Fonctions à deux variables
25 janv. 2012 La représentation graphique d'une fonction à deux variables dans un repère. (O i
Fonctions de 2 ou 3 variables
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES. ´ Pour représenter graphiquement une fonction de une variable on peut.
1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables
3)Représentation graphique et détermination des régions qui constituent. Df en utilisant des points particuliers situés dans les régions. Exemple 2 f(x y) = ?.
Fonctions de plusieurs variables
Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'étudier les fonctions d'une variable : – domaine de définition;. – représentation graphique (graphe);. –
Fonctions de deux variables
Pour une fonction dérivable f d'une variable on se rappelle que l'approximation linéaire au point a est la fonction dont le graphe est la tangente
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 7. Ainsi pour tracer le graphe d'une fonction d'une variable nous avons rajouté.
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base. 1.1.3 Représentation graphique d'une fonction à deux variables.
Les fonctions
Placer un point libre sur la représentation graphique d'une fonction définie par morceaux à GeoGebra permet de définir des fonctions de deux variables.
Chapitre 12 - Fonctions de deux variables
12.1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. Pour toute la suite nous considèrerons la fonction de deux variables f définie par :.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Figure 1.3 – Représentation graphique de z = xye-0.5(x2+y2). 1.2.2 Comment représenter le graphe d'une fonction de deux variables. Nous savons faire des dessins
Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
La représentation graphique d'une fonction f de R2 vers R est l'ensemble des points de cet espace de coordonnées (x;y;z) tels que : z= f(x;y) Cette représentation graphique est une surface dans l'espace Exemples : Si f(x;y) = p 1 x2 y2 la surface représentative de la fonction f est la demi-sphère de centre (0;0) et de rayon 1 avec z 0
Fonctions à deux variables
Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Dé?nition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de dé?nition de la fonction f Exemples : La fonction f :(xy)7?x3+2x2y+xy3?4y2 est une fonction à deux variables dé?nie
Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d’une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
Fonctions de deux variables - unicefr
Les courbes de niveau d’une fonction f de deux variables sont les lieux ou` f est constante il y en a une par valeur prise : Niv c:= {M ? R2f(M) = c} Exemple Pour f := (xy) 7?x2 +y2 et c positif la courbe de niveau c est le cercle de rayon ? c centr´e en l’origine
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Pour obtenir la représentation graphique d’une fonction à deux variables on se place dans l’espace muni d’un repère (Oi jk) La représentation de f est alors l’ensemble des points (xyf(xy)) lorsque (xy)? 2 C’est une surface de 2 dont une équation est donnée par z f(xy)=
Comment définir une fonction à deux variables ?
Une fonction à deux variables est une application f : D ? R, où D est une sous-ensemble du plan R2appelé domaine de dé?nition de la fonction f. Exemples : La fonction f :(x,y)7?x3+2x2y+xy3?4y2est une fonction à deux variables dé?nie sur R2tout entier. La fonction g :(x,y)7?ln(x+y ? 1)est une fonction dé?nie sur l’ensemble des couples ...
Comment calculer la différentielle au point d’une application à deux variables f ?
La di?érentielle au point (x,y)d’une application à deux variables f est l’expression dfx,y = ?f ?x (x,y)dx + ?f ?y (x,y)dy. Les dx, dy et df de l’expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.
Comment déterminer la fonction d’une variable ?
Appelons donc ?j, la fonction d’une variable dé?nie par : ?j: t7??f(a+tej). ?jest dérivable en a(car fest de classe C1dans un voisinage de a), et puisque aest un extremum local pour la fonction f, il en est un aussi pour la fonction ?jet on en déduit que ?0 j(a) = 0, autrement dit : ?f ?xj (a) = 0. 5.2 Caractérisation des points critiques
Quels sont les concepts fondamentaux de l’analyse des fonctions de plusieurs variables ?
Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable.
Mathématiques
XA100M
??PQ1.DÉFINITIONSUnefonctionà 2variablesest un objetquià toutcoupledenombresréels (x,y) associeau plusun nombre réel. Sifest une telle fonction, on note f:R×R→R. Sifassocie un nombre à (x,y), on notef(x,y) ce nombre. On dit qu"on peut évaluerfen (x,y) etf(x,y) est lavaleurdefen (x,y). Une fonction à 3 variables est un objet qui à tout triplet de nombres réels (x,y,z) associeau plusun nombre réel. Sifest une telle fonction, on note f:R×R×R→R. Sifassocie un nombre à (x,y,z), on notef(x,y,z) ce nombre. On dit qu"on peutévaluerfen (x,y,z) etf(x,y,z) est lavaleurdefen (x,y,z). ??PQSifest une fonction (à 2 ou 3 variables), l"ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluerfest ledomaine de définitiondef. On noteD(f). ??PQExemple Soit f:R×R→R (x,y)?→1x-y. C"est une fonction à 2 variables qu"on peut évaluer en tous les couples (x,y) tels quex-y?=0. AinsiD(f)=?(x,y)?R×R:x?=y?.
On a f(2,3)=12-3=-1. ??PQExemple Soit g:R×R×R→R (x,y,z)?→? ?yzxsix?=00 sinon.
C"est une fonction à 3 variables qu"on peut évaluer en tous les couples (x,y,z). AinsiD(g)=R×R×R.
On a g(2,3,1)=3×12=32etg(0,32,12)=0. ??PQ2.EXTREMUMS SOUS CONTRAINTE:MÉTHODE DE SUBSTITUTION2.1.Extremums sous contrainte.Soit f:R×R→R (x,y)?→f(x,y) une fonction de deux variables et c:R×R→R (x,y)?→c(x,y) une deuxième fonction de deux variables. Chercher lemaximumdefsouslacontraintec(x,y)=0 c"est chercher, parmi tous les couples (x,y) deD(f) tels quec(x,y)=0, celui pour lequelf(x,y) est maximum.Un couple (x0,y0) deD(f) est un maximum sous la contraintec(x,y)=0 si+c(x0,y0)=0;+pour tout couple (x,y) deD(f) tel quec(x,y)=0, on a
!Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. ??PQChercher leminimum defsous la contraintec(x,y)=0 c"est chercher, parmi tous les couples (x,y) deD(f) tels quec(x,y)=0, celui pour lequelf(x,y) est minimum.Un couple (x0,y0) deD(f) est un minimum sous la contraintec(x,y)=0 si+c(x0,y0)=0;+pour tout couple (x,y) deD(f) tel quec(x,y)=0, on a
f(x,y)≥f(x0,y0). !Une fonction peut ne pas avoir de minimum sous contrainte. ??PQ2.2.Méthode par substitution. Objectif :chercher les extremums d"une fonction de deux variablesfsous la contraintec. Limite de la méthode :pas toujours réalisable.Mise en oeuvre :dans la contraintec(x,y)=0, exprimer(1)la variablexen fonction dey: on obtientx=h(y)(2)ou la variableyen fonction dex: on obtienty=h(x).
Dans les deux cas,hest une fonction deunevariable. Les valeursf(x,y) de- viennent alors(1)soitg(y)=f?h(y),y?dans le premier cas;(2)soitg(x)=f(x,h(x))dans le second cas. Il faut alors chercher les extremums de la fonctiongqui est une fonction d"une variable (cf.TD 4 de méthodologie). ??PQExempleOn considère la fonction
f(x,y)=2xy de domaine de définitionD(f)=Ret la contrainte c(x,y)=2x+3y-6. Les couples (x,y) tels quec(x,y)=0 sont ceux tels que y=2-23x. Ainsi, les couples vérifiantc(x,y)=0 sont transformés parfen f(x,y)=f? x,2-23x? =2x?2-23x?
et on doit étudier les extremums de g(x)=2x?2-23x?
??PQOn calcule g ?(x)=-83x+4. Ainsig?(x)>0 pourx<32etg?(x)<0 pourx>32etga un maximum atteint en x=32. On a alors y=2-23×32=1. ce maximum est atteint en?32,1?et vaut f ?32,1? =3. 0.??PQ3.DÉRIVÉES PARTIELLES PREMIÈRES ET DEUXIÈMES3.1.Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables.
Soitf:R×R→R
(x,y)?→f(x,y) une fonction à 2 variables. de la fonctionf y:R→R x?→f(x,y) existe enx. On note∂f∂x:R×R→R (x,y)?→f?y(x,y).Pour calculer
∂f∂x, on dérivefpar rapport à la variablexen considéranty comme un nombre constant. de la fonctionf x:R→R y?→f(x,y) existe eny. On note ∂f∂y:R×R→R (x,y)?→f?x(x,y).Pour calculer
∂f∂y, on dérivefpar rapport à la variableyen considérantx comme un nombre constant. ??PQExempleSoitf:R×R→R
(x,y)?→x2?y+y. On aD(f)=?(x,y)?R×R:y≥0?.
Siyest constant, la dérivée dex2?y+ypar rapport àxest 2x?ydonc ∂f∂x(x,y)=2x?y. La fonctionfadmet une dérivée partielle par rapport àxsurD(f). Sixest constant, la dérivée dex2?y+ypar rapport àyestx212?y+1 donc ∂f∂y(x,y)=x212?y+1. La fonctionfadmet une dérivée partielle par rapport àxsur ?(x,y)?R×R:y>0??=D(f). ??PQ3.2.Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à deux variables. éventuellement les dériver de nouveau par rapport à la première ou deuxième variable. ??PQOn note∂2f∂x2=∂∂x? ∂f∂x? rapport àxdef. On l"appelledérivéepartielledeuxièmedefparrapportàx.On note
∂2f∂x∂y=∂∂x? ∂f∂y? rapport àydef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à (x,y). ??PQOn note∂2f∂y∂x=∂∂y? ∂f∂x? rapport àxdef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à (y,x).On note
∂2f∂y2=∂∂y? ∂f∂y? rapport àydef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à y. ??PQ3.3.Dérivées partielles premières des fonctions à trois variables.Soitf:R×R×R→R
(x,y,z)?→f(x,y,z) une fonction à 3 variables. On dit quefadmet unedérivée première par rapport àxen(x,y,z) si, la dé- rivée de la fonctionf y,z:R→R x?→f(x,y,z) existe enx. On note ∂f∂x:R×R×R→R (x,y,z)?→f?y,z(x,y,z).Pour calculer
∂f∂x, on dérivefpar rapport à la variablexen considérantyetz comme des nombres constants. ??PQDe même∂f∂yest la fonction de trois variables obtenue en dérivantfpar rap- port àyaprès avoir supposéxetzconstants.De même
∂f∂zest la fonction de trois variables obtenue en dérivantfpar rap- port àzaprès avoir supposéxetyconstants. ??PQ3.4.Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à trois variables.Siaest l"une des lettresx,yetz,
sibest l"une des lettresx,yetz,2f∂a∂b=∂∂a?
∂f∂b?est la dérivée partielle première par rapport àade la dérivée partielle première
defpar rapport àb. On l"appelle dérivée partielle deuxième defpar rapportà (a,b).
??PQ4.EXTREMUMS SOUS CONTRAINTE:MÉTHODE DELAGRANGEOncherchelesextremumsdelafonctiondedeuxvariablesfsouslacontrainte
c. Objectif :chercher les extremums d"une fonction de deux variablesfsous la contraintec. Limite de la méthode :cette méthode ne fournit que descandidats. Elle donne une liste de couples (x0,y0) et s"il existe un extremum, il doit être dans cette liste. Cas particulier :si la liste des candidats est vide, il n"y a pas d"extremum. Mise en oeuvre :à partir de la fonctionfet de la contraintecon construit une fonction de trois variables g(x,y,λ)=f(x,y)+λc(x,y).On calcule les trois dérivées partielles
??PQLa liste des candidats est l"ensemble des solutions de ???????∂g∂x=0 ∂g∂y=0 ∂g∂λ=0. ??PQExempleOn cherche les extremums de
f(x,y)=4?xy sous la contrainte c(x,y)=x+y-6=0.La fonction associée est
g(x,y,λ)=4?xy+λ(x+y-6). On aLes candidats sont donc les solutions de
??????2 ?y?x+λ=0 2 ?x?y+λ=0 x+y-6=0. ??PQL"équation2?y?x+λ=0
donne y=λ24x.L"équation
2?x?y+λ=0
donne alors -4λ+λ=0 donc-4+λ2=0 puisλ=-2 ouλ=2. ??PQL"équationx+y-6=0 devient alors x+λ24x-6=0 puis2x-6=0.
On a alorsx=3. Mais,y=λ24xdoncy=3.
SIla fonctionfadmet un extremum sous la contraintec, cet extremum est atteint en (3,3) et vaut f(3,3)=12.??PQ5.REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES´Pour représenter graphiquement une fonction de une variable, on peut
procéder ainsi : on choisit deux axes graduésΔxetΔyqui forment un angle droit.ΔyΔxO??PQPour tracer le point représentatif de?x,f(x)?,(1)On repèrexsur l"axeΔxen le plaçant à distancexdeO-en mesurant de gauche à droite six≥0-en mesurant de droite à gauche six<0(2)On repèref(x) sur l"axeΔyen le plaçant à distancef(x) deO-en mesurant de bas en haut sif(x)≥0-en mesurant de haut en bas sif(x)<0(3)On trace une droite parallèle àΔypassant par le point repéré surΔx(4)On trace une droite parallèle àΔxpassant par le point repéré surΔy(5)Le point représentatif de?x,f(x)?est le point à l"intersection des deux
droites tracées précédemment. La courbe defest l"ensemble des points représentatifs de?x,f(x)?lorsquex prend toutes les valeurs du domaine de définition def. ??PQΔyΔxO3f(3)(3,f(3)) ??PQΔyΔxO-3f(-3)(-3,f(-3)) ??PQPour représenter graphiquement une fonction de deux variables (x,y)?→f(x,y) il faut remplacer la feuille par l"espace. On place dans cet espace trois axesΔx, yetΔzgradués et tels que chaque axe est orthogonale aux deux autres..ΔyΔxΔzO??PQPour tracer le point représentatif de?x,y,f(x,y)?,(1)On repèrexsur l"axeΔxen le plaçant à distancexdeO-en mesurant de gauche à droite six≥0-en mesurant de droite à gauche six<0(2)On repèreysur l"axeΔyen le plaçant à distanceydeO-en mesurant de bas en haut sif(x)≥0-en mesurant de haut en bas sif(x)<0(3)On repèref(x,y) sur l"axeΔzen le plaçant à distancef(x,y) deO-en mesurant d"arrière en avant sif(x,y)≥0-en mesurant d"avant en arrière sif(x,y)<0.(4)On trace une droite parallèle àΔypassant par le point repéré surΔx(5)On trace une droite parallèle àΔxpassant par le point repéré surΔy(6)On trace un pointPà l"intersection des deux droites tracées précédem-
ment(7)On trace la parallèle àΔzen ce point(8)On trace la parallèle àOPpassant par le point repéré surΔz(9)Le point représentatif de (x,y,f(x,y)) est à l"intersection des deux der-
nières droites tracées. (x,y) prend toutes les valeurs du domaine de définition def.ΔzΔyΔxO34Pf(3,4)(3,4,f(3,4)) ??PQf(x,y)=?x2+y2.??PQ6.LIGNES DE NIVEAUSur le graphe d"une fonction à deux variablesf, le point représentatitf de?x,y,f(x,y)?est àhauteurf(x,y).
Uneligne de niveaude hauteurKdefest l"ensemble des couples (x,y) tels quef(x,y)=K. Exemple :sif(x,y)=x+y, la ligne de niveau de hauteurKdefest l"en- semble des (x,y) tels que x+y=K c"est-à-dire y=K-x. ??PQExemple Sif(x,y)=?x2+y2et siK≥0, la ligne de niveau defde hauteurKest l"en- semble des points (x,y) tels que ?x2+y2=K c"est-à-dire x2+y2=K.
C"est un cercle de rayonKet de centreO.
??PQ7.TANGENTES´Sifest une fonction deunevariable, la tangente au graphe defau point d"abscisse 0 est une droite d"équation y=f(x0)+(x-x0)f?(x0). Exemple :sif(x)=2x2, on af?(x)=4x. Six0=1, la tangente au graphe def au point d"abscisse 1 est y=2+(x-1)×4=4x-2. ??PQ ??PQDans le cas d"une fonction à 2 variables, c"est leplan tangentqu"on étudie. Sifest une fonction à deux variables dont on sait calculer les dérivées pre- mières, l"équation du plan tangent àfau point d"abscissex0et ordonnéey0 estExemple :sif(x,y)=x2y3, on a
En le point d"abscissex0=1 et d"ordonnéey0=2, on a alorsAinsi, l"équation du plan tangent est
z=16x+12y-32. ??PQquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] limite d'une fonction ? deux variables
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