erisation topologique de la continuit ´e Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques et soitf:X!Yune application. D ´efinition 1.1.On dit quefest continue enx02Xsi8e>0;9d>0d(x0;x) On dit quefestcontinue (surX)sifest continue en tout point de X. Proposition 1.1.On a´equivalence entre :
(i)L"applicationfest continue surX. (ii)L"image r´eciproque parfd"un ouvert de(Y;d0)est un ouvert de(X;d). (iii)L"image r´eciproque parfd"un ferm´e de(Y;d0)est un ferm´e de(X;d). 1.1.2 Caract
´erisation topologique de la continuit´e (preuve) Preuve.Supposons quefest continue surXet donnons-nous un ouvertUdeY. Soitx2f1(U). Par d´efinition,y=f(x)2Uqui est ouvert. Il existe donce>0tel queBY(y;e)U. La continuit´e defenxnous assure qu"il existed>0tel que f(BX(x;d))BY(y;e)U; ce qui montre que B X(x;d)f1(U):
Par cons
´equent,f1(U)est un ouvert deX.
Inversement, supposons que l"image r
´eciproque de tout ouvert
deYest un ouvert deX. Pour toutx2Xet pour toute>0, l"image r ´eciproque deBY(f(x);e)parfest un ouvert deXqui contientx, donc il existed>0tel que B X(x;d)f1(BY(f(x);e)):
Autrement dit, l"image deBX(x;d)parfest incluse dans B Y(f(x);e), ce qui d´emontre la continuit´e defau pointx. 1.1.3 Caract
´erisation topologique de la continuit´e (preuve, suite) L" ´equivalence entre (ii) et (iii) est une cons´equence du fait que l"image r ´eciproque du compl´ementaire d"une partieAdansYest egale au compl´ementaire dansXde l"image r´eciproque deA, i.e. f 1(YA) =Xf1(A):
Ce qui termine la d
´emonstration.1.1.4 Stabilit
´es de la continuit´e
La compos´ee d"applications continues est aussi une applica- tion continue: sif:X!Yest continue au pointx2Xet sig:Y!Zest continue au pointf(x)2Y, alorsgfest continue au pointx. Sif:X!Eetg:X!Esont deux applications continues
enx2X,`a valeurs dans un espace vectoriel norm´e(E;k k) et sia;b:X!Ksont deux fonctions continues enx2X, alorsaf+bgest continue enx2X. 1.2. Renforcements de la continuit
´e 1.2.1 Continuit
´e uniforme
D ´efinition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques. Une applicationf:X!Yest dite uniform´ement continue surXsi Remarque.La fonctionx7!pxest uniform´ement continue sur [0;+¥[en vertu de l"in´egalit´e px 0px 6pjx0xj;
pour tousx;x0>0, mais la fonction continuex7!x2n"est pas uni- form ´ement continue surR.
1.2.2 Applications lipschitziennes
D ´efinition 1.3.On dit qu"une applicationf:X!Yd´efinie entre deux espaces m ´etriques, estlipschitziennede rapportk>0(ou
encorek-lipschitzienne) si d 0(f(x);f(y))6kd(x;y)
pour tousx;y2X. Une application lipschitzienne est uniform
´ement continue car la
distance entre deux points images est dans ce cas major ´ee par une
fonction lin ´eaire de la distance des points`a la source.
1.2.3 La fonction distance est1-lipschitzienne
Soit(X;d)un espace m´etrique etx02X. On a
d(x;x0)d(y;x0)6d(x;y); et en ´echangeant le rˆole dexet dey, on conclut que jd(x;x0)d(y;x0)j6d(x;y): Ceci montre que l"applicationd(;x0):X!Rest1-lipschitzienne. Cas particulier : dans un espace vectoriel norm
´e(E;k k), on a
kykkxk6kyxk; pour tousx;y2E. Ceci montre quex7! kxkest1-lipschitzienne. 1.3. Suites et continuit
´e1
Bertrand R´emy (´Ecole polytechnique). Palaiseau, 3 mai 2017. 1 1.3.1 Caract
´erisation s´equentielle des applications continues Proposition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)deux espaces m´etriques etx2X. Une applicationf:X!Yest continue au pointxsi et seulement si pour toute suite(xn)n>0qui converge versxdansX, on a lim n!+¥f(xn) =f lim n!+¥xn Preuve.Supposons quefest continue enxet soit(xn)n>0 une suite qui converge versx. Pour toute>0, il existed>0tel que
d(x;y)n0, et donc d 0(f(xn);f(x))n0.
1.3.2 Preuve du crit
`ere s´equentiel de continuit´e (suite) Supposons quefn"est pas continue enx.
Il existee>0tel que, pour toutd>0, il existey2Xtel que d(y;x)e: En prenantd=1=n, on construit ainsi une suite(xn)n>1telle que d(xn;x)<1=netd0(f(xn);f(x))>e: La suite(xn)n>1converge versxet la suite(f(xn))n>1ne con- verge pas versf(x). 1.4. Continuit
´e des applications lin´eaires
1.4.1 Crit
`eres de continuit´e pour les applications lin´eaires en- tre evn Proposition 1.3.Soient(E;kkE)et(F;kkF)deux espaces vec- toriels norm ´es etL:E!Fune application lin´eaire. Alors, les propositions suivantes sont ´equivalentes :
(i)l"application lin´eaireLest continue surE; (ii)l"application lin´eaireLest continue en0; (iii)il existe une constanteC>0telle que kL(x)kF6CkxkE; pour toutx2E. Remarque.Comme annonc´e, le dernier crit`ere est`a rapprocher de la d ´efinition des normes subordonn´ees donn´ee au premier cours. 1.4.2 Preuve des crit
`eres de continuit´e pour les applications lin ´eaires
Preuve.On supposeLcontinue en0(assertion la plus faible des trois). Il existed>0tel que, pour toutx2E, on ait : kxkE6d) kL(x)kF61:Par homog ´en´eit´e, six6=0on a :
kL(x)kF=kxkEd LdkxkEx
F61d kxkE: Finalement,L´etant lin´eaire, on peut´ecrire : kL(x)L(y)kF=kL(xy)kF6CkxykE; ce qui montre queLest lipschitzienne (assertion la plus forte des trois). 1.4.3 Espaces d"applications lin
´eaires continues
On noteL(E;F)l"espace vectoriel des applications lin´eaires de EdansFetL(E;F)le sous-espace vectoriel des applications lin ´eairescontinuesdeEdansF.
SiL2L(E;F), on peut d´efinir
kLkL(E;F):=sup x2Ef0gkL(x)kFkxkE=sup kxk61kL(x)kFkxkE=sup kxk=1kL(x)kF: En particulier
kL(x)kF6kLkL(E;F)kxkE: On v ´erifie que l"on d´efinit ainsi une norme surL(E;F). x2. Compacit´e 2.1. Notion de compacit
´e 2.1.1 Notion de compacit
´e La compacit
´e est une notion omnipr´esente dans tous les domaines des math ´ematiques.
D ´efinition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
(i)De tout recouvrement deXpar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrementfini. (ii)Toute famille de ferm´es deXd"intersection vide admet une sous-famillefinied"intersection vide. Si(X;d)poss`ede les propri´et´es ci-dessus, on dit qu"il est compact Justification.L"´equivalence entre (i) et (ii) se fait par passage aux compl ´ementaires :
une r ´eunion d"ouverts[
i2IO i=Xdevient une intersection de ferm´es\ i2IF i=?; o `uFi=XOi, et vice versa. 2.1.2 Motivation et exemples pour les espaces compacts
Motivation.Le grand int´erˆet de la compacit´e s"explique en partie parce que cette notion fournit des ´enonc´es d"existence : la formu-
lation (ii) ci-dessus est un ´enonc´e d"existence tr`es g´en´eral qui se d ´ecline dans de multiples situations. Pour ce faire, il peutˆetre utile de se ramener, dans (i) ou (ii), `a des familles de parties ouvertes ou ferm ´ees avec de bonnes propri´et´es vis-`a-vis de l"inclusion (crois- sance ou d ´ecroissance).
2 La compacit
´e assure aussi l"existence de limites pour des (sous- )suites bien choisies (crit `ere de Bolzano-Weierstrass). Exemples.On va voir que toutes les parties ferm´ees et born´ees desK-espaces vectoriels de dimension finie(K=RouC) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n"importe quelle norme). En revanche, la question de la compacit
´e de parties ferm´ees et
born ´ees dansK-espaces vectoriels de dimension infinie (par exem- ple des boules ou des sph `eres dans des espaces de fonctions) est plus d ´elicate.
2.1.3 Non-exemple d"espace compact
Non-exemple :l"espace m´etrique(]0;1[;jj)n"est pas compact. Justification.Remarquer que l"on a une r´eunioncroissante(et donc qu"une r ´eunion partielle finie est un intervalle de la suite) : ]0;1[=[ n>3] 1n ;11n et que, pour toutn>3, l"intervalle]1n ;11n [est un ouvertstrictde (]0;1[;jj). Justification alternative.Remarquer que l"on a une intersec- tiond´ecroissante(et donc qu"une intersection partielle finie est un intervalle de la suite) : n>2]0;1n et que, pour toutn>2, l"intervalle]0;1n ]est un ferm´enon videde (]0;1[;jj). 2.1.4 Caract
´erisation s´equentielle des compacts
On dispose d
´ej`a de crit`eres s´equentiels pour v´erifier la fermeture d"une partie et la continuit ´e d"une application ; en voici un (c´el`ebre) pour la compacit ´e.
Th ´eor`eme 2.1(th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass).Soit(X;d)un espace m ´etrique. AlorsXest compact si, et seulement si, de toute suite d" ´el´ements deXon peut extraire une sous-suite qui converge. R ´ef´erence.On renvoie au polycopi´e de cours pour la preuve : th ´eor`eme 3.1 p. 36.
Exemple :(]0;1[;jj)n"est pas compact.
Justification (encore une).La suite(1n
)n>2n"admet aucune sous-suite convergente dans(]0;1[;jj). 2.2. Sous-espaces compacts d"un espace m
´etrique
2.2.1 Sous-espaces compacts d"un espace m
´etrique quel-
conque On part d"un espace m
´etrique(X;d)et on se donne une partieY
deX. L"ensembleYest un espace m´etrique pour la distancedY, restriction ded`aYY(et que parfois on notera encored). La question de la compacit ´e deYpour la topologie induite pardest
naturelle. Elle se pose en termes d"ouverts deYpour la topologie induite, mais on peut se ramener aux ouverts de l"espace ambiant X:Lemme 2.1.SoitYun sous-ensemble d"un espace m´etrique(X;d). Alors(Y;dY)est un espace compact si, et seulement si, de tout re- couvrement deYpar des ouverts deXon peut extraire un sous- recouvrement fini deY. Preuve.D´ecoule du fait que les ouverts de(Y;dY)sont les traces des ouverts de(X;d). Terminologie.SiYest un sous-ensemble d"un espace
m ´etrique(X;d), on dira queYest uncompactdeXsi(Y;dY)est un espace m ´etrique compact pour la topologie induite.
2.2.2 Les parties compactes sont ferm
´ees
Proposition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique et soitYXun compact deX, autrement dit une partie telle que(Y;dY)soit un espace m ´etrique compact. AlorsYest ferm´e dansX.
Preuve.Fixonsx2XY. Pour touty2Y, choisissons (grˆace`a la distanced) deux ouverts disjointsUx;yetUy;xcontenant respec- tivementxety. On extrait du recouvrement deYpar lesUy;x, pour y2Y, un sous-recouvrement fini : YV:=n[
i=1U yi;x: Par construction, l"intersection finieU:=Tni=1Ux;yiest un ouvert qui contientxet ne rencontre pasV.A fortioriUne rencontre pas Y. Commex´etait arbitraire dansXY, on voit donc queXYest ouvert dansX. 2.2.3 Intersections d
´ecroissantes d"espaces compacts
Proposition 2.2.Soit(X;d)un espace m´etrique. Une intersection d ´ecroissantede compacts non vides deXest non vide. Preuve.Soit(Kn)n>0une suite de compacts, qu"on suppose d ´ecroissante (i.e.Kn+1Kn) et d"intersection vide. ChaqueKn est ferm ´e dansK0et l"intersection desKnest, par hypoth`ese, vide. Par compacit
´e, il existe donc une intersection partielle,finie, vide. Par d ´ecroissance de la suite de compacts, cela revient`a dire qu"il existeN2N(par exemple le plus grand indice intervenant dans l"intersection partielle finie) tel que N n=0K n=?: En particulierKN=?. Cela prouve la proposition par contraposi- tion. 2.3. Constructions d"espaces compacts
2.3.1 Parties ferm
´ees dans les espaces compacts
Proposition 2.3.Soit(X;d)un espace m´etrique. SiXest compact etYXest ferm´e, alorsYest compact pour la topologie induite. Preuve.On se doute que le crit`ere le plus adapt´e`a la situation est celui impliquant les ferm ´es... Soit(Fi)i2Iune famille de ferm´es
de(Y;d)d"intersection vide. L"ensembleY´etant ferm´e, lesFisont aussi des ferm ´es deX. Par compacit´e deX, on peut donc extraire de la famille(Fi)i2Iune sous-famille finie d"intersection vide. Remarque.On va bientˆot voir que le segment[0;1]est un es- pace compact pour la distance de la valeur absolue : cela peut se voir par un argument de dichotomie, combin ´e au crit`ere s´equentiel
de Bolzano-Weierstrass. 3 2.3.2 Images continues d"espaces compacts
Proposition 2.4.L"image d"un compact par une application con- tinue est un compact. Preuve.Soit(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques, soitquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27
Proposition 1.1.On a´equivalence entre :
(i)L"applicationfest continue surX. (ii)L"image r´eciproque parfd"un ouvert de(Y;d0)est un ouvert de(X;d). (iii)L"image r´eciproque parfd"un ferm´e de(Y;d0)est un ferm´e de(X;d).1.1.2 Caract
´erisation topologique de la continuit´e (preuve) Preuve.Supposons quefest continue surXet donnons-nous un ouvertUdeY. Soitx2f1(U). Par d´efinition,y=f(x)2Uqui est ouvert. Il existe donce>0tel queBY(y;e)U. La continuit´e defenxnous assure qu"il existed>0tel que f(BX(x;d))BY(y;e)U; ce qui montre que BX(x;d)f1(U):
Par cons
´equent,f1(U)est un ouvert deX.
Inversement, supposons que l"image r
´eciproque de tout ouvert
deYest un ouvert deX. Pour toutx2Xet pour toute>0, l"image r ´eciproque deBY(f(x);e)parfest un ouvert deXqui contientx, donc il existed>0tel que BX(x;d)f1(BY(f(x);e)):
Autrement dit, l"image deBX(x;d)parfest incluse dans B Y(f(x);e), ce qui d´emontre la continuit´e defau pointx.1.1.3 Caract
´erisation topologique de la continuit´e (preuve, suite) L" ´equivalence entre (ii) et (iii) est une cons´equence du fait que l"image r ´eciproque du compl´ementaire d"une partieAdansYest egale au compl´ementaire dansXde l"image r´eciproque deA, i.e. f1(YA) =Xf1(A):
Ce qui termine la d
´emonstration.1.1.4 Stabilit
´es de la continuit´e
La compos´ee d"applications continues est aussi une applica- tion continue: sif:X!Yest continue au pointx2Xet sig:Y!Zest continue au pointf(x)2Y, alorsgfest continue au pointx.Sif:X!Eetg:X!Esont deux applications continues
enx2X,`a valeurs dans un espace vectoriel norm´e(E;k k) et sia;b:X!Ksont deux fonctions continues enx2X, alorsaf+bgest continue enx2X.1.2. Renforcements de la continuit
´e1.2.1 Continuit
´e uniforme
D ´efinition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques. Une applicationf:X!Yest dite uniform´ement continue surXsi Remarque.La fonctionx7!pxest uniform´ement continue sur [0;+¥[en vertu de l"in´egalit´e px 0px6pjx0xj;
pour tousx;x0>0, mais la fonction continuex7!x2n"est pas uni- form´ement continue surR.
1.2.2 Applications lipschitziennes
D ´efinition 1.3.On dit qu"une applicationf:X!Yd´efinie entre deux espaces m´etriques, estlipschitziennede rapportk>0(ou
encorek-lipschitzienne) si d0(f(x);f(y))6kd(x;y)
pour tousx;y2X.Une application lipschitzienne est uniform
´ement continue car la
distance entre deux points images est dans ce cas major´ee par une
fonction lin´eaire de la distance des points`a la source.
1.2.3 La fonction distance est1-lipschitzienne
Soit(X;d)un espace m´etrique etx02X. On a
d(x;x0)d(y;x0)6d(x;y); et en ´echangeant le rˆole dexet dey, on conclut que jd(x;x0)d(y;x0)j6d(x;y): Ceci montre que l"applicationd(;x0):X!Rest1-lipschitzienne.Cas particulier : dans un espace vectoriel norm
´e(E;k k), on a
kykkxk6kyxk; pour tousx;y2E. Ceci montre quex7! kxkest1-lipschitzienne.1.3. Suites et continuit
´e1
Bertrand R´emy (´Ecole polytechnique). Palaiseau, 3 mai 2017. 11.3.1 Caract
´erisation s´equentielle des applications continues Proposition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)deux espaces m´etriques etx2X. Une applicationf:X!Yest continue au pointxsi et seulement si pour toute suite(xn)n>0qui converge versxdansX, on a lim n!+¥f(xn) =f lim n!+¥xn Preuve.Supposons quefest continue enxet soit(xn)n>0 une suite qui converge versx.Pour toute>0, il existed>0tel que
d(x;y)0(f(xn);f(x))n0.
1.3.2 Preuve du crit
`ere s´equentiel de continuit´e (suite)Supposons quefn"est pas continue enx.
Il existee>0tel que, pour toutd>0, il existey2Xtel que d(y;x)1.4. Continuit
´e des applications lin´eaires
1.4.1 Crit
`eres de continuit´e pour les applications lin´eaires en- tre evn Proposition 1.3.Soient(E;kkE)et(F;kkF)deux espaces vec- toriels norm ´es etL:E!Fune application lin´eaire. Alors, les propositions suivantes sont´equivalentes :
(i)l"application lin´eaireLest continue surE; (ii)l"application lin´eaireLest continue en0; (iii)il existe une constanteC>0telle que kL(x)kF6CkxkE; pour toutx2E. Remarque.Comme annonc´e, le dernier crit`ere est`a rapprocher de la d ´efinition des normes subordonn´ees donn´ee au premier cours.1.4.2 Preuve des crit
`eres de continuit´e pour les applications lin´eaires
Preuve.On supposeLcontinue en0(assertion la plus faible des trois). Il existed>0tel que, pour toutx2E, on ait : kxkE6d) kL(x)kF61:Par homog´en´eit´e, six6=0on a :
kL(x)kF=kxkEdLdkxkEx
F61d kxkE: Finalement,L´etant lin´eaire, on peut´ecrire : kL(x)L(y)kF=kL(xy)kF6CkxykE; ce qui montre queLest lipschitzienne (assertion la plus forte des trois).1.4.3 Espaces d"applications lin
´eaires continues
On noteL(E;F)l"espace vectoriel des applications lin´eaires de EdansFetL(E;F)le sous-espace vectoriel des applications lin´eairescontinuesdeEdansF.
SiL2L(E;F), on peut d´efinir
kLkL(E;F):=sup x2Ef0gkL(x)kFkxkE=sup kxk61kL(x)kFkxkE=sup kxk=1kL(x)kF:En particulier
kL(x)kF6kLkL(E;F)kxkE: On v ´erifie que l"on d´efinit ainsi une norme surL(E;F). x2. Compacit´e2.1. Notion de compacit
´e2.1.1 Notion de compacit
´eLa compacit
´e est une notion omnipr´esente dans tous les domaines des math´ematiques.
D ´efinition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique. Les assertions suivantes sont´equivalentes.
(i)De tout recouvrement deXpar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrementfini. (ii)Toute famille de ferm´es deXd"intersection vide admet une sous-famillefinied"intersection vide. Si(X;d)poss`ede les propri´et´es ci-dessus, on dit qu"il est compact Justification.L"´equivalence entre (i) et (ii) se fait par passage aux compl´ementaires :
une r´eunion d"ouverts[
i2IO i=Xdevient une intersection de ferm´es\ i2IF i=?; o `uFi=XOi, et vice versa.2.1.2 Motivation et exemples pour les espaces compacts
Motivation.Le grand int´erˆet de la compacit´e s"explique en partie parce que cette notion fournit des´enonc´es d"existence : la formu-
lation (ii) ci-dessus est un ´enonc´e d"existence tr`es g´en´eral qui se d ´ecline dans de multiples situations. Pour ce faire, il peutˆetre utile de se ramener, dans (i) ou (ii), `a des familles de parties ouvertes ou ferm ´ees avec de bonnes propri´et´es vis-`a-vis de l"inclusion (crois- sance ou d´ecroissance).
2La compacit
´e assure aussi l"existence de limites pour des (sous- )suites bien choisies (crit `ere de Bolzano-Weierstrass). Exemples.On va voir que toutes les parties ferm´ees et born´ees desK-espaces vectoriels de dimension finie(K=RouC) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n"importe quelle norme).En revanche, la question de la compacit
´e de parties ferm´ees et
born ´ees dansK-espaces vectoriels de dimension infinie (par exem- ple des boules ou des sph `eres dans des espaces de fonctions) est plus d´elicate.
2.1.3 Non-exemple d"espace compact
Non-exemple :l"espace m´etrique(]0;1[;jj)n"est pas compact. Justification.Remarquer que l"on a une r´eunioncroissante(et donc qu"une r ´eunion partielle finie est un intervalle de la suite) : ]0;1[=[ n>3] 1n ;11n et que, pour toutn>3, l"intervalle]1n ;11n [est un ouvertstrictde (]0;1[;jj). Justification alternative.Remarquer que l"on a une intersec- tiond´ecroissante(et donc qu"une intersection partielle finie est un intervalle de la suite) : n>2]0;1n et que, pour toutn>2, l"intervalle]0;1n ]est un ferm´enon videde (]0;1[;jj).2.1.4 Caract
´erisation s´equentielle des compacts
On dispose d
´ej`a de crit`eres s´equentiels pour v´erifier la fermeture d"une partie et la continuit ´e d"une application ; en voici un (c´el`ebre) pour la compacit´e.
Th ´eor`eme 2.1(th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass).Soit(X;d)un espace m ´etrique. AlorsXest compact si, et seulement si, de toute suite d" ´el´ements deXon peut extraire une sous-suite qui converge. R ´ef´erence.On renvoie au polycopi´e de cours pour la preuve : th´eor`eme 3.1 p. 36.
Exemple :(]0;1[;jj)n"est pas compact.
Justification (encore une).La suite(1n
)n>2n"admet aucune sous-suite convergente dans(]0;1[;jj).2.2. Sous-espaces compacts d"un espace m
´etrique
2.2.1 Sous-espaces compacts d"un espace m
´etrique quel-
conqueOn part d"un espace m
´etrique(X;d)et on se donne une partieY
deX. L"ensembleYest un espace m´etrique pour la distancedY, restriction ded`aYY(et que parfois on notera encored). La question de la compacit´e deYpour la topologie induite pardest
naturelle. Elle se pose en termes d"ouverts deYpour la topologie induite, mais on peut se ramener aux ouverts de l"espace ambiant X:Lemme 2.1.SoitYun sous-ensemble d"un espace m´etrique(X;d). Alors(Y;dY)est un espace compact si, et seulement si, de tout re- couvrement deYpar des ouverts deXon peut extraire un sous- recouvrement fini deY. Preuve.D´ecoule du fait que les ouverts de(Y;dY)sont les traces des ouverts de(X;d).Terminologie.SiYest un sous-ensemble d"un espace
m ´etrique(X;d), on dira queYest uncompactdeXsi(Y;dY)est un espace m´etrique compact pour la topologie induite.
2.2.2 Les parties compactes sont ferm
´ees
Proposition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique et soitYXun compact deX, autrement dit une partie telle que(Y;dY)soit un espace m´etrique compact. AlorsYest ferm´e dansX.
Preuve.Fixonsx2XY. Pour touty2Y, choisissons (grˆace`a la distanced) deux ouverts disjointsUx;yetUy;xcontenant respec- tivementxety. On extrait du recouvrement deYpar lesUy;x, pour y2Y, un sous-recouvrement fini :YV:=n[
i=1U yi;x: Par construction, l"intersection finieU:=Tni=1Ux;yiest un ouvert qui contientxet ne rencontre pasV.A fortioriUne rencontre pas Y. Commex´etait arbitraire dansXY, on voit donc queXYest ouvert dansX.2.2.3 Intersections d
´ecroissantes d"espaces compacts
Proposition 2.2.Soit(X;d)un espace m´etrique. Une intersection d ´ecroissantede compacts non vides deXest non vide. Preuve.Soit(Kn)n>0une suite de compacts, qu"on suppose d ´ecroissante (i.e.Kn+1Kn) et d"intersection vide. ChaqueKn est ferm ´e dansK0et l"intersection desKnest, par hypoth`ese, vide.Par compacit
´e, il existe donc une intersection partielle,finie, vide. Par d ´ecroissance de la suite de compacts, cela revient`a dire qu"il existeN2N(par exemple le plus grand indice intervenant dans l"intersection partielle finie) tel que N n=0K n=?: En particulierKN=?. Cela prouve la proposition par contraposi- tion.2.3. Constructions d"espaces compacts
2.3.1 Parties ferm
´ees dans les espaces compacts
Proposition 2.3.Soit(X;d)un espace m´etrique. SiXest compact etYXest ferm´e, alorsYest compact pour la topologie induite. Preuve.On se doute que le crit`ere le plus adapt´e`a la situation est celui impliquant les ferm´es... Soit(Fi)i2Iune famille de ferm´es
de(Y;d)d"intersection vide. L"ensembleY´etant ferm´e, lesFisont aussi des ferm ´es deX. Par compacit´e deX, on peut donc extraire de la famille(Fi)i2Iune sous-famille finie d"intersection vide. Remarque.On va bientˆot voir que le segment[0;1]est un es- pace compact pour la distance de la valeur absolue : cela peut se voir par un argument de dichotomie, combin´e au crit`ere s´equentiel
de Bolzano-Weierstrass. 32.3.2 Images continues d"espaces compacts
Proposition 2.4.L"image d"un compact par une application con- tinue est un compact. Preuve.Soit(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques, soitquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] matrice diagonalisable exercice corrigé
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