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Fonctions à deux variables

PTSI B Lycée Eiffel

5 juillet 2013

Il faut avoir beaucoup étudié pour savoir peu.

Montesquieu.

Étudie, non pour savoir plus, mais pour savoir mieux.

Sénèque.

Il n"y a pas de problèmes, il n"y a que des professeurs.

Jacques Prévert.

Introduction

Pour ce dernier chapître de l"année, nous allons faire un rapide survol des techniques d"étude et de

calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous approfondirez l"an prochain. Au programme,

des choses que vous avez pour la plupart déjà croisées en physique ou en SII : calcul de dérivées

partielles, calus d"intégrales doubles, et un tout petit peu de champs de vecteurs.

Objectifs du chapitre :

•savoir calculer des dérivées partielles et déterminer des points critiques.

•comprendre l"intérêt des intégrales doubles et de la formule de Green-Riemann pour le calcul

d"aires.

1 Continuité, dérivées partielles

1.1 Aspect graphique

Définition 1.Unefonction à deux variablesest une applicationf:D →R, oùDest une sous-ensemble du planR2appelédomaine de définitionde la fonctionf. 1 Exemples :La fonctionf: (x,y)?→x3+2x2y+xy3-4y2est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonctiong: (x,y)?→ln(x+y-1)est une fonction définie sur l"ensemble des

couples(x,y)vérifiantx+y-1>0, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la

droite d"équationy= 1-x. La fonctionh: (x,y)?→?

4-x2-y2est définie à l"intérieur du cercle

de centreOet de rayon2.

Définition 2.Lasurface représentatived"une fonction à deux variables dans un repère(O,?i,?j,?k)

de l"espace est l"ensemble des pointsM(x,y,z)vérifiantz=f(x,y).

Remarque1.Une fonction à deux variables n"est donc pas représentée parune courbe. Il est très

difficile en général de visualiser ce genre de représentations graphiques, c"est pourquoi on en est

souvent réduit à étudier les coupes de la surface par des plans simples. Définition 3.Soitkun réel etfune fonction de deux variables, laligne de niveaukde la fonction fest l"ensemble des couples(x,y)vérifiantf(x,y) =k.

Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative defpar le plan " horizontal »

d"équationz=k. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une

fonction à une variable.

Exemple :Considérons la fonctionf(x,y) =x2+y2, sa ligne de niveaukest définie par l"équation

x

2+y2=k. Il s"agit donc du cercle de centreOet de rayon⎷

kquandkest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourkentier compris entre-1

et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative

def.

Définition 4.Soitf: (x,y)?→f(x,y)à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont

les deux fonctions à une variablefx:x?→f(x,y)etfy:y?→f(x,y).

Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonctionf

elle-même, seul le statut dexet deychange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles est désormais

fixée (sa valeur dépend du point(x,y)en lequel on regarde les applications partielles). Par exemple,

sif(x,y) =x2-3xy+y3, on dira que l"application partielle obtenue en fixanty= 1est la fonction

d"une variablex?→x2-3x+1(on a poséy= 1dans l"équation def), ou que l"application partielle

obtenue en fixantx= 2est la fonctiony?→4-6y+y3. Tracer les représentations graphiques de

ces applications partielles revient à tracer la coupe de la surface représentative defpar les plans

d"équation respectivey= 1etx= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).

Remarque4.Les courbes des applications partielles et les lignes de niveau permettent de reconstituer

l"intégralité de la surface. Reprenons notre fonctionf: (x,y)?→x2+y2. On a déjà vu que ses lignes

de niveau étaient des cercles. Les applications partiellessont toutes représentées par des paraboles.

En particulier, à l"origine, elles ont pour équationx?→x2ety?→y2(donc les courbes en sont

identiques). D"où l"allure globale de la surface, appelée paraboloïde de révolution car elle est obtenue

en faisant " tourner » une parabole autour de l"axe(Oz), premier exemple du paragraphe suivant. 2

1.2 Exemples de surfaces

Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.

-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 4

1.3 ContinuitéDéfinition 5.Une fonctionf:Df→R2admet en un pointM(a,b)unelimite finiel?Rsi

?ε >0,?η >0,0remplaçant les valeurs absolues par des normes. De fait, la valeur absolue est bien la distance associée

au produit scalaire usuel surR. On peut très facilement généraliser cette notion de continuité à des

fonctions ànvariables, pour tout entier naturelnnon nul. Définition 6.Uneboule ouvertede centre(a,b)et de rayonr >0dansR2est l"ensemble B={(x,y)?R2| ?(x,y)-(a,b)?< r}. Un sous-ensembleUdeR2est unouvertsi?(x,y)?U, il existe un rayonr >0tel que la boule ouverte de centre(x,y)et de rayonrsoit entièrement incluse dansU. Unvoisinagede(x,y)?R2est un ouvert deR2contenant(x,y). Remarque6.Un ouvert deR2est donc voisinage de chacun de ses points, c"est-à-dire qu"il contient une boule ouverte autour de chaque point. Intuitivement, unouvert est un ensemble qui n"a pas de

" bord ». Nous ne rentrerons pas plus dans les détails de la passionnante branche des mathématiques

qui s"appelle la topologie. Sachez simplement que les ouverts sont les ensembles sur lesquels il est le

plus facile d"étudier des fonctions à plusieurs variables,et qu"on supposera ainsi la plupart du temps

que nos fonctions sont définies sur des ouverts, sans plus de précision. Proposition 1.Sif(x,y)?k?(x,y)?sur un voisinage de l"origine, alorslim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.

Démonstration.Il suffit de prendreη=ε

kdans la définition de la limite. Notons qu"il suffit que

nos inégalités soient valables sur un voisinage de l"origine, puisqu"elle le seront alors sur une boule

ouverte de rayonrcentrée en l"origine; si jamaisηfait déborder nos valeurs de cette boule ouverte,

on prendrà la place deηet la définition restera vérifiée.

Exemple :Soitf: (x,y)?→xy2x2+y2. La limite de cette fonction à l"origine n"a rien d"évident a

priori, mais devient plus simple après un passage en coordonnées polaire, en utilisant la propriété

précédente :f(ρ,θ) =ρcos(θ)×ρ2sin2(θ) ρ2=ρcos(θ)sin2(θ). En particulier,|f(x,y)|?ρ=?(x,y)?, ce qui prouve quelim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.

Remarque7.À l"aide des définitions données plus haut, on peut donner unedéfinition plus simple

mais plus technique de la limite :lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =lsi pour tout voisinageIdel(dansR, donc tout intervalle ouvert contenantl), il existe un voisinageVde(a,b)tel quef(V)?I. On peut en

fait pousser les choses beaucoup plus loin : en définissant les ouverts deRde la même façon que ceux

deR2(voisinages de chacun de leurs points), une fonctionf:R2→Rest continue (partout) si et seulement si l"image réciproque de tout ouvert deRparfest un ouvert deR2.

Théorème 1.Tout fonction à deux variables obtenue comme somme produit,quotient ou composée

de fonctions continues est continue sur son ensemble de définition.

Démonstration.Comme dans le cas des fonctions à une variable, c"est très long et complètement

inintéressant, nous admettons ce résultat. Théorème 2.Caractérisation séquentielle de la limite.

lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =l?pour toutes suites de réels(xn)et(yn)convergeant respectivement versaet

b,limn→+∞f(xn,yn) =l.

Démonstration.La démonstration est la même que dans le cas de fonctions à unevariable (en un

peu plus technique), on admet aussi. 5 Exemple :Comme dans le cas des fonctions à une variable, on se sert surtout de la contraposée de la première implication : si on peut trouver deux couples de suites(xn,yn)et(x?n,y?n)ayant

les mêmes limites mais pour lesquelleslimn→+∞f(xn,yn)?= limn→+∞f(x?n,y?n), alorsfne peut pas être

continue au point considéré. Ainsi, sif(x,y) =x+y ?x2+y2, on constate aisément quef?1n,-1n? = 0 maisf?1 n,1n? =2 n⎷2 n=⎷

2, ce qui empêche la fonction d"avoir une limite en l"origine.

Proposition 2.Sifest continue en un point(a,b), ses deux applications partielles sont continues respectivement enbet ena. Démonstration.C"est évident en constatant que|x-a|??(x,y)-(a,b)?(et de même poury), on peut prendre la même valeur deηpour les deux définitions de la continuité. Remarque8.La réciproque de ce résultat est malheureusement fausse (onne peut pas ramener la

continuité d"une fonction à deux variables à celle de fonctions à une variable). Ainsi, la fonctionf:

(x,y)?→xy x2+y2, prolongée parf(0,0) = 0, n"est pas continue en0(on peut utiliser la caractérisation séquentielle de la limite :f?1 n,0? = 0etf?1n,1n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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