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Cours 2 : continuité et compacité

Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact

COURS 12 : Fonctions continues (suite)

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a

Compacité

Soit (X d) un espace métrique compact

THEOREMES DANALYSE

12 avr. 2005 Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0 ... f atteint ses bornes : il existe c1

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203. Utilisation de la notion de compacité

29 mai 2010 L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. Notamment toute fonction d'un compact dans R est bornée et atteint ses bornes.

Les fonctions de plusieurs variables (suite)

Soit f : X ? R (avec X compact non vide) continue. Alors : (i) f est bornée sur X. (ii) f atteint ses bornes inférieure et supérieure.

3. Les espaces de Banach classiques 3.1. Espaces de fonctions

continue sur K est bornée (et atteint ses bornes) ce qui permet de définir la L'espace vectoriel des fonctions continues et `a support compact sur.

MAT311 Cours 2 : Continuité et compacité 1

3 mai 2017 Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact

Fonctions continues et uniformement continues

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. 10. 3.2. Théorème du point fixe. 11. 3.3. Sommes de Riemann.

Chapitre 3 - Espaces métriques compacts

Rappelons que toute fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes inférieure et supérieure. Cette propriété implique que f([a b]) 

Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1

La compacité est importante pour nous en particulier parce que les fonctions continues sur les espaces compacts ont des propriétés très fortes Théorème 3 7 Soit (X;d ) un espace métrique compact et f : X ! R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve:

COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr

Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace m´etrique compact `a valeurs dans R est born´ee et atteint ses bornes inf´erieure et sup´erieure Exemple 3 4 3 (Voir TD) Soient A B deux partie compactes de ( Ed )

COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr

COURS 12 : Fonctions continues (suite) Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ab] alors f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée

compact - licence-mathuniv-lyon1fr

1(e) A est compact f est continue et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes 1(f) Un min ou max est atteint soit dans l’int´erieur (en un point critique) ou sur la fronti`ere Ici la premi`ere possibilit´e est exclue pour le min 2(a) On a y 2+y ?1 ? 0d’o`uy ? (1+ ? 5)/2 < 2 Ensuite z est major´e par 3 et

Système itéré de fonctions

Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Autrement dit : si CˆR2un ensemble compact et f: C!R une fonction continue alors il d’une part la fonction est bornée et d’autre part le maximum et le minimum sont atteint en des points de C

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Applications continues sur une partie compacte Image d’une partie compacte par une application continue Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes Théorème de Heine Parties connexes par arcs d’un espace vectoriel normé Chemin continu joignant deux points

Comment montrer qu'une fonction est bornée ?

Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.

Comment montrer que f est bornée et atteint ses bornes ?

Alors f est bornée et atteint ses bornes. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f). Par dénition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn) converge vers M .

Comment montrer qu'un produit est compact ?

Corollaire 3.4. Pour tout n 2 N , et tout a1;:::;an;b1;:::;bn, l'ensemble Q [ai;bi]est un compact de Rnmuni de la distance induite par kk1. Preuve: Chacun des espaces [ai;bi] est compact, et par récurrence on montre facilement à partir de la pro- position précédente qu'un produit ni d'espaces métriques compacts est compact.

Comment montrer qu'un ensemble est compact ?

Preuve: Si A  Rnest tel que (A;d ) soit compact, alors on sait que (A;d ) doit être fermé dans Rn, et borné d'après la proposition précédente. Réciproquement, si A est fermé borné dans Rn, alors il existe M tel que A soit contenu dans [ M;M ]n; on a vu que cet ensemble est compact, et A y est fermé, donc (A;d ) est compact.