[PDF] Suites En déduire limn?+? un





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GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES

1) Définition d'une suite numérique n = 2n qui définit la suite des nombres pairs. ... Contrairement à une suite définie par une formule explicite ...



Suites 1 Convergence

Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .



Exercice 1. On définit la suite (u n) par u0 = 2 et un+1 = u2 n + 2. 1

Pour quels réels a cette suite est bien définie ? 2. Si (un) converge quelles sont les limites possibles ? 3. Étudier la convergence en fonction du param`etre 



SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

u2 = 13 u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0.



Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence

1) Définition. Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à 



Chapitre 1 Suites réelles et complexes

Une méthode naturelle est de construire une suite (un) dont on sait calculer les termes et qui converge vers ?. Alors par définition de la convergence



Suites

En déduire limn?+? un limn?+? vnet limn?+? wn. Correction ?. [005230]. Exercice 12 ***. Montrer que les suites définies par la donnée 



Corrigé du TD no 11

Pour justifier rigoureusement ce résultat soit ? un nombre réel



Suites : exercices

Exercice 1 : Soit (Un) la suite définie par Un = n2 ?n+1. a) Calculer U0 et U10.



LES SUITES (Partie 2)

LES SUITES (Partie 2). I. Limites et comparaison. 1) Théorèmes de comparaison. Théorème 1 : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ?.

Exo7

Suites

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1***ITSoient(un)n2Nune suite réelle et(vn)n2Nla suite définie par :8n2N;vn=u0+u1+:::+unn+1.

1.

Montrer que si la suite (un)n2Nvers un réel`, la suite(vn)n2Nconverge et a pour limite`. Réciproque ?

2. Montrer que si la suite (un)n2Nest bornée, la suite(vn)n2Nest bornée. Réciproque ? 3. Montrer que si la suite (un)n2Nest croissante alors la suite(vn)n2Nl"est aussi. alors la suite(un)n2Nconverge. (série harmonique). 1. Montrer que : 8n2N;ln(n+1)0un+1. n!+¥ånk=111

2+22+:::+k2.

u n+1=un+vn2 etvn+1=pu n+1vn. Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(ab ))arccos(ab 1 1. sinnn 2. 1+1n n, 3. n!n n, 4.

E((n+12

)2)E ((n12 )2)), 5. npn 2, 6. pn+1pn, 7.

ånk=1k2n

3, 8.

Õnk=12k=22k.

pn+un.

1.8n2N;un+1=un32un,

2.8n2N;un+1=4(un1)u

n(ne pas se poser de questions d"existence). u n+1=2un+vn3 etvn+1=un+2vn3

Etudier les suitesuetvpuis déterminerunetvnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires

intéressantes deuetv. En déduire limn!+¥unet limn!+¥vn. u n+1=vn+wn2 ;vn+1=un+wn2 etwn+1=un+vn2 Etudier les suitesu,vetwpuis déterminerun,vnetwnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires intéressantes deu,vetw. En déduire limn!+¥un, limn!+¥vnet limn!+¥wn.

Exercice 12***Montrer que les suites définies par la donnée deu0,v0etw0réels tels que 0 récurrence : 3u n+1=1u n+1v n+1w netvn+1=3pu nvnwnetwn+1=un+vn+wn3 ont une limite commune que l"on ne cherchera pas à déterminer. n)converge vers un

réel positifl. Montrer que si 06` <1, la suite(un)converge vers 0 et si` >1, la suite(vn)tend vers+¥.

Montrer que si`=1, tout est possible.

n)converge vers un réel`, alors npu n)converge et a même limite. 2.

Etudier la réciproque.

3.

Application : limites de

(a) npC n2n, (b) nn pn!, (c) 1n

2nq(3n)!n!.

vers 1. netvn=1+1n n+1.

Etudier les deux suitesun=

ånk=11pk

2pn+1 etvn=

ånk=11pk

2pn. 3 Exercice 20**TDéterminerunen fonction denet de ses premiers termes dans chacun des cas suivants :

1.8n2N;4un+2=4un+1+3un.

2.8n2N;4un+2=un.

3.8n2N;4un+2=4un+1+3un+12.

4.8n2N;2u

n+2=1u n+11u n.

5.8n>2;un=3un12un2+n3.

6.8n2N;un+36un+2+11un+16un=0.

7.8n2N;un+42un+3+2un+22un+1+un=n5.

n. Montrer que limn!+¥(unpn) =12 cos p2 n=12 q2+p2+:::+p2 (n1 radicaux) et sinp2 n=12 q2p2+:::+p2 (n1 radicaux).

En déduire lim

n!+¥2nq2p2+:::+p2 (nradicaux). 2.

Montrer que

Õnk=11+1k

kMontrer que si a2pest rationnel, les suitesuetvsont périodiques et montrer dans ce cas que(un)et(vn) convergent si et seulement sia22pZ. 2.

On suppose dans cette question que

a2pest irrationnel . (a) Montrer que (un)converge si et seulement si(vn)converge . (b)

En utilisant dif férentesformules de trigonométrie fournissant des relations entre unetvn, montrer

par l"absurde que(un)et(vn)divergent. 3.

On suppose toujours que

a2pest irrationnel. On veut montrer que l"ensemble des valeurs de la suite(un) (ou(vn)) est dense dans[1;1], c"est-à-dire que8x2[1;1];8e>0;9n2N=junxj0 pour en déduire quea2p2Q). (c)

Conclure.

a2]0;p[(supn2N(jsin(na)j)). . Montrer que(un)converge vers 12 Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0. Il existe un rangn0tel que, sin>n0alorsjun`j1n+1nå k=0u k`

1n+1nå

k=0(uk`) 6

1n+1nå

k=0juk`j=1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1juk`j 6 1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1e2

61n+1n

0å k=0juk`j+1n+1nå k=0e2 1n+1n 0å k=0juk`j+e2

Maintenant,

ån0k=0juk`jest une expression constante quandnvarie et donc, limn!+¥1n+1ån0k=0juk`j=

0. Par suite, il existe un entiern1>n0tel que pourn>n1,1n+1ån0k=0juk`j . Pourn>n1, on a alors jvn`j0;9n12N=(8n2N)(n>n1) jvn`jSi la suiteuconverge vers`alors la suitevconverge vers`.La réciproque est fausse. PourndansN, posonsun= (1)n. La suite(un)est divergente. D"autre part,

pourndansN,ånk=0(1)kvaut 0 ou 1 suivant la parité denet donc, dans tous les cas,jvnj61n+1. Par suite, la suite(vn)converge et limn!+¥vn=0. 2.

Si uest bornée, il existe un réelMtel que, pour tout natureln,junj6M. Pournentier naturel donné, on

a alors jvnj61n+1nå k=0jukj61n+1nå k=0M=1n+1(n+1)M=M:

La suitevest donc bornée.

Si la suiteuest bornée alors la suitevest bornée.Laréciproqueestfausse. Soitulasuitedéfiniepar:8n2N;un=(1)nEn2

=psin=2p;p2N psin=2p+1;p2N.

un"est pas bornée car la suite extraite(u2p)tend vers+¥quandptend vers+¥. Mais, sinest impair,

v n=0, et sinest pair,vn=1n+1un=n2(n+1), et dans tous les casjvnj61n+1n2

61n+1n+12

=12 et la suite vest bornée. 3. Si uest croissante, pournentier naturel donné on a : v n+1vn=1n+2n+1å k=0u k1n+1nå k=0u k=1(n+1)(n+2) (n+1)n+1å k=0u k(n+2)nå k=0u k!

1(n+1)(n+2)

(n+1)un+1nå k=0u k!

1(n+1)(n+2)nå

k=0(un+1uk)>0:

La suitevest donc croissante.

6

Si la suiteuest croissante alors la suitevest croissante.Correction del"exer cice2 NSupposons sans perte de généralitéucroissante (quite à remplaceruparu). Dans ce cas, ou bienuconverge,

ou bienutend vers+¥. Supposons queutende vers+¥, et montrons qu"il en est de même pour la suitev. Soit

A2R. Il existe un rangn0tel que pour n naturel supérieur ou égal àn0,un>2A. Pourn>n0+1, on a alors,

v n=1n+1 n0å k=0uquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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