Fonctions à deux variables
25 janv. 2012 La représentation graphique d'une fonction à deux variables dans un repère. (O i
Fonctions de 2 ou 3 variables
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES. ´ Pour représenter graphiquement une fonction de une variable on peut.
1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables
3)Représentation graphique et détermination des régions qui constituent. Df en utilisant des points particuliers situés dans les régions. Exemple 2 f(x y) = ?.
Fonctions de plusieurs variables
Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'étudier les fonctions d'une variable : – domaine de définition;. – représentation graphique (graphe);. –
Fonctions de deux variables
Pour une fonction dérivable f d'une variable on se rappelle que l'approximation linéaire au point a est la fonction dont le graphe est la tangente
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 7. Ainsi pour tracer le graphe d'une fonction d'une variable nous avons rajouté.
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base. 1.1.3 Représentation graphique d'une fonction à deux variables.
Les fonctions
Placer un point libre sur la représentation graphique d'une fonction définie par morceaux à GeoGebra permet de définir des fonctions de deux variables.
Chapitre 12 - Fonctions de deux variables
12.1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. Pour toute la suite nous considèrerons la fonction de deux variables f définie par :.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Figure 1.3 – Représentation graphique de z = xye-0.5(x2+y2). 1.2.2 Comment représenter le graphe d'une fonction de deux variables. Nous savons faire des dessins
Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
La représentation graphique d'une fonction f de R2 vers R est l'ensemble des points de cet espace de coordonnées (x;y;z) tels que : z= f(x;y) Cette représentation graphique est une surface dans l'espace Exemples : Si f(x;y) = p 1 x2 y2 la surface représentative de la fonction f est la demi-sphère de centre (0;0) et de rayon 1 avec z 0
Fonctions à deux variables
Fonctions à deux variables ECE3 Lycée Carnot 25 janvier 2012 1 Aspect graphique Dé?nition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de dé?nition de la fonction f Exemples : La fonction f :(xy)7?x3+2x2y+xy3?4y2 est une fonction à deux variables dé?nie
Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d’une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
Fonctions de deux variables - unicefr
Les courbes de niveau d’une fonction f de deux variables sont les lieux ou` f est constante il y en a une par valeur prise : Niv c:= {M ? R2f(M) = c} Exemple Pour f := (xy) 7?x2 +y2 et c positif la courbe de niveau c est le cercle de rayon ? c centr´e en l’origine
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Pour obtenir la représentation graphique d’une fonction à deux variables on se place dans l’espace muni d’un repère (Oi jk) La représentation de f est alors l’ensemble des points (xyf(xy)) lorsque (xy)? 2 C’est une surface de 2 dont une équation est donnée par z f(xy)=
Comment définir une fonction à deux variables ?
Une fonction à deux variables est une application f : D ? R, où D est une sous-ensemble du plan R2appelé domaine de dé?nition de la fonction f. Exemples : La fonction f :(x,y)7?x3+2x2y+xy3?4y2est une fonction à deux variables dé?nie sur R2tout entier. La fonction g :(x,y)7?ln(x+y ? 1)est une fonction dé?nie sur l’ensemble des couples ...
Comment calculer la différentielle au point d’une application à deux variables f ?
La di?érentielle au point (x,y)d’une application à deux variables f est l’expression dfx,y = ?f ?x (x,y)dx + ?f ?y (x,y)dy. Les dx, dy et df de l’expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.
Comment déterminer la fonction d’une variable ?
Appelons donc ?j, la fonction d’une variable dé?nie par : ?j: t7??f(a+tej). ?jest dérivable en a(car fest de classe C1dans un voisinage de a), et puisque aest un extremum local pour la fonction f, il en est un aussi pour la fonction ?jet on en déduit que ?0 j(a) = 0, autrement dit : ?f ?xj (a) = 0. 5.2 Caractérisation des points critiques
Quels sont les concepts fondamentaux de l’analyse des fonctions de plusieurs variables ?
Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable.
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE
IUT "A" Paul Sabatier, Toulouse 3.
DUT G´enie Civil
Module de Math´ematiques.
MATH´EMATIQUES
´El´ements de calculs pour l"´etude
des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff´erentielles.G. Ch`eze
guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/Enseignements.html 2R`egle du jeu
Ceci est un support de cours pour le module Mat2 de l"IUT G´enie Civil de Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d"´equations diff´erentielles. Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement. C"est `a vous de les compl´eter durant l"heure de cours hebdomadaire. La partiedu cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur
internet `a l"adresse :http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/. Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre. Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou deserreurs se trouvant dans ce document.A pr´esent, au travail et bon courage `a tous!
i iiR`egle du jeuTable des mati`eres
R`egle du jeui
I Fonctions de plusieurs variables1
1 Fonctions de plusieurs variables5
1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables. . . . . . 6
1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de deux variables8
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 D´eriv´ees partielles, Diff´erentielles27
2.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d"une fonction compos´ee. 32
2.5 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Approximation affine, Calcul d"incertitude45
3.1 Approximation d"une fonction `a une seule variable. . . . . . . . . . . 45
3.2 Approximation d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . 47
3.3 Calcul d"erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Le cas des fonctions d"une seule variable. . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 50
3.4 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Extrema d"une fonction de deux variables63
4.1 Rappel dans le cas d"une seule variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Extr´emum local d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . 66
4.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iii ivTABLE DES MATI`ERESII´Equations diff´erentielles83
1´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 185
1.1 Pr´esentation g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1.1´Equations diff´erentielles et int´egration. . . . . . . . . . . . . 86
1.1.2 Solutions d"une ´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . 86
1.1.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 189
1.2.1´Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2.3 Solution g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2.4 Astuces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 2 `a coefficients constants107
2.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 R´esolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 R´esolution de l"´equation homog`ene associ´ee. . . . . . . . . . 108
2.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
III Annexes123
A D´eriv´ees et primitives usuelles125
B Annales corrig´ees127
C Trouver l"erreur177
D Alphabet grec181
Premi`ere partie
Fonctions de plusieurs variables
1 Jusqu"`a pr´esent vous avez surtout rencontr´e des fonctionsd"une variable. Cepen- dant les ph´enom`enes naturels ne d´ependent pas en g´en´erald"une seule variable. Par exemple : la vitesse moyennevd´epend de la distance parcouruedet du tempstmis pour effectuer ce parcours, on av=d/t. Un autre exemple est donn´e par le calcul de l"aire d"un rectangle :A=L×l. L"aire est une fonction de la longueurLet de la largeurl. Dans cette partie, nous allons ´etudier les fonctions de plusieurs variables. Nous aurons une attention toute particuli`ere pour les fonctionsde deux variables car dans ce cas nous pourrons encore faire des dessins. Ensuite nousverrons que nouspouvons aussi faire des calculs de d´eriv´ees. Cela sera utilis´e pour effectuer des calculs
d"incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d"une fonction de plusieurs variables. 3 4Chapitre 1Fonctions de plusieurs variables
Nous allons dans ce chapitre d´efinir les fonctions de plusieurs variables. Nous nous int´eresserons plus particuli`erement aux fonctions de deux variables et aux diverses repr´esentations graphiques que l"on peut obtenir.1.1 D´efinition
L"exemple le plus simple de fonctions de deux variables est donn´e par l"aire d"un rectangle :A=L×l.Letl´etant des nombres positifs nous repr´esentons cette fonction de la mani`ere suivante : f:R+×R+-→R (L,l) ?-→L×l R +×R+s"appelle le domaine de d´efinition de la fonctionf. D"une mani`ere g´en´erale nous pouvons avoirnvariables o`und´esigne un nombre entier. D´efinition 1.Soitnun nombre entier etDune partie deRn. Une fonctionfde nvariables est un proc´ed´e qui a toutn-uplet(x1,...,xn)deDassocie un unique nombre r´eel.Cela se note de la mani`ere suivante :
f:D -→R (x1,...,xn)?-→f(x1,...,xn)Dest le domaine de d´efinition def.
Remarque : La notation (x1,...,xn) est l`a pour montrer que nous avonsnva- riables. En pratique, lorsque nous n"avons que deux variables nous les notonsxety plutˆot quex1etx2. 56Fonctions de plusieurs variables
Par exemple, la fonction suivante donne la distance d"un point de coordonn´ees (x,y) `a l"origine du plan. f:R2-→R
(x,y)?-→?x2+y2 fest une fonction de deux variables,R2est son domaine de d´efinition. Voici, ici un exemple d"une fonction de trois variables : (x;y;z). g:R×R×R?-→R (x,y,z)?-→xcos(y) + 2y3-π z5 gest une fonction de trois variables,R×R×R?est son domaine de d´efinition.
Exercice 1.La formule suivante permet de d´efinir une fonction de 2 variables : f(x,y) = ln(x) + sin(y)1. Donner l"image de(e,0).
2. Donner le plus grand domaine de d´efinition possible pourf.
Solution :
1.f(e,0) =
ln(e) + sin(0) = 1 + 0 = 1.L"image de (e,0) parfest1.
2. Pour que ln(x) existe il faut (et il suffit)quex >0. Doncx?R+,?.
sin(y) existepour touty?R. Doncy?R. Ainsi le plus grand domaine de d´efinition possible pourfest :R+,?×R.1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de
deux variables1.2.1 D´efinition
Avant de donner la d´efinition du graphe d"une fonction de deux variables nous allons rappeler ce qu"est le graphe d"une fonction d"une variable.D´efinition 2.Soit
f:D -→R x?-→f(x) Le grapheCfdef(fonction d"une seule variable) est l"ensemble des points du plan de coordonn´ees (x;f(x))avecx? D.Cela se note :
Cf={(x,y)?R2|y=f(x), x? D}
1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables7
Ainsi pour tracer le graphe d"une fonction d"une variable nous avons rajout´e une nouvelle variabley.Le graphe est alors une courbe dans le planR2.
Pour les fonctions de deux variablesxetynous allons aussi rajouter une variablez et le graphe sera alors une surface de l"espaceR3.D´efinition 3.Soit
f:D -→R (x,y)?-→f(x,y) Le grapheSfdef(fonction de deux variables) est l"ensemble des points de l"espace de coordonn´ees (x;y;f(x,y))avec(x,y)? D.Cela se note :
Sf={(x,y,z)?R3|z=f(x,y),(x,y)? D}
Remarque :
Sfest une surface dansR3.
A chaque point (x,y)? Dcorrespond un point sur la surfaceSf. Voici comment on place les points dans un rep`ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y)) Figure1.1 - Utilisation d"un rep`ere `a 3 dimensions. Afin de vous familiariser avec les graphes des fonctions de deux variables voici quelques exemples.8Fonctions de plusieurs variables
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 Figure1.2 - Repr´esentation graphique dez=sin(?x2+y2)?x2+y2. -2 -1 0 1 2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Figure1.3 - Repr´esentation graphique dez=xye-0.5(x2+y2).1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de
deux variables Nous savons faire des dessins dans un plan, donc pour faire des dessins dans l"espace nous allons nous ramener `a ce que nous savons faire...C"est `a dire nousquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] limite d'une fonction ? deux variables
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