GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
1) Définition d'une suite numérique n = 2n qui définit la suite des nombres pairs. ... Contrairement à une suite définie par une formule explicite ...
Suites 1 Convergence
Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .
Exercice 1. On définit la suite (u n) par u0 = 2 et un+1 = u2 n + 2. 1
Pour quels réels a cette suite est bien définie ? 2. Si (un) converge quelles sont les limites possibles ? 3. Étudier la convergence en fonction du param`etre
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
u2 = 13 u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0.
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
1) Définition. Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Une méthode naturelle est de construire une suite (un) dont on sait calculer les termes et qui converge vers ?. Alors par définition de la convergence
Suites
En déduire limn?+? un limn?+? vnet limn?+? wn. Correction ?. [005230]. Exercice 12 ***. Montrer que les suites définies par la donnée
Corrigé du TD no 11
Pour justifier rigoureusement ce résultat soit ? un nombre réel
Suites : exercices
Exercice 1 : Soit (Un) la suite définie par Un = n2 ?n+1. a) Calculer U0 et U10.
LES SUITES (Partie 2)
LES SUITES (Partie 2). I. Limites et comparaison. 1) Théorèmes de comparaison. Théorème 1 : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ?.
1. Montrer que cette suite est bien denie et strictement croissante.
2.Etudier sa convergence.Solution:
1. (un) est bien denie sans probleme et est reelle. On a pour toutn2N,un+1un=u2nun+ 2. Si on
considere le polyn^omeX2X+ 2, son discriminant vaut = 18 =7<0, il ne s'annule donc pas sur des valeurs reelles. Et commeu20u0+ 2>0, alors8n2N;un+1un>0. Donc (un) est bien strictement croissante.2. Si (un) convergeait vers un reel`, alors il verirait`=`2+ 2, equation polyn^omiale en`qui n'admet
pas de solution reelle. Donc (un) diverge, et comme elle est strictement croissante, elle diverge vers +1.Exercice 2.Soita2R. On denit la suite (un) paru0=aetun+1=pu
n+ 1.1. Pour quels reelsacette suite est bien denie?
2. Si (un) converge, quelles sont les limites possibles?
3. Etudier la convergence en fonction du parametrea.Solution:1. (un) est bien denie si8n;un+10, c'est a dire siun 1. Pour tout choix deu02[1;+1[, on aura
alors8n1;un0 (recurrence immediate), et donc la suite sera bien denie. On peut donc choisir les reelsa 1. (Remarque : si on choisit de ne pas prolonger la fonctionpen 0, alors ca sera lesa >1.)2. Si (un) convergeait vers un reel`, alors il verirait`=p`+ 1 c'est a dire`2`1 = 0, soit`=1p5
2 Mais a partir du rang 1,un0 quelque soita, donc la seule limite possible est`=1 +p5 23.un+1un=unun1p1 +un+p1 +un1doncun+1unest du signe deunun1.
| Sia=`, alors suite constante. | Sia < `, alorsu1u00, donc (un) est croissante et majoree par`donc converge vers`.| Sia > `, alorsu1u00, donc (un) est decroissante et minoree par`donc converge vers`.Exercice 3.On considere la fonctionfdenie surRn f1gparf(x) =21 +x. On considere la suite denie
paru0= 2,un+1=f(un).1. Montrer que l'intervalle12
;2 est stable parf.2. En deduire que la suite (un) est bien denie et determiner les limites potentielles.
3. Que dire des sens de variations des sous-suitesu2netu2n+1?
4. Montrer que pour tout entier natureln, on ajun+11j 23
jun1j.5. La suite (un) converge-t-elle?Solution:
1.fest continue et derivable sur12
;2 etf0(x) =2(1 +x)20 doncfest decroissante sur cet intervalle et f(12 ) =432 etf(2) =23
12 donc l'intervalle12 ;2 est stable parf. 12.u0212
;2 donc (un) est bien denie, et si elle convergeait vers une limite`, on auraitf(`) =`=21 +` soit`=132 . La seule limite possible est celle dans l'intervalle12 ;2 , donc la seul limite possible est `= 1.3. On posevn=u2netwn=u2n+1, et on noteg=ff.
Alorsvn+1=u2n+2=g(u2n). Commeflaisse stable12
;2 ,gaussi, et commefest decroissante, alors gest croissante sur cet intervalle.On av1v0=u2u0=65
20 donc (vn) est decroissante. Et commewn=f(vn), alors (wn) est
croissante.4. On ajun+11j=j21unjj+ 1 +unj=jun1jjun+ 1j. Comme8n;un12
, alorsjun+1j 32 d'ou l'inegalite desiree. Remarque : on peut aussi utiliser l'inegalite des accroissements nis et le max dejf0jsur12 ;2 pour obtenir l'inegalitejun+11j 89 jun1j.5. Commejun+11j 23
nju01jqui tend vers 0, alors (un) converge bien vers 1.Exercice 4.Etudier la suite (un)n2N, telle queu02Cet pour toutn2N,
u n+1=15 (3un2u n)Solution: La suite (un)n2Nest une suite a valeurs complexes. Pour toutn2Nposonsun=xn+iyn, ouxn=<(un) et y n==(un).La relation de recurrence implique que
x n+1=3xn2xn5 =xn5 etyn+1=3yn+ 2yn5 =yn On en deduit que la suite (xn)n2Nconverge vers 0 et que la suite (yn)n2Nest constante egale ay0.Par suite, la suite (un)n2Nconverge versiy0=i=(u0).Exercice 5.Soienta;b2Raveca6= 1 et (un)n2Nla suite denie par la relation de recurrenceun+1=aun+b.
1. Quelle est la seule limite possiblelde la suite (un)n2N?
2. Soitvn=unl. Montrer que la suite (vn)n2Nest une suite geometrique, et en deduire la nature de la
suite (un)n2Nselon les valeurs dea.3. Application : on considere un carre de c^ote 1. On le partage en 9 carres egaux, et on colorie le carre
central. Puis, pour chaque carre non-colorie, on reitere le procede. On noteunl'aire coloriee apres l'etape
n. Quelle est la limite de la suite (un)n2N?Solution:1. Si la suite (un)n2Nadmet une limitel, celle-ci doit verierl=al+b, soit encore
l=b1a 22. On ecrit la relation de recurrence veriee parvn=unl:
v n+1=un+1l=aun+bl=a(vn+l) +bl=avn+l(a1) +b=avn La suite (vn)n2Nest une suite geometrique de raisona.Sijaj>1, on a 2 cas :
- siv0= 0, la suite (vn)n2Nest constante egale a 0 et alors la suite (un)n2Nest constante egale al - sinon, la suite (jvnj)n2Ntend vers +1et la suite (junj)n2Ntend aussi vers +1donc la suite (un)n2N est divergente. Sijaj<1, la suite (vn)n2Nconverge vers 0 et donc la suite (un)n2Nconverge versl. Sia=1, la suite (vn)n2Noscille entre deux valeurs suivant quenest pair ou impair et la suite (un)n2N aussi.3. On noteunla surface coloriee a l'etapen.
La partie coloriee a la (n+ 1)-ieme etape correspond a la partie coloriee a lan-ieme etape plus19 -ieme de la partie non coloriee a lan-ieme etape. Autrement dit : u n+1=un+(1un)9 =8un9 +19 En appliquant le resultat de la question 2), la suite (un)n2Nconverge vers la valeur1=918=9= 1.L'aire de la surface coloriee converge vers l'aire du carre initial.Exercice 6.SoitN2 un entier. On cherche une approximation depN.
1. Appliquer la methode de Newton a la fonctionf(x) =x2N. Comment est denie la suite recurrente
obtenue?2. Quels sont les points de depart pour lesquels la methode de Newton donne une suite qui converge
eectivement verspN.3. Soit (un) une telle suite. On suppose quepN < u
0 0< un+1pN(unpN)2. On dit que la convergence est quadratique.
4. Et pour approximerN1k
, aveckun entier?Solution: 1. On cherche a approximer un zero def. On notegla fonction denie parx7!xf(x)f
0(x), soitg(x) =x2+N2x
denie surR. La suite recurrente denie paru02Ret pour toutn,un+1=g(un) =un2 +N2unne pourra converger que verspN, les points xes deg. 2. On regarde les points ougest contractante. Pour toutx2R,gest derivable etg0(x) =12
N2x2, donc
1< g0(x)<1 ssijxj>jrN
3 j. Doncgest contractante surI=# rN 3 ;+1" (comme pour toutn,un est du signe deu0, on ne s'interesse qu'auxu0>0). EtIest stable parg. Donc pour toutu02I, la suite (un) converge. Or siu02#
0;rN 3 alors on aurau12I, avec le m^eme raisonnement a partir du rang 1, on a bien que pour toutu02]0;+1[, la suite (un) converge. 3 3.un+1pN=u2n+N2unpN=
u npN 22un.
Comme pour toutn,un2I, alorsun>12
, donc on a bien l'inegalite demandee. 4. On cherche les zeros def(x) =xkN, c'est a dire les points xes deg(x) =(k1)xk+Nkx
k1.Exercice 7(Pour aller plus loin : Suites recurrentes lineaires d'ordre 2).Pour chacune des recurrences ci-
dessous, trouver une base de l'ensemble des solutions et donner l'expression du terme general de la suite qui
verie cette recurrence etu0= 1,u1= 0. On pourra s'aider des methodes exposees dans le devoir. 1: un+23un+1+ 2un= 0:2: un+22un+1+un= 0:3: un+24un+1+ 8un= 0:Solution:
1. Le polyn^ome caracteristiqueX23X+ 2 a pour discriminant = 98 = 1, donc ses racines sont312
= 2 ou 1. Une base des solutions seraf(1)n;(2n)ng. Une solution particuliere sera de la forme u n=2n+avec;2R. Si elle verieu0= 1 =+etu1= 0 = 2+, alors on aura =1;et= 2, soitun=2n+ 2. 2. Le polyn^ome caracteristiqueX22X+ 1 a pour discriminant = 44 = 0 et une seule racine double
1. Une base des solutions seraf(1n)n;(n1n)ng, donc les solution seront de la formeun=+navec
;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =, soit pout toutn,un= 1n. 3. Le polyn^ome caracteristiqueX24X+ 8 a pour discriminant = 1632 =16 et a pour racines
complexes 22i=rei, avec r=p2 2+ 22= 2p2 et= arccos2r
= arccos p2 2 4 Une base de solutions reelles sera
n 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 o , soit les solutions seront de la formeun= 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 avec;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =.4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
0< un+1pN(unpN)2. On dit que la convergence est quadratique.
4. Et pour approximerN1k
, aveckun entier?Solution:1. On cherche a approximer un zero def. On notegla fonction denie parx7!xf(x)f
0(x), soitg(x) =x2+N2x
denie surR. La suite recurrente denie paru02Ret pour toutn,un+1=g(un) =un2 +N2unne pourra converger que verspN, les points xes deg.2. On regarde les points ougest contractante. Pour toutx2R,gest derivable etg0(x) =12
N2x2, donc
1< g0(x)<1 ssijxj>jrN
3 j. Doncgest contractante surI=# rN 3 ;+1" (comme pour toutn,un est du signe deu0, on ne s'interesse qu'auxu0>0). EtIest stable parg. Donc pour toutu02I, la suite (un) converge.Or siu02#
0;rN 3 alors on aurau12I, avec le m^eme raisonnement a partir du rang 1, on a bien que pour toutu02]0;+1[, la suite (un) converge. 33.un+1pN=u2n+N2unpN=
u npN 22un.Comme pour toutn,un2I, alorsun>12
, donc on a bien l'inegalite demandee.4. On cherche les zeros def(x) =xkN, c'est a dire les points xes deg(x) =(k1)xk+Nkx
k1.Exercice 7(Pour aller plus loin : Suites recurrentes lineaires d'ordre 2).Pour chacune des recurrences ci-
dessous, trouver une base de l'ensemble des solutions et donner l'expression du terme general de la suite qui
verie cette recurrence etu0= 1,u1= 0. On pourra s'aider des methodes exposees dans le devoir.1: un+23un+1+ 2un= 0:2: un+22un+1+un= 0:3: un+24un+1+ 8un= 0:Solution:
1. Le polyn^ome caracteristiqueX23X+ 2 a pour discriminant = 98 = 1, donc ses racines sont312
= 2 ou 1. Une base des solutions seraf(1)n;(2n)ng. Une solution particuliere sera de la forme u n=2n+avec;2R. Si elle verieu0= 1 =+etu1= 0 = 2+, alors on aura =1;et= 2, soitun=2n+ 2.2. Le polyn^ome caracteristiqueX22X+ 1 a pour discriminant = 44 = 0 et une seule racine double
1. Une base des solutions seraf(1n)n;(n1n)ng, donc les solution seront de la formeun=+navec
;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =, soit pout toutn,un= 1n.3. Le polyn^ome caracteristiqueX24X+ 8 a pour discriminant = 1632 =16 et a pour racines
complexes 22i=rei, avec r=p22+ 22= 2p2 et= arccos2r
= arccos p2 2 4Une base de solutions reelles sera
n 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 o , soit les solutions seront de la formeun= 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 avec;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =.4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] La supercificie de la Terre est environ de 5,1 x 10 puissance 8 km²
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