GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
1) Définition d'une suite numérique n = 2n qui définit la suite des nombres pairs. ... Contrairement à une suite définie par une formule explicite ...
Suites 1 Convergence
Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .
Exercice 1. On définit la suite (u n) par u0 = 2 et un+1 = u2 n + 2. 1
Pour quels réels a cette suite est bien définie ? 2. Si (un) converge quelles sont les limites possibles ? 3. Étudier la convergence en fonction du param`etre
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
u2 = 13 u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0.
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
1) Définition. Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Une méthode naturelle est de construire une suite (un) dont on sait calculer les termes et qui converge vers ?. Alors par définition de la convergence
Suites
En déduire limn?+? un limn?+? vnet limn?+? wn. Correction ?. [005230]. Exercice 12 ***. Montrer que les suites définies par la donnée
Corrigé du TD no 11
Pour justifier rigoureusement ce résultat soit ? un nombre réel
Suites : exercices
Exercice 1 : Soit (Un) la suite définie par Un = n2 ?n+1. a) Calculer U0 et U10.
LES SUITES (Partie 2)
LES SUITES (Partie 2). I. Limites et comparaison. 1) Théorèmes de comparaison. Théorème 1 : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ?.
Suites
1 Convergence
Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par
u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.Montrer que un+q=unpour toutn2N.
2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.SoitHn=1+12
++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.
3.Déterminer la limite de Hn.
4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 15.Conclusion ?
On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest
l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:
Exercice 8Posonsu2=112
2et pour tout entiern>3,
u n= 1122 113
2 11n 2
Calculerun. En déduire que l"on a limun=12
Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en
quelques mots la méthode employée. 1.1 ; 12
;13 ;:::;(1)n1n 2.2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::
3.0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::
4. 1n 2+2n2++n1n
2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.1+3+5++(2n1)n+12n+12
7. n+(1)nn(1)n 2 8.2n+1+3n+12
n+3n 9.1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;
q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.
Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16
n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.On considère les deux suites :
u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de
RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au nOn se propose de montrer que(un)tend verspa.
1.Montrer que
u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.En déduire que la suite (un)converge verspa.
4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.Si u1pa6ket pourn>1 montrer que
u npa62pa k2 pa 2n1 6.Application : Calculer
p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.Soientaetbdeux réels,a Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux : regardez lesn constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):
3 1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers
une solution de l"équationf(x) =x. 2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :
u 0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u
n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes. 4.Application.Soit
u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2: Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.
1. Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2
2. Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :
a6a+b2 6beta6pab6b:
3. Montrer que un6vnquel que soitn2N.
(b) Montrer que (vn)est une suite décroissante.
(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite. Soitn>1.
1. Montrer que l"équation
nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3. Montrer que (an)converge vers12
Indication pour
l"exer cice 6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :
1n+16Z
n+1 ndtt 61n
2. La limite est +¥.
4. Calculer un+1un.
5. 2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.
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