[PDF] 3. Les espaces de Banach classiques 3.1. Espaces de fonctions

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3. Les espaces de Banach classiques

3.1. Espaces de fonctions continues ou int´egrables

Soit K un espace topologique compact; l"espace C(K) (r´eel ou complexe) est l"espace vectoriel des fonctions scalaires continues sur K. On sait que toute fonction r´eellef continue sur K est born´ee (et atteint ses bornes), ce qui permet de d´efinir lanorme uniformede la fonctionfen posant kfk1= maxt2Kjf(t)j: Muni de cette norme, C(K) est un espace de Banach. Le fait qu"il soit complet est une traduction du th´eor`eme selon lequel une limite uniforme d"une suite de fonctions continues est une fonction continue. Soit (K;d) un espacem´etriquecompact. Si U est un ouvert quelconque de K, la fonctionf d´efinie parf(s) =d(s;Uc) = inffd(s;t) :t =2Ugest une fonction r´eelle continue sur K qui est non nulle exactement sur U. Si (U i) est un recouvrement ouvert fini de K, on peut donc trouver des fonctions continuesÃitelles queÃisoit nulle en dehors de UietÃi>0 sur U i; alorsÃ=P jÃjest>0 sur K (donc minor´ee par un± >0). Les fonctions continues i=Ãi=Ãr´ealisent unepartition de l"unit´e, subordonn´ee au recouvrement (Ui), ce qui signifie queP j'j= 1 sur K,'j= 0 hors de Ujet 0·'j·1 pour chaquej. C"est un outil tr`es commode pour beaucoup de questions. Voici un exemple d"application de la notion de partition de l"unit´e. On dit qu"un espace topologique X estm´etrisablelorsqu"il existe une distancedsur X qui d´efinit la topologie de X. Th´eor`eme.QuandKest un compact m´etrisable, l"espace de BanachC(K)est s´eparable.

En r´ealit´e, la r´eciproque est vraie : si K est un espace topologique compact et si C(K) est

s´eparable, on peut d´efinir la topologie de K par une distance. D´emontrons le th´eor`eme. On se donne un compact m´etrique (K;d). Pour toute fonction continuefsur K, on introduit lemodule de continuit´e def, qui est une fonction not´ee!f, d´efinie pour tout± >0 par f(±) = supfjf(s)¡f(t)j:s;t2K; d(s;t)·±g: Dire quefest uniform´ement continue sur K revient `a dire que lim±!0!f(±) = 0. Fixons

± >0 et consid´erons un recouvrement fini de K par des boules ouvertes (B(sj;±))j=1;:::;N(existence par Borel-Lebesgue). Soit'1;:::;'Nune partition de l"unit´e associ´ee au recou-

vrement de K par les ouverts!j= B(sj;±) ; soit F±le sous-espace de dimension finie de

C(K) engendr´e par'1;:::;'N.

Pour toute fonction continuefsurK, on adist(f;F±)·!f(±).

On poseg=PN

j=1f(sj)'j2F±; on voit que pour touts2K, f(s)¡g(s) =NX j=1' j(s)(f(s)¡f(sj)): - 25 - Si'j(s)(f(s)¡f(sj))6= 0 pour un certain indicej, on a'j(s)6= 0, doncs2B(sj;±), donc jf(s)¡f(sj)j ·!f(±), donc pour toutj= 1;:::;N on a j(s)jf(s)¡f(sj)j ·!f(±)'j(s); en sommant enjon obtient l"in´egalit´ejf(s)¡g(s)j ·!f(±) pour touts2K, c"est `a dire (P) dist(f;F±)·!f(±): Si on prend±= 2¡npourn= 0;1;:::et si (Fn) sont des sous-espaces de dimension finie correspondants, on aura pour toute fonction continuef dist(f;Fn)·!f(2¡n)!0:

Il en r´esulte queS

nFnest dense dans C(K), donc C(K) est s´eparable d"apr`es la proposi- tion 1.7.1. Beaucoup d"exemples d"espaces de Banach proviennent de la th´eorie de l"int´egration. Unespace mesurable(Ω;A) est la donn´ee d"un ensemble Ω et d"une tribuAde parties de l"ensemble Ω. Nous supposerons donn´e un espace (Ω;A;¹), o`u (Ω;A) est un espace mesurable et¹une mesure positive sur (Ω;A). Rappelons que¹est une application de

Adans [0;+1] telle que¹(;) = 0 et

n¸0A n¢=+1X n=0¹(An) chaque fois que les ensembles (A n)n¸0de la tribuAsont deux `a deux disjoints (avec des conventions ´evidentes pour les s´eries dont les termes peuvent prendre la valeur +1). Pour ´eviter certains d´esagr´ements nous supposerons que la mesure est¾-finie, ce qui veut dire qu"il existe une partition (Ω n) de Ω en unesuitede parties Ωn2 Atelles que ¹(Ωn)<+1. Un exemple typique est fourni par la mesure de Lebesgue surRd(muni de la tribu bor´elienne), ou bien par lamesure de comptage¹surN, qui associe `a tout A½Nle nombre¹(A) (fini ou +1) de ses ´el´ements. Pour 1·p <+1, l"espace Lp= Lp(Ω;A;¹) des (classes de) fonctionsfr´eelles ou complexes sur Ω telles quefsoit mesurable etR

Ωjfjpd¹ <+1est norm´e par

kfkp=³Z jf(s)jpd¹(s)´ 1=p: On a vu dans l"exemple 1.1.2 que la quantit´e ci-dessus d´efinit une semi-norme surLp, puis dans l"exemple 1.1.6 que l"on obtient une norme sur L pen passant au quotient.

Cet espace L

pest de plus complet : on peut utiliser le crit`ere des s´eries normalement convergentes de la proposition 1.1.6 et quelques arguments d"int´egration pour retrouver ce th´eor`eme du cours d"Int´egration (appel´e souventth´eor`eme de Fisher-Riesz). On a vu dans l"exemple 1.1.6 l"espace`p, qui est l"espace des suites scalairesx= (xn) telles quePjxnjp<+1. Pour unifier les arguments, on peut dire que`pest l"espace L p(Ω;¹) pour la mesure de comptage¹sur Ω =N. L"espace`1est l"espace de Banach des suites scalaires born´ees. Il existe un analogue de`1en th´eorie de l"int´egration : c"est l"espace L

1(Ω;¹) des classes de fonctions mesurables born´ees sur Ω (c"est `a dire

des classes qui contiennent un repr´esentant born´e). La normekfk1est la plus petite constante M telle que l"on aitjf(s)j ·M pour¹-presque touts2Ω. L"espace L1est complet pour cette norme. - 26 -

3.2. R´esultats de densit´e

On utilise tr`es souvent le r´esultat suivant : les fonctions continues et `a support compact sont denses dans l"espace L

1(R). Nous allons rappeler une des voies qui conduit

`a ce r´esultat. Nous supposons que L

1(R) a ´et´e introduit `a partir de la th´eorie de la mesure,

en commen¸cant avec les fonctions ´etag´ees et en construisant l"int´egrale de Lebesgue. Commen¸cons par une remarque simple. Soitf2Lp(R), avec 1·p <+1; pour chaque entiern¸1, d´esignons parfnla fonction1[¡n;n]f, ´egale `afsur l"intervalle [¡n;n] et nulle en dehors. Il est clair quefntend simplement versfsurR, et de plus jf(t)¡fn(t)jp· jf(t)jppour toutt2R; on a donc convergence simple vers 0 de la suite

(jf¡fnjp), convergence domin´ee par la fonction int´egrable fixejfjp. D"apr`es le th´eor`eme

de convergence domin´ee de Lebesgue, Z R jf(t)¡fn(t)jpdt!0 ce qui signifie quekfn¡fkp!0. On obtient ainsi Pour toutp2[1;+1[, le sous-espace vectoriel deLp(R)form´e des fonctionsgnulles en dehors d"un compact (d´ependant deg) est dense dansLp(R). Soient maintenant K un espace m´etrique compact,Bsa tribu bor´elienne et¹une mesure¸0 finie sur l"espace mesurable (K;B). Th´eor`eme 3.2.1.L"espaceC(K)est dense dansLp(K;B;¹), lorsque1·p <+1. D´emonstration.On montre que les ensembles A2 Btels que1Asoit limite dans Lpd"une suite (fn) de fonctions continues sur K telles que 0·fn·1, forment une tribuAde parties de K. Si A2 Aet1A= limfn, alors1Ac= 1¡1A= lim(1¡fn) montre que Ac2 A; on a K2 Apuisque1K= 1 est continue sur K. Si A2 Aet1A= limfn, B2 Aet1B= limgn, alors la suite des produits (fngn) tend vers1A\B=1A1Bdans Lp(petit exercice ; utiliser le fait que les fonctions sont toutes born´ees par 1 sur K). Si (A n) est une suite croissante d"´el´ements deAet si A d´esigne sa r´eunion, la fonction1Aest limite simple de la suite des (1An) et la convergence dej1A¡1Anjpvers 0 est domin´ee par la fonction int´egrable fixe1A, donc1Antend vers1Adans Lp; par hypoth`ese, chaque fonction1Anpeut ˆetre approch´ee par une fonction continuefn, de fa¸con quek1An¡fnkp<2¡npar exemple. On a alors1A= limfndans Lp, donc A2 A. On v´erifie ensuite que cette tribuAcontient les ouverts de K : si U est un ouvert de K, on d´efinitfnen posantfn(t) = minf1;nd(t;Uc)gpour toutt2K ; cette suite de fonctions continues tend simplement vers1U, et on montre que1U= limfndans Lppar convergence domin´ee. PuisqueAest une tribu contenant les ouverts de K, on aB ½ A, doncA=B.

Pour tout bor´elien B

2 B, on sait maintenant que B2 A, donc il existe une suite de

fonctions continues qui tend vers1Ben norme Lp; par lin´earit´e, il en r´esulte que toute

fonctionB-´etag´ee est limite de fonctions continues pour la norme Lp, d"o`u le r´esultat parce

que les fonctions ´etag´ees sont denses dans L p(par la construction usuelle de l"int´egrale). Corollaire 3.2.2.Lorsque(K;d)est un espace m´etrique compact et1·p <+1, l"espaceLp(K;B;¹)est s´eparable.

Revenons maintenant `a L

p(R), 1·p <+1. Sif2Lp(R), on peut d´ej`a trouver a >0, une fonctiong1nulle en dehors de [¡a;a] et telle quekf¡g1kp< "; en appliquant - 27 - le th´eor`eme qui pr´ec`ede au compact [¡a;a] et `a la mesure de Lebesgue, on trouve une fonctiong2surR, continue sur [¡a;a], nulle en dehors et telle quekg1¡g2kp< ". Si g

2(¡a) =g2(a) = 0, la fonctiong2est continue surRet on a atteint notre objectif.

Sinon, il faut encore une petite approximation pour obtenirg3, continue surR, nulle en dehors de [¡a¡1;a+ 1] et telle quekg3¡g2kp< ". Th´eor`eme 3.2.3.L"espace vectoriel des fonctions continues et `a support compact sur Rest dense dansLp(R)lorsque1·p <+1. Le mˆeme r´esultat est vrai pourRd, pour toutd¸1. Nous appelonsfonction en escalierune fonctionfsurR(ou sur un intervalle deR) qui est combinaison lin´eaire de fonctions indicatrices d"intervalles. On dira quefest `a support born´e si elle est nulle en dehors d"un intervalle born´e. Corollaire 3.2.4.L"espace vectoriel des fonctions en escalier `a support born´e surRest dense dansLp(R)lorsque1·p <+1. D´emonstration.Il suffit de v´erifier qu"on peut approcher, en norme Lp, toute fonction continue `a support compactfsurRpar des fonctions en escalier `a support born´e. C"est tr`es facile en utilisant la continuit´e uniforme def.//

3.3. H¨older et dualit´e des espaces`p

Pourp2[1;+1], on appelleexposant conjugu´edeple nombreq2[1;+1] tel que

1=p+1=q= 1. Cette relation est sym´etrique; on dit que (p;q) est un coupled"exposants

conjugu´es. On notera que si 1< p <+1, cela implique queq(p¡1) =pet de fa¸con sym´etrique,p(q¡1) =q; on pourra aussi noter que (p¡1)(q¡1) = 1. Th´eor`eme 3.3.1 :in´egalit´e de H¨older.Soientp;q2[1;+1]tels que1=p+1=q= 1; si x= (xn)2`pety= (yn)2`q, alors(xnyn)2`1et

¯+1X

n=0x nyn¯¯· kxkpkykq: Sif2Lp(Ω;¹)etg2Lq(Ω;¹), la fonction produitfgest int´egrable et ¯Z fg d¹¯¯· kfkpkgkq: D´emonstration.On ´ecrira la d´emonstration dans le cas des fonctions, o`u les notations sont plus agr´eables. Pour all´eger un peu plus, on ´ecrira simplementRfau lieu deR Ωf(s)d¹(s) chaque fois que possible. Sip=1, alorsq= 1; la fonctionfest (presque-sˆurement) born´ee par M =kfk1etgest int´egrable; le produitfgest mesurable etjfgj ·Mjgj, doncfgest int´egrable et

¯¯¯Z

fg¯¯¯·Z jfgj ·MZ jgj=kfk1kgk1: - 28 - Supposons maintenant 1< p <+1. Pour tous nombres r´eelst;u¸0, on a la relation tu·1 p tp+1 q uq (pour le voir, on pourra maximiser la fonctiont!tu¡tp=p). Il en r´esulte que pour touts2Ω jf(s)g(s)j ·1 p jf(s)jp+1 q jg(s)jq; ce qui montre quefgest int´egrable, et que

¯¯¯Z

fg¯¯¯·1 p Z jfjp+1 q Z jgjq: L"in´egalit´e cherch´ee est positivement homog`ene par rapport `afet `ag, donc il suffit de la d´emontrer lorsquekfkp=kgkq= 1. Mais dans ce cas,Rjfjp= 1 etRjgjq= 1,

donc l"in´egalit´e pr´ec´edente donnejRfgj ·1=p+1=q= 1, ce qui est le r´esultat voulu.

Corollaire 3.3.2.Soientp;q2[1;+1]tels que1=p+ 1=q= 1etx= (xn)2`p; on a kxkp= supf¯¯+1X n=0x nyn¯¯:y= (yn)2`q;kykq·1g:

Sif2Lp(Ω;¹),

kfkp= supf¯¯¯Z fg d¹¯¯¯:kgkq·1g: D´emonstration.L"in´egalit´e de H¨older nous dit d´ej`a que kfkp¸supf¯¯¯Z fg d¹¯¯¯:kgkq·1g; le probl`eme est de montrer l"autre direction. On va voir qu"en fait lemaximumest atteint pour une certaine fonctiong2Lq,kgkq·1, lorsque 1·p <+1. Si

f= 0, le r´esultat est ´evident, on supposera doncf6= 0, et par homog´en´eit´e on peut

se ramener `akfkp= 1. Soitefune "vraie" fonction mesurable de la classef, et d´efinissons une fonction mesurablegsur l"ensemble Ω en posantg(s) =jef(s)jp=ef(s) sur l"ensemble mesurable A =fs2Ω :ef(s)6= 0g, etg(s) = 0 lorsques =2A. Alors jg(s)j=jf(s)jp¡1pour touts2A; pourp >1, on ajgjq=jfjp, doncRjgjq= 1, soit encorekgkq= 1; pourp= 1,g(s) est de module 1 quands2A donckgk1= 1.

D"autre partZ

fg d¹=Z A jf(s)jpd¹(s) =Z jfjpd¹= 1 =kfkp: - 29 - Soitv= (vn)2`q, o`uqest l"exposant conjugu´e dep2[1;+1]. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, on peut d´efinir une forme lin´eaire continuefvsur`pen posant

8u2`p; fv(u) =+1X

n=0u nvn: p. On va maintenant voir que cette isom´etrie est surjective lorsquep <+1. Notons (en)n¸0lasuite canonique(voir l"exemple 1.1.7). Six= (xn) est un ´el´ement de`p, on va v´erifier que la s´erie de vecteursPxkekconverge dans`p, et que sa sommeP+1 k=0est le vecteurx. La somme partielle Un=Pn k=0xkekest le vecteur U n= (x0;x1;:::;xn;0;:::); on voit donc quekx¡Unkpp=P k>njxkjp, reste d"ordre nde la s´erie num´erique convergentePjukjp; il en r´esulte quekx¡Unkptend vers

0 quandn!+1, ce qui signifie pr´ecis´ement quex=P+1

k=0xkek. Soitfune forme lin´eaire continue sur`p, et posonsvk=f(ek) pour toutk¸0; on sait que l"image lin´eaire continue d"une s´erie convergente est la s´erie convergente des images, f(x) =+1X k=0f(xkek) =+1X k=0x kvk; etjf(x)j · kfkkxkp. Si on choisit comme vecteurx=x(n)particulier celui dont les coordonn´ees v´erifientxk=jvkjq=vksivk6= 0, 0·k·netxk= 0 sinon, on obtiendranX k=0jvkjq=f(x(n))· kfkkx(n)kp=kfk³ nX k=0jvkjq´1=p; ce qui montre que

¡Pn

k=0jvkjq¢1¡1=p· kfkpour toutn, donc¡P+1 k=0jvkjq¢1=q· kfk. La suitev= (vn) est donc dans`q, etf=fv.

En d"autres termes,

Th´eor`eme 3.3.4.Si1·p <+1le dual de`ps"identifie `a`q: l"applicationJqqui qsur le dual de`p; de plus,J1d´efinit une bijection isom´etrique de`1sur le dual dec0.

Dans le cas des espaces L

p, l"in´egalit´e de H¨older et son corollaire donnent aussi une isom´etriejqde Lqdans le dual de Lp; nous allons montrer qu"elle est bijective dans certains cas. Pour cette ´etude, nous aurons besoin du th´eor`eme de Radon-Nikodym.

3.4. Th´eor`eme de Radon-Nikodym et dual deLp

Unemesure r´eellesur un espace mesurable (Ω;A) est une application¹:A !R (pas de valeur infinie ici!) qui est¾-additive, c"est `a dire que¹(;) = 0 et¹(S+1 n=0An) =P+1 n=0¹(An) pour toute suite (An) d"´el´ements deux `a deux disjoints deA. Unemesure complexe¹est une application¾-additiveA !C. Dans ce cas A2 A !Re¹(A) est une mesure r´eelle, donc une mesure complexe¹est tout simplement de la forme

¹=¹1+i¹2, o`u¹1et¹2sont deux mesures r´eelles. Un r´esultat moins ´evident, le

th´eor`eme de d´ecomposition de Hahn, dit qu"une mesure r´eelle est la diff´erence de deux

mesures positives born´ees. Si¹est une mesure r´eelle ou complexe, elle est born´ee surA. - 30 - Soit¹une mesure r´eelle ou complexe sur (Ω;A); on d´efinit une nouvelle fonction j¹jsurAen posant pour tout A2 A j¹j(A) = sup©Xj¹(Ak)j: (Ak) disjoints et½Aª: On dit quej¹jest lavariation totalede¹. On peut montrer (exercice) quej¹jest une mesure sur (Ω;A), ´evidemment positive, et de plus cette mesure estfinie. Lemme 3.4.1.Si¹est une mesure positive sur(Ω;A),fune fonction r´eelle¹-int´egrable et siR Af d¹¸0pour toutA2 A, la fonctionfest¸0¹-presque partout. Proposition 3.4.2.Siºest une mesure r´eelle ou complexe sur(Ω;A)et si¹est une mesure positive finie sur(Ω;A)telle que

8A2 A;jº(A)j ·¹(A);

il existe une fonctionfmesurable born´ee, r´eelle ou complexe, telle que

8A2 A; º(A) =Z

A f d¹:

On ajfj ·1¹-presque partout; siºest une mesure r´eelle,fest r´eelle¹-presque partout;

siºest r´eelle positive, on a0·f·1¹-presque partout. D´emonstration.Pour toute fonctionA-´etag´eeg=Pn i=1ci1Aion v´erifie que l"expres- sionPn i=1ciº(Ai) ne d´epend pas de la repr´esentation deg(petit exercice fastidieux); on pose alors `(g) =nX i=1c iº(Ai): On v´erifie que`est une forme lin´eaire sur le sous-espace vectorielEdes fonctionsA- ´etag´ees, et en supposant qu"on avait utilis´e une repr´esentation degpar des ensembles (A i) disjoints, on aura j`(g)j ·nX i=1jcijjº(Ai)j ·nX i=1jcij¹(Ai) =Z jgjd¹·p

¹(Ω)kgkL2(¹):

Cette forme lin´eaire continue sur le sous-espace denseE ½L2(¹) se prolonge `a L2(¹), donc il existe une fonctionf12L2(¹) telle queº(A) =R1A f

1d¹pour tout A2 A.

Posonsf=

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