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http ://ptetoile.free.fr/ R´esistance des mat´eriaux R ´esistance des Mat´eriauxM´ecanique des structures

1 Le vecteur contrainte

On effecture une coupure plane d"un milieu. Sur tout ´el´ement de surfacedS, la partie ot´ee exer¸cait un effort-→dF(M,-→n).

On d´efinit lar contrainte par :

σ(M,-→n) =-→dF(M,-→n)

dS ?-→σ?est homog`ene `a une pression

1.1 Projection deσ

σ(M,-→n) =σn-→n+-→τ

avec :σnla contrainte normale etτla contrainte de cisaillement.

1.2 Tenseur des contraintes

Si on d´efinit un rep`ere (x,y,z) direct de centre M.-→σ(M,-→n) peut alors se d´efinir par son tenseur˜˜σavec :-→σ(M,-→n) =˜˜σ-→n:

˜σ=0

11σ12σ13

21σ22σ23

31σ32σ331

A

˜σest sym´etrique.

2 Crit`ere de Tresca et de Von mises

Ces deux cirt`eres sont essentiellement utilis´es en traction pure. On connait le tenseur des contraintes :

˜σ=0

e0 0 0 0 0

0 0 01

A avecσela limite ´elastique du mat´eriau

Ces deux cirt`eres donnent des relations sur le vecteur contrainte pour que la limite ´elastique ne soit pas d´epass´ee.

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2.1 D´efinition de la poutre

Un milieu continu curviligne est g´en´er´e par une aire plane Σ non n´ecessairement constante dont le centre de gravit´e

Gd´ecrit la courbe caract´eristiqueC.

Autres conditions `a r´ealiser :

- Le plan (π) contenantσdoit rester perpendiculaire `a-→x - la longueur de l"arcAGdoit ˆetre telle queAG >10 fois la plus grande dimension de Σ - le Rayon de courbue deCest tel queR >10 fois la plus grande dimension deσ - La variation des dimension de Σ est continue. Autre remarque, on n"´etudiera que les poutres dont la courbeCest droite.

3 Principes

3.1 Principe de St-Venant

"Les contraintes et les d´eformations d"une r´egion de la poutre, ´eloign´ee des points d"application des charges, ne

d´ependent que du torseur des charges».

Autrement dit : les principes de la RdM ne s"appliquent que loin de l`a o`u s"exercenet les efforts ext´erieurs.

3.2 Principe de Navier-Bernouilli

Les sections droites et planes de la courbe non d´eform´ee restent droites et planes apr`es d´eformation : toute section

de poutre reste une section de poutre apr`es d´eformation. Autrement dit : on peut appliquer le principe de superposition pour les actions.

4 Petits d´eplacements

Un d´eplacement est la compos´ee d"un translation et d"une rotation. Soit un d´eplacement du pointG→G?

-→u(G) = vecteur d´eplacement =--→GG? -→θ(G) = vecteur rotation du d´eplacement

Torseur des petits d´eplacements :

{U G}= G½ -→θ(G)-→u(G) {U M}= M( -→θ(M) =-→θ(G)-→u(M) =-→u(G) +--→MG?-→θ(G) 2 http ://ptetoile.free.fr/ R´esistance des mat´eriaux

5 Th´eor`emes de Guldin

L"aire engendr´ee par la rotation d"une courbe planeCautour d"un axe Δ est :

S=α×d×Lavec :

-αl"angle de rotation en radians -Lla longueur deC Le volume engendr´e par la rotation d"une surface planeSautour de Δ est :

V=S×α×d

5.1 Moments statiques

A Oy=ZZ z dS=S zG A Oz=ZZ y dS=S yG OG=1 S (AOz-→y+AOy-→z)

5.2 Moments quadratiques

I Oy=ZZ z

2dS IOz=ZZ

y 2dS

5.3 Moment produit

I

Oyz=ZZ

yz dS 3 http ://ptetoile.free.fr/ R´esistance des mat´eriaux

5.4 Moments quadratiques

I O=ZZ (z2+y2)dS=ZZ r 2dS I

O=IOy+IOz

5.5 Th´eor`eme de Huygens

Il permet de passer de l"´ecriture des moments quadratiques polaires en un pointG`a un pointO. I

O=IG+S(yG2+zG2)

5.6 Axes principaux d"inertie d"une section S de centre de gravit´e G

Axes centraux: axes passant parG. Si un des deux axes (-→Y ,-→Z) est axe de sym´etrie de la section (S) alors

I

OY Z= 0 et on les nommeaxes principaux. On dit alors que le rep`ere (G,-→Y ,-→Z) est un rep`ere principal d"inertie.

6 Loi fondamentale des milieux curvilignes

Soit un milieu curviligneABorient´e deAversBet deux pointsM1etM2.

On cherche `a d´efinir une loi donnant les efforts agissant sur le tron¸conM1,M2.M1M2est soumis `a une charge

ext´erieur quelconque-→f. Torseur des efforts int´erieurs auquel est soumisM1M2 {T O}= O(

On montre que :

d --→R(s) dS +--→f(s)) =-→0 d ----→M(O,s) dS +-→x?--→R(s)=-→0

Oest un point quelconque de l"espace,sest l"abscisse curviligne du pointO.-→xest le vecteur unitaire tangent `a la

courbe enO. 4 http ://ptetoile.free.fr/ R´esistance des mat´eriaux

7 Torseur des efforts int´erieurs ou de coh´esion

Une poutreAB´etant en ´equilibre, on r´ealise une coupure orthogonale `a la courbe caract´eristique au pointG(s).

Ayant d´efini une orientation, on appelle conventionnellementS+ la partie `a droite deG, etS-la partie `a gauche.

La poutre ´etant en ´equilibre :

T ext/AB=Text/S-+Text/S-= 0

Pour que le tron¸conS-soit en ´equilibre, il convient d"appliquier enG(s) un torseurT(s) appell´e torseur des efforts

int´erieurs ou de coh´esion qui repr´esente les actions deS+ surS-:

T(s) =TS+/S-

L"´equilibre du tron¸conS-se traduit par :

T

S+/S-+Text/S-= 0 donc :

{T(s)}=©Text/S+ª =-©Text/S-ª

8 Relation entre le tenseur des contraintes et le torseur des efforts

int´erieurs

En tout pointMde la courbe s"exerce un glisseur ´el´ementaire :-→dF=---→σ(M)dSdonc :

R(s)=Z

M?Σ----→G(s)M?--→R(s)dS

D"o`u :

N(s) =Z

11dS Mt(s) =Z

(y σ13-zσ12)dS T y(s) =Z

12dS Mfy(s) =Z

z σ 11dS T z(s) =Z

13dS Mfz(s) =-Z

y σ 11dS

Remarque :

--→GM?-→σ=0 @0 y z1 A ?0 11 12 131
A = (σ13y-σ12z)-→x+σ11z-→y+σ11y-→z

Les axes (G(s),-→y) et (G(s),-→z) sont des axes centraux et principaux d"inertie pour la section droite Σ.

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9 Sollicitations simples

9.1 Traction pure - compression pure

9.1.1 D´efinition

Une poutre est soumise `a de la traction pure si en tout pointG(s) de la courbe caract´eristique, le torseur des efforts

int´erieurs s"´ecrit : {T(s)}=(

9.1.2 Relation d´eplacement-d´eformation

Le torseur de petits d´eplacements s"´ecrit alors : {UG}=( -→0---→u(G) =u-→x

Soient deux pointsGetG1distants dedx. La d´eformation de la poutre est caract´eris´ee par le torseur des

d´eformations :{DG}=8

γ(G) =-→0

--→ε(G) = limdx→0---→ u(G1)----→u(G) dx =du dx -→x. L"allongementεxde la poutre est donn´e paru(b)-u(a) =Z b a xdx

Loi de comportement en traction :εx=σ11

E

9.1.3 Relation effort-contrainte

On a seulementN=ZZ

xxdSdoncσ11=N S .σ11est une contrainte uniform´ement r´epartie sur la surface et normale `a celle-ci.

L"allongement vaut : Δ?=Z

xd? 9.1.4

´Ecarts par rapport `a la r´ealit´e

Dans la vraie vie, il existe un d´eplacement radial Δ r.

Des concentrations de contrainte peuvent ˆetre mises en ´evidence par la photo´elasticim´etrie (atchoum). Ces concen-

trations de contrainte apparaissent lorsque la section varie brusquement.

9.1.5 Condition de r´esistance

La poutre peut r´esister `a la rupture siσ < Rpe(Rpeest la limite ´elastique). En traction pure, le tenseur des

contraintes s"´ecrit :0 @N S 0 0 0 0 0

0 0 01

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