´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs PDF

Fonctions à deux variables

25 janv. 2012 La représentation graphique d'une fonction à deux variables dans un repère. (O i

Fonctions de 2 ou 3 variables

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES. ´ Pour représenter graphiquement une fonction de une variable on peut.

1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables

3)Représentation graphique et détermination des régions qui constituent. Df en utilisant des points particuliers situés dans les régions. Exemple 2 f(x y) = ?.

Fonctions de plusieurs variables

Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'étudier les fonctions d'une variable : – domaine de définition;. – représentation graphique (graphe);. –

Fonctions de deux variables

Pour une fonction dérivable f d'une variable on se rappelle que l'approximation linéaire au point a est la fonction dont le graphe est la tangente

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 7. Ainsi pour tracer le graphe d'une fonction d'une variable nous avons rajouté.

Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur

On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base. 1.1.3 Représentation graphique d'une fonction à deux variables.

Les fonctions

Placer un point libre sur la représentation graphique d'une fonction définie par morceaux à GeoGebra permet de définir des fonctions de deux variables.

Chapitre 12 - Fonctions de deux variables

12.1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. Pour toute la suite nous considèrerons la fonction de deux variables f définie par :.

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Figure 1.3 – Représentation graphique de z = xye-0.5(x2+y2). 1.2.2 Comment représenter le graphe d'une fonction de deux variables. Nous savons faire des dessins

Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel

La représentation graphique d'une fonction f de R2 vers R est l'ensemble des points de cet espace de coordonnées (x;y;z) tels que : z= f(x;y) Cette représentation graphique est une surface dans l'espace Exemples : Si f(x;y) = p 1 x2 y2 la surface représentative de la fonction f est la demi-sphère de centre (0;0) et de rayon 1 avec z 0

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Dé?nition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de dé?nition de la fonction f Exemples : La fonction f :(xy)7?x3+2x2y+xy3?4y2 est une fonction à deux variables dé?nie

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur

Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d’une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-

Fonctions de deux variables - unicefr

Les courbes de niveau d’une fonction f de deux variables sont les lieux ou` f est constante il y en a une par valeur prise : Niv c:= {M ? R2f(M) = c} Exemple Pour f := (xy) 7?x2 +y2 et c positif la courbe de niveau c est le cercle de rayon ? c centr´e en l’origine

Searches related to fonction de deux variables représentation graphique PDF

Pour obtenir la représentation graphique d’une fonction à deux variables on se place dans l’espace muni d’un repère (Oi jk) La représentation de f est alors l’ensemble des points (xyf(xy)) lorsque (xy)? 2 C’est une surface de 2 dont une équation est donnée par z f(xy)=

Comment définir une fonction à deux variables ?

Une fonction à deux variables est une application f : D ? R, où D est une sous-ensemble du plan R2appelé domaine de dé?nition de la fonction f. Exemples : La fonction f :(x,y)7?x3+2x2y+xy3?4y2est une fonction à deux variables dé?nie sur R2tout entier. La fonction g :(x,y)7?ln(x+y ? 1)est une fonction dé?nie sur l’ensemble des couples ...

Comment calculer la différentielle au point d’une application à deux variables f ?

La di?érentielle au point (x,y)d’une application à deux variables f est l’expression dfx,y = ?f ?x (x,y)dx + ?f ?y (x,y)dy. Les dx, dy et df de l’expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.

Comment déterminer la fonction d’une variable ?

Appelons donc ?j, la fonction d’une variable dé?nie par : ?j: t7??f(a+tej). ?jest dérivable en a(car fest de classe C1dans un voisinage de a), et puisque aest un extremum local pour la fonction f, il en est un aussi pour la fonction ?jet on en déduit que ?0 j(a) = 0, autrement dit : ?f ?xj (a) = 0. 5.2 Caractérisation des points critiques

Quels sont les concepts fondamentaux de l’analyse des fonctions de plusieurs variables ?

Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable.

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

MATH

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi

´erentielles.

G.Ch `eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2

R`egledujeu

Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi

´erentielles.

Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

i iiR`egledujeu

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.3Di

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

ne,Calculd'incertitude37

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

iii ivTABLEDESMATI ERES II

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

1.1.1

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.1

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

cientscons tants95

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses

1.1D´efinit ion

L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.

Celasenote delaman i`eresuivant e:

f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x

1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5

6Fonctionsdeplusieursvariables

Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)

1.Donner l'imagede (e,0).

2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.

Solution:

1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.

L'imagede(e,0)par fest1.

2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R

sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.

1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde

deuxvari ables

1.2.1D´efini tion

Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.

D´efinition2.Soit

f:D#$R x%#$f(x)

Legra pheC

f def(fonctiond'uneseule variable)estl'ensemble despointsduplan deco ordonn´ees(x;f(x))avecx&D.

Celasenote :

C f ={(x,y)&R 2 |y=f(x),x&D}

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les7

Ainsipourtrac erlegraphed'un efonctiond'unevariab lenousavons rajout´e unenouvelle variabley.Legrap heestalorsunecourb edansleplan R 2 Pourlesfonct ionsded euxvariablesxetynousallonsaus sirajouterunevariablez etlegra ph eseraalorsunesurfac edel'espaceR 3

D´efinition3.Soit

f:D#$R (x,y)%#$f(x,y)

Legra pheS

f def(fonctiondedeuxvariables) estl'en sembledespoin tsdel'espace deco ordonn´ees(x;y;f(x,y))avec(x,y)&D.

Celasenote :

S f ={(x,y,z)&R 3 |z=f(x,y),(x,y)&D}

Remarque:

S f estunes urfacedan sR 3 Ach aquepoint(x,y)&DcorrespondunpointsurlasurfaceS f .Vo icicomment onplac elespointsdans unrep` ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y))

Figure1.1-Utilis atio nd'unrep`ere`a3dimensio ns.

Afindevous familiar iseraveclesgra phesdesfonctionsdedeuxva riablesvoici quelquesexemples.

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les9

Remarque:Cesdeuxderniersp lan snesontpa sdesrepr´ese ntationsgraphiq ues d'unefonctiond edeuxvariables(x,y).Ene !etnous nepouvonspas fairec orres- pondreunpointde(xOy)av ecunseulpoint decesp lans.

Exercice2.Soit

f:R 2 #$R (x,y)%#$x 2 +y 2

1.D´ eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanxOzdeS

f {y=k} pourk=1;2;puispourk&R.

2.E stcequeS

f {y=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?

3.D ´eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanyOzdeS

f {x=0}.

4.Est cequeS

f {x=0}estle graphed'unef onctiond'une variable?Sioui, laquelle?

5.D ´etermineretnommerlaprojectiondansle planxOydeS

f {z=k}pour k=1;2;0;#1puispourk&R

6.Est cequeS

f {z=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?

7.E nd´eduir elarepr´esentationgraphiquedef.

Solution:

1.-S f {y=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,y=1}. S f {y=1}={(x,1,z)&R 3 |z=x 2 +1 2

Laproj ectiondansleplanxOzdeS

fquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] différentiabilité d'une fonction deux variables

[PDF] limite d'une fonction ? deux variables

[PDF] dérivée d'une fonction ? plusieurs variables

[PDF] fonctions ? plusieurs variables exercices corrigés

[PDF] faire une étude de marché gratuite

[PDF] exemple d'étude de marché pdf

[PDF] faire une étude de marché pour créer son entreprise

[PDF] étude de marché gratuite en ligne

[PDF] etude de marché d'un projet exemple

[PDF] importance de la fonction achat dans l'entreprise

[PDF] historique de la fonction achat

[PDF] le processus d'achat pdf

[PDF] le processus achat

[PDF] installation sanitaire

[PDF] support d'installation windows 10

[PDF] ´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Comment définir une fonction à deux variables ?

Comment calculer la différentielle au point d’une application à deux variables f ?

Comment déterminer la fonction d’une variable ?

Quels sont les concepts fondamentaux de l’analyse des fonctions de plusieurs variables ?

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

´erentielles.

G.Ch `eze

R`egledujeu

´erentielles.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables