Fonctions à deux variables
25 janv. 2012 La représentation graphique d'une fonction à deux variables dans un repère. (O i
Fonctions de 2 ou 3 variables
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES. ´ Pour représenter graphiquement une fonction de une variable on peut.
1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables
3)Représentation graphique et détermination des régions qui constituent. Df en utilisant des points particuliers situés dans les régions. Exemple 2 f(x y) = ?.
Fonctions de plusieurs variables
Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'étudier les fonctions d'une variable : – domaine de définition;. – représentation graphique (graphe);. –
Fonctions de deux variables
Pour une fonction dérivable f d'une variable on se rappelle que l'approximation linéaire au point a est la fonction dont le graphe est la tangente
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 7. Ainsi pour tracer le graphe d'une fonction d'une variable nous avons rajouté.
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base. 1.1.3 Représentation graphique d'une fonction à deux variables.
Les fonctions
Placer un point libre sur la représentation graphique d'une fonction définie par morceaux à GeoGebra permet de définir des fonctions de deux variables.
Chapitre 12 - Fonctions de deux variables
12.1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. Pour toute la suite nous considèrerons la fonction de deux variables f définie par :.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Figure 1.3 – Représentation graphique de z = xye-0.5(x2+y2). 1.2.2 Comment représenter le graphe d'une fonction de deux variables. Nous savons faire des dessins
Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
La représentation graphique d'une fonction f de R2 vers R est l'ensemble des points de cet espace de coordonnées (x;y;z) tels que : z= f(x;y) Cette représentation graphique est une surface dans l'espace Exemples : Si f(x;y) = p 1 x2 y2 la surface représentative de la fonction f est la demi-sphère de centre (0;0) et de rayon 1 avec z 0
Fonctions à deux variables
Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Dé?nition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de dé?nition de la fonction f Exemples : La fonction f :(xy)7?x3+2x2y+xy3?4y2 est une fonction à deux variables dé?nie
Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d’une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
Fonctions de deux variables - unicefr
Les courbes de niveau d’une fonction f de deux variables sont les lieux ou` f est constante il y en a une par valeur prise : Niv c:= {M ? R2f(M) = c} Exemple Pour f := (xy) 7?x2 +y2 et c positif la courbe de niveau c est le cercle de rayon ? c centr´e en l’origine
Searches related to fonction de deux variables représentation graphique PDF
Pour obtenir la représentation graphique d’une fonction à deux variables on se place dans l’espace muni d’un repère (Oi jk) La représentation de f est alors l’ensemble des points (xyf(xy)) lorsque (xy)? 2 C’est une surface de 2 dont une équation est donnée par z f(xy)=
Comment définir une fonction à deux variables ?
Une fonction à deux variables est une application f : D ? R, où D est une sous-ensemble du plan R2appelé domaine de dé?nition de la fonction f. Exemples : La fonction f :(x,y)7?x3+2x2y+xy3?4y2est une fonction à deux variables dé?nie sur R2tout entier. La fonction g :(x,y)7?ln(x+y ? 1)est une fonction dé?nie sur l’ensemble des couples ...
Comment calculer la différentielle au point d’une application à deux variables f ?
La di?érentielle au point (x,y)d’une application à deux variables f est l’expression dfx,y = ?f ?x (x,y)dx + ?f ?y (x,y)dy. Les dx, dy et df de l’expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.
Comment déterminer la fonction d’une variable ?
Appelons donc ?j, la fonction d’une variable dé?nie par : ?j: t7??f(a+tej). ?jest dérivable en a(car fest de classe C1dans un voisinage de a), et puisque aest un extremum local pour la fonction f, il en est un aussi pour la fonction ?jet on en déduit que ?0 j(a) = 0, autrement dit : ?f ?xj (a) = 0. 5.2 Caractérisation des points critiques
Quels sont les concepts fondamentaux de l’analyse des fonctions de plusieurs variables ?
Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable.
![Fonctions de deux variables Fonctions de deux variables](https://pdfprof.com/Listes/18/13856-18deuxvar.pdf.pdf.jpg)
Fonctions à deux variables
PTSI B Lycée Eiffel
5 juillet 2013
Il faut avoir beaucoup étudié pour savoir peu.Montesquieu.
Étudie, non pour savoir plus, mais pour savoir mieux.Sénèque.
Il n"y a pas de problèmes, il n"y a que des professeurs.Jacques Prévert.
Introduction
Pour ce dernier chapître de l"année, nous allons faire un rapide survol des techniques d"étude et de
calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous approfondirez l"an prochain. Au programme,
des choses que vous avez pour la plupart déjà croisées en physique ou en SII : calcul de dérivées
partielles, calus d"intégrales doubles, et un tout petit peu de champs de vecteurs.Objectifs du chapitre :
savoir calculer des dérivées partielles et déterminer des points critiques.comprendre l"intérêt des intégrales doubles et de la formule de Green-Riemann pour le calcul
d"aires.1 Continuité, dérivées partielles
1.1 Aspect graphique
Définition 1.Unefonction à deux variablesest une applicationf:D →R, oùDest une sous-ensemble du planR2appelédomaine de définitionde la fonctionf. 1 Exemples :La fonctionf: (x,y)?→x3+2x2y+xy3-4y2est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonctiong: (x,y)?→ln(x+y-1)est une fonction définie sur l"ensemble descouples(x,y)vérifiantx+y-1>0, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la
droite d"équationy= 1-x. La fonctionh: (x,y)?→?4-x2-y2est définie à l"intérieur du cercle
de centreOet de rayon2.Définition 2.Lasurface représentatived"une fonction à deux variables dans un repère(O,?i,?j,?k)
de l"espace est l"ensemble des pointsM(x,y,z)vérifiantz=f(x,y).Remarque1.Une fonction à deux variables n"est donc pas représentée parune courbe. Il est très
difficile en général de visualiser ce genre de représentations graphiques, c"est pourquoi on en est
souvent réduit à étudier les coupes de la surface par des plans simples. Définition 3.Soitkun réel etfune fonction de deux variables, laligne de niveaukde la fonction fest l"ensemble des couples(x,y)vérifiantf(x,y) =k.Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative defpar le plan " horizontal »
d"équationz=k. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une
fonction à une variable.Exemple :Considérons la fonctionf(x,y) =x2+y2, sa ligne de niveaukest définie par l"équation
x2+y2=k. Il s"agit donc du cercle de centreOet de rayon⎷
kquandkest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourkentier compris entre-1et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative
def.Définition 4.Soitf: (x,y)?→f(x,y)à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont
les deux fonctions à une variablefx:x?→f(x,y)etfy:y?→f(x,y).Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonctionf
elle-même, seul le statut dexet deychange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles est désormais
fixée (sa valeur dépend du point(x,y)en lequel on regarde les applications partielles). Par exemple,
sif(x,y) =x2-3xy+y3, on dira que l"application partielle obtenue en fixanty= 1est la fonctiond"une variablex?→x2-3x+1(on a poséy= 1dans l"équation def), ou que l"application partielle
obtenue en fixantx= 2est la fonctiony?→4-6y+y3. Tracer les représentations graphiques deces applications partielles revient à tracer la coupe de la surface représentative defpar les plans
d"équation respectivey= 1etx= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).
Remarque4.Les courbes des applications partielles et les lignes de niveau permettent de reconstituerl"intégralité de la surface. Reprenons notre fonctionf: (x,y)?→x2+y2. On a déjà vu que ses lignes
de niveau étaient des cercles. Les applications partiellessont toutes représentées par des paraboles.
En particulier, à l"origine, elles ont pour équationx?→x2ety?→y2(donc les courbes en sont
identiques). D"où l"allure globale de la surface, appelée paraboloïde de révolution car elle est obtenue
en faisant " tourner » une parabole autour de l"axe(Oz), premier exemple du paragraphe suivant. 21.2 Exemples de surfaces
Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.
-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 41.3 ContinuitéDéfinition 5.Une fonctionf:Df→R2admet en un pointM(a,b)unelimite finiel?Rsi
?ε >0,?η >0,0(x,y)-(a,b)?< η? |f(x,y)-f(a,b)|< ε. Remarque5.Cette définition est exactement la même que pour une fonctionà une variable, enremplaçant les valeurs absolues par des normes. De fait, la valeur absolue est bien la distance associée
au produit scalaire usuel surR. On peut très facilement généraliser cette notion de continuité à des
fonctions ànvariables, pour tout entier naturelnnon nul. Définition 6.Uneboule ouvertede centre(a,b)et de rayonr >0dansR2est l"ensemble B={(x,y)?R2| ?(x,y)-(a,b)?< r}. Un sous-ensembleUdeR2est unouvertsi?(x,y)?U, il existe un rayonr >0tel que la boule ouverte de centre(x,y)et de rayonrsoit entièrement incluse dansU. Unvoisinagede(x,y)?R2est un ouvert deR2contenant(x,y). Remarque6.Un ouvert deR2est donc voisinage de chacun de ses points, c"est-à-dire qu"il contient une boule ouverte autour de chaque point. Intuitivement, unouvert est un ensemble qui n"a pas de" bord ». Nous ne rentrerons pas plus dans les détails de la passionnante branche des mathématiques
qui s"appelle la topologie. Sachez simplement que les ouverts sont les ensembles sur lesquels il est le
plus facile d"étudier des fonctions à plusieurs variables,et qu"on supposera ainsi la plupart du temps
que nos fonctions sont définies sur des ouverts, sans plus de précision. Proposition 1.Sif(x,y)?k?(x,y)?sur un voisinage de l"origine, alorslim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.Démonstration.Il suffit de prendreη=ε
kdans la définition de la limite. Notons qu"il suffit quenos inégalités soient valables sur un voisinage de l"origine, puisqu"elle le seront alors sur une boule
ouverte de rayonrcentrée en l"origine; si jamaisηfait déborder nos valeurs de cette boule ouverte,
on prendrà la place deηet la définition restera vérifiée.Exemple :Soitf: (x,y)?→xy2x2+y2. La limite de cette fonction à l"origine n"a rien d"évident a
priori, mais devient plus simple après un passage en coordonnées polaire, en utilisant la propriété
précédente :f(ρ,θ) =ρcos(θ)×ρ2sin2(θ) ρ2=ρcos(θ)sin2(θ). En particulier,|f(x,y)|?ρ=?(x,y)?, ce qui prouve quelim(x,y)→(0,0)f(x,y) = 0.Remarque7.À l"aide des définitions données plus haut, on peut donner unedéfinition plus simple
mais plus technique de la limite :lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =lsi pour tout voisinageIdel(dansR, donc tout intervalle ouvert contenantl), il existe un voisinageVde(a,b)tel quef(V)?I. On peut enfait pousser les choses beaucoup plus loin : en définissant les ouverts deRde la même façon que ceux
deR2(voisinages de chacun de leurs points), une fonctionf:R2→Rest continue (partout) si et seulement si l"image réciproque de tout ouvert deRparfest un ouvert deR2.Théorème 1.Tout fonction à deux variables obtenue comme somme produit,quotient ou composée
de fonctions continues est continue sur son ensemble de définition.Démonstration.Comme dans le cas des fonctions à une variable, c"est très long et complètement
inintéressant, nous admettons ce résultat. Théorème 2.Caractérisation séquentielle de la limite.lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =l?pour toutes suites de réels(xn)et(yn)convergeant respectivement versaet
b,limn→+∞f(xn,yn) =l.Démonstration.La démonstration est la même que dans le cas de fonctions à unevariable (en un
peu plus technique), on admet aussi. 5 Exemple :Comme dans le cas des fonctions à une variable, on se sert surtout de la contraposée de la première implication : si on peut trouver deux couples de suites(xn,yn)et(x?n,y?n)ayantles mêmes limites mais pour lesquelleslimn→+∞f(xn,yn)?= limn→+∞f(x?n,y?n), alorsfne peut pas être
continue au point considéré. Ainsi, sif(x,y) =x+y ?x2+y2, on constate aisément quef?1n,-1n? = 0 maisf?1 n,1n? =2 n⎷2 n=⎷2, ce qui empêche la fonction d"avoir une limite en l"origine.
Proposition 2.Sifest continue en un point(a,b), ses deux applications partielles sont continues respectivement enbet ena. Démonstration.C"est évident en constatant que|x-a|??(x,y)-(a,b)?(et de même poury), on peut prendre la même valeur deηpour les deux définitions de la continuité. Remarque8.La réciproque de ce résultat est malheureusement fausse (onne peut pas ramener lacontinuité d"une fonction à deux variables à celle de fonctions à une variable). Ainsi, la fonctionf:
(x,y)?→xy x2+y2, prolongée parf(0,0) = 0, n"est pas continue en0(on peut utiliser la caractérisation séquentielle de la limite :f?1 n,0? = 0etf?1n,1n?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] limite d'une fonction ? deux variables
[PDF] dérivée d'une fonction ? plusieurs variables
[PDF] fonctions ? plusieurs variables exercices corrigés
[PDF] faire une étude de marché gratuite
[PDF] exemple d'étude de marché pdf
[PDF] faire une étude de marché pour créer son entreprise
[PDF] étude de marché gratuite en ligne
[PDF] etude de marché d'un projet exemple
[PDF] importance de la fonction achat dans l'entreprise
[PDF] historique de la fonction achat
[PDF] le processus d'achat pdf
[PDF] le processus achat
[PDF] installation sanitaire
[PDF] support d'installation windows 10