2.4 Différentiabilité en plusieurs variables
x0. Pour une fonction d'une variable cette approximation linéaire est la droite tangente. Pour fonctions de deux variables
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables. Exercice 1. Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2.
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 1.2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables. Définition 1.2 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Le fait que ? est partout différentiable sera une conséquence du théorème 3.21. Exercice 5. Écrire la matrice jacobienne de l'application (x y
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Si F a des composantes de classe C1 alors elles sont différentiables et F est également différentiable. Exercice. (i) Trouver la matrice jacobienne de F en (1
Théorie des Nombres et Applications
La différentiabilité généralise aux fonctions de plusieurs variables la notion une fonction de deux variables et (x0y0) ? D(f) un point de reference.
Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Proposition 3.11 (DERIVEES PARTIELLES ET DIFFERENTIABILITE). 49. Page 50. 3.5 Opérations sur les fonctions différentiables. Calcul différentiel. Preuve : Pas
Approximation et interpolation des fonctions différentiables de
Approximation et interpolation des fonctions différentiables de plusieurs variables. Annales scientifiques de l'É.N.S. 3e série tome 83
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Toutes les normes de Rn sont équivalentes. 1 Fonctions de plusieurs variables réelles. Fonction f : U ? Rn ?? Rp (U est ouvert de Rn)
Chapitre 3 - Dérivées partielles différentielle
http://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-L2PS/L2PS-Ch3.pdf
Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay
1 2 Di?´erentiabilit´e d’une fonction de deux variables D´e?nition 1 2 Soit f une fonction de deux variables d´e?nie au voisinage de (00) On dit que f est di?´erentiable en (00) si elle admet un d´eveloppement limit´e a l’ordre 1 i e si on peut ´ecrire f(xy) = c+ax+by + p x2 +y2 (xy)
Fonction de deux variables
3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y
Fonctions de deux variables - unicefr
Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est not´ee f 0 y ou parfois
TD3–Di?érentiabilitédesfonctionsdeplusieursvariables Exercice1
La fonction est continue dans R2 {(00)} Pour étudier la continuité au point(00) onconsidèrelarestrictiondefàladroitey= x: f(xx) = 1 2x qui ne tend pas vers 0 = f(00) lorsque x?0 Donc la fonction n’est pas continue au point(00) •Dérivabilité Onsedemandesilafonctionadmettouteslesdérivéespartielles Si(xy) 6= (00) : ?f
23 D´erivabilit´e en plusieurs variables
2 3 D´erivabilit´e en plusieurs variables La d´eriv´ee d’une fonction lorsqu’elle existe est li´ee aux variations de la fonction tandis que l’un de ses variables parcourt une direction Pour fonctions d’une variable r´eelle la seule direction possible `a parcourir est l’axe des abscisses For fonctions de plusieurs variables
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1 2 1 fonctions de deux variables On commence par le cas de deux variables qui est plus simple du point de vue des notations : f: (x;y) 2D(f) ˆR2!R une fonction de deux variables et (x 0;y 0) 2D(f) un point de reference D efinition 2 1 On dit que fest di erentiable au point (x 0;y 0) si il existe deux nombres r eels a 1;a
Comment définir la fonction de deux variables?
La fonctionf: (x;y) !7 p 1 2(x2+y) est dé?nie sur le disque fermé de centre O et de rayon 1. Elle admet pour minimum 0, il est atteint sur le cercle de centre O de rayon 1 et pourtant les dérivées partielles ne s’annulent en aucun point du cercle. 25 M. Pelini, V. Ledda Fonction de deux variablesAnalyse 2 Exercice 12
Comment calculer la différentiabilité d’une fonction?
La di?érentiabilité d’une fonction f au point x 0correspond à l’exis- tence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point x 0. Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est la droite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tan- gent au graphe de la fonction au point (x 0,y 0).
Qu'est-ce que la différentiabilité en plusieurs variables?
2.4 Di?érentiabilité en plusieurs variables La di?érentiabilité d’une fonction f au point x 0correspond à l’exis- tence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point x
Comment calculer la fonction d'une variable?
1.la variable x en fonction de y : on obtient x = h(y) 2.ou la variable y en fonction de x : on obtient y = h(x). Dans les deux cas, h est une fonction de une variable.
Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables27
2.4Di fférentiabilitéenplusieursvariables
Ladi fférentiabilitéd'unefonctionfaupoin tx
0 correspondàl'exis- tenced'unea pproximationli néairedelafonctionfauvois inagedupoint x 0 .Po urunefonction d'unevar iable,cetteapproximation linéaireestla droitetangente.Pourf onctionsdedeuxvariables ,elleseralepl antan- gentaugrap hedela fonctionaupoint(x 0 ,y 0 Dèsqueu nefonctio nd'unevar iableestdérivablesietseu lementsi ilexist eladroitetangen teaupo int,surRilyaéqu iva lence entrela dérivabilitéetladi ff érentiabilité.Pourfonctiondeplusieurs variables,en general,ladérivabilit éestun enotiontropfaiblepourgarantirl'ex istence d'uneapproximat ionlinéaire.Pourgarantirl'existencedelalin éarisation ilfaut parlerdedi fférentielle.
Définition2.4.1[Di fférentiabilitéd'unefdpvàvaleursréelles ]SoientDunouv ertdeR
n ,f:D7!Retx 02D.Onditquefestdifférentiable
enx 0 siilex isteu neapplicationlinéair eL:R n7!Rtellequeau
voisinagedex 0 l'onait: f(x 0 +h)f(x 0 )=Lh+o(|h|)Siune tellea pplicationexis te,onl'appelledi
fférentielledefaupoint x
0 etonla noteDf(x 0 Toutesfonctionsél émentairestellesquepolynômes, exponentielle,loga- rithmiquesettrigonométriquesso ntd i fférentiablesdansleurdomained e
définition.Sauriez-vousdonnerladéfinitiondedi
fférentiellepourf:D7!R
p p>1? Deman ièreéquivalenteonpeutd irequefestdifférentiableaupoint282.4. Différentiabilitéenplusieursvariables
x 0 2R n sietseul ement sil'expression: f(x 01 +h 1 ,···,x 0n +h n )f(x 01 ,···,x 0n )h 1 x 1 f(x 0 )···h n x n f(x 0 p h 2 1 +···+h 2 n tendvers0lorsque(h 1 ,···,h n )!(0,···,0). Ladi ff érentiabilitéestuneconditionplusfor tequel acontinuit éetla dérivabilité.Théorème2.4.2SoientDunouv ertdeR
n ,f:D7!Retx 0 2D.Si festdifférentiableenx 0 alors: - festcontinue enx 0 - fadmettoutedériv éedirectionnelle enx 0 etsad i fférentielleest
donnéepar: Df(x 0 ):R n 7!R (h 1 ,···,n n )7!@ x 1 f(x 0 )h 1 x n f(x n )h n =rf(x 0 )·h ATTENTION:laréciproqueduthéor ème2 .4.2est fausse. Exemple12 Lafonct iondéfinieauremarque7estdérivable en(0,0) maispasdi fférentiableencepointcarpascont inue.
Définition2.4.3[Fo nctiondeclasseC
1 ]Soi entDunouv ertdeR n et f:D7!R.Sit out edérivéepartiel ledefexisteetestcontinue surD onditqu efestdecl asseC 1 surDetoné critf2C 1 (D). Théorème2.4.4[Co nditionsuffisantepourladi fférentiabilité]SoientDuno uvertdeR
n ,f:D7!Retx 02D.Sifestdecl asseC
1 au voisinagedex 0 alorselleestdi fférentiableaupointx
0 Proposition2.4.1[Pl antangent]Soient Dunepart ieouvertede R 2 ,f:D7!Ret(x 0 ,y 0 )2D.Sifestdifférentiableen(x 0 ,y 0 )alors elleadmetunel inéarisationauv oisinag ede(x 0 ,y 0 ).L'équationduplanChapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables29
Figure4:Fonc tiondifférentiablef(x,y)admettantunplantangentàsongr aphe pourtoutpoi nt(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 tangentaugraphed elafonc tion{x,y,f(x,y)}en(x 0 ,y 0 )estdonnée par: t(x,y)=f(x 0 ,y 0 )+(xx 0 x f(x 0 ,y 0 )+(yy 0 y f(x 0 ,y 0 Quelleestl'équati ondu"p lan"tangentpourunefonctiondi fférentiable
enR 3 ?Et enR n2.5Dérivées d'ordressupérieurs
Siunef onctionfestdériv ableonpeutsedemandersilesdér ivées partiellessontellesmêmesdériva bles.Parexempl e,danslecas d'une fonctionf:R 27!R,on peutch ercherlesdeux dérivéespartielles(par
302.5. Dérivéesd 'ordressupérieurs
Figure5:Fonc tionnondifférentiableen(0,0).Lanonexistenced'unplantangent augrap hedelafonctionen (0,0)estflagrante.Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables31
rapportàxety)des foncti ons@ x f(x,y)et@ x f(x,y).Si lesdéri vées existent,elless'appellentd érivéespart iellesd'ordre2.Pourunefonct ionf:D7!R,DouvertdeR
n ,si toutes lesdérivées partiellespremiéressondérivab les,onan 2 dérivéespartiellesd 'ordre2: 2 f x 2 iquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] dérivée d'une fonction ? plusieurs variables
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