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Si F a des composantes de classe C1 alors elles sont différentiables et F est également différentiable. Exercice. (i) Trouver la matrice jacobienne de F en (1
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Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay
1 2 Di?´erentiabilit´e d’une fonction de deux variables D´e?nition 1 2 Soit f une fonction de deux variables d´e?nie au voisinage de (00) On dit que f est di?´erentiable en (00) si elle admet un d´eveloppement limit´e a l’ordre 1 i e si on peut ´ecrire f(xy) = c+ax+by + p x2 +y2 (xy)
Fonction de deux variables
3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y
Fonctions de deux variables - unicefr
Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est not´ee f 0 y ou parfois
TD3–Di?érentiabilitédesfonctionsdeplusieursvariables Exercice1
La fonction est continue dans R2 {(00)} Pour étudier la continuité au point(00) onconsidèrelarestrictiondefàladroitey= x: f(xx) = 1 2x qui ne tend pas vers 0 = f(00) lorsque x?0 Donc la fonction n’est pas continue au point(00) •Dérivabilité Onsedemandesilafonctionadmettouteslesdérivéespartielles Si(xy) 6= (00) : ?f
23 D´erivabilit´e en plusieurs variables
2 3 D´erivabilit´e en plusieurs variables La d´eriv´ee d’une fonction lorsqu’elle existe est li´ee aux variations de la fonction tandis que l’un de ses variables parcourt une direction Pour fonctions d’une variable r´eelle la seule direction possible `a parcourir est l’axe des abscisses For fonctions de plusieurs variables
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1 2 1 fonctions de deux variables On commence par le cas de deux variables qui est plus simple du point de vue des notations : f: (x;y) 2D(f) ˆR2!R une fonction de deux variables et (x 0;y 0) 2D(f) un point de reference D efinition 2 1 On dit que fest di erentiable au point (x 0;y 0) si il existe deux nombres r eels a 1;a
Comment définir la fonction de deux variables?
La fonctionf: (x;y) !7 p 1 2(x2+y) est dé?nie sur le disque fermé de centre O et de rayon 1. Elle admet pour minimum 0, il est atteint sur le cercle de centre O de rayon 1 et pourtant les dérivées partielles ne s’annulent en aucun point du cercle. 25 M. Pelini, V. Ledda Fonction de deux variablesAnalyse 2 Exercice 12
Comment calculer la différentiabilité d’une fonction?
La di?érentiabilité d’une fonction f au point x 0correspond à l’exis- tence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point x 0. Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est la droite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tan- gent au graphe de la fonction au point (x 0,y 0).
Qu'est-ce que la différentiabilité en plusieurs variables?
2.4 Di?érentiabilité en plusieurs variables La di?érentiabilité d’une fonction f au point x 0correspond à l’exis- tence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point x
Comment calculer la fonction d'une variable?
1.la variable x en fonction de y : on obtient x = h(y) 2.ou la variable y en fonction de x : on obtient y = h(x). Dans les deux cas, h est une fonction de une variable.
Fonctions de plusieurs variables
November 1, 2004
1 Diff´erentiabilit´e
1.1 Motivation
Pour une fonction d"une variablef, d´efinie au voisinage de 0, ˆetre d´erivable en 0, c"est admettre
un d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, f(x) =b+ax+x?(x).Alorsb=f(0) eta=f?(0).
Interpr´etation g´eom´etrique. La courbe repr´esentative defposs`ede en (0,a) une tangente, la
droite d"´equationy=b+ax.On veut faire pareil pour une fonction de deux variables. La courbe repr´esentative est remplac´ee
par une surface repr´esentative d"´equationz=f(x,y), la droite tangente par un plan tangent d"´equationz=c+ax+by. La tangence s"exprime en disant que la distance entre le point (x,y,f(x,y)) de la surface et le point (x,y,c+ax+by) du plan est petite devant la distance de (x,y) `a l"origine.Exemple 1.1f(x,y) =x2+y2.
1.2 Diff´erentiabilit´e d"une fonction de deux variables
D´efinition 1.2Soitfune fonction de deux variables, d´efinie au voisinage de(0,0). On dit quefestdiff´erentiableen(0,0)si elle admet und´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, i.e. si on peut ´ecrire
f(x,y) =c+ax+by+?x2+y2?(x,y),
o`u?(x,y)tend vers 0 lorsquexetytendent vers 0. Dans ce cas,fadmet des d´eriv´ees partielles en (0,0), et c=f(0,0), a=∂f∂x (0,0),∂f∂y (0,0).La diff´erentiabilit´e defen un point quelconque(x0,y0)se traduit par le d´eveloppement limit´e
f(x0+u,y0+v) =f(x0,y0) +∂f∂x (x0,y0)u+∂f∂y (x0,y0)v+?u2+v2?(u,v),
o`u?(u,v)tend vers 0 lorsqueuetvtendent vers 0. Exemple 1.3f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable `a l"origine.En effet,
f(x,y) = 2x+y-x2-y2 = 2x+y+?x2+y2?(x,y),
1 o`u ?(x,y) =-?x 2+y2 tend vers 0 quandxetytendent vers 0.Th´eor`eme 1Soitfune fonction de deux variables d´efinie au voisinage de(0,0). Si les d´eriv´ees
partielles ∂f∂x et∂f∂y sont d´efinies au voisinage de(0,0)et continues en(0,0), alorsfest diff´erentiable en(0,0), et son d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 s"´ecrit f(x,y) =f(0,0) +∂f∂x (0,0)x+∂f∂y (0,0)y+?x2+y2?(x,y).
Exemple 1.4f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable en tout point. En effet, on n"a qu"a utiliser le th´eor`eme 1. On peut aussi calculer directement f(x0+u,y0+v) = 2x0+ 2u+y0+v-x20-2x0u-u2-y20-2y0v-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v-u2-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v+?u2+v2?(u,v).
1.3 Gradient
D´efinition 1.5Soitfune fonction de deux variables, diff´erentiable tout point d"un domaineD. Songradientest le champ de vecteurs d´efini surDpar ?f: (x,y)?→? ∂f∂x (x,y) ∂f∂y (x,y)? Exemple 1.6Le gradient de la fonction d´efinie surR2parf(x,y) =x2est le champ de vecteurs horizontal?(x,y)f=?2x 0?1.4 Interpr´etation du d´eveloppement limit´e
Proposition 1.7Sifest diff´erentiable enP, alors pour toute droitet?→P+tvpassant parP, la fonctiont?→f(P+tv)est d´erivable, et ddt f(P+tv)|t=0=?Pf·v. On verra plus loin (th´eor`eme 2) que cette formule est vraie pour toute courbe, et non seulement les droites, sous la forme ddt f(c(t)) =?c(t)f·c?(t).1.5 Lignes de niveau
D´efinition 1.8On appellelignes de niveaudefles ensembles de la formeLw={(x,y);f(x,y) = w}. Exemple 1.9Les lignes de niveau de la fonctionf(x,y) =x2+y2sont des cercles concentriques. Celles de la fonctionf(x,y) =xysont des hyperboles, `a l"exception de la ligne de niveau 0, qui est la r´eunion de deux droites. 2 Proposition 1.10Le gradient d"une fonction est un vecteur perpendiculaire aux lignes de niveau, pointant dans la direction dans laquelle la fonction augmente. Sa longueur est d"autant plus grandeque la fonction varie rapidement, i.e. que les lignes de niveau sont rapproch´ees. Le gradient indique
la direction de plus grande pente. Preuve.Soitt?→c(t) une ligne de niveau. Alorst?→f(c(t)) est constante, donc 0 = ddt f(c(t)) =?c(t)f·c?(t), ce qui montre que le gradient est orthogonal `a la tangente `a la ligne de niveau. Lorsque l"on se d´eplace dans la direction du gradient, par exemple, part?→c(t) =P+t?Pf, ddt f(c(t))|t=0=?Pf·c?(0) =? ?Pf?2>0, doncfaugmente, d"autant plus vite que? ?Pf?est grand.Soitvun vecteur unitaire. Alors
ddt f(P+tv)|t=0=?Pf·v est maximum lorsquevest colin´eaire et de mˆeme sens que?Pf, donc?Pfindique la direction de plus grande pente.1.6 G´en´eralisationDe la mˆeme fa¸con, on peut parler de d´eveloppement limit´e et de diff´erentiabilit´e pour une fonction
denvariables (remplacer?x2+y2par?x
21+···+x2n), puis pour une applicationRn→Rp.
Dans ce cas, les coefficients du d´eveloppement limit´e sont des vecteurs deRp. Exemple 1.11SoitIun intervalle deRetc:I→R2une courbe. Calculer un d´eveloppementlimit´e decen 0, c"est calculer des d´eveloppements limit´es des fonctions coordonn´eesx(t) =a0+
a1t+t?(t),y(t) =b0+b1t+t?(t), et former le d´eveloppement limit´e vectoriel
c(t) =?a0 b 0? +t?a1 b 1? +t?(t). Proposition 1.12Une applicationF= (f1,...,fp) :Rn→Rpest diff´erentiable si et seulement si chacune de ses composantes l"est.1.7 La diff´erentielle
D´efinition 1.13SoitF:= (f1,...,fp) :Rn→Rpune application diff´erentiable enP. Sa diff´erentielleenPest l"application lin´eaire deRndansRpqui apparaˆıt comme le terme nonconstant du d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 enP. Sa matrice, appel´eematrice jacobienne, a pour
coefficients les d´eriv´ees partielles, J f(P) =( ((∂f1∂x
1...∂f1∂x
n...... ∂f p∂x1...∂fp∂x
n) Exemple 1.14SiAest une matrice, alors l"application lin´eairefA:Rn→Rpqu"elle d´efinit est diff´erentiable, et sa matrice jacobienne estAen n"importe quel point. Exemple 1.15Soitf(x,y) = 2x+y-x2-y2. Sa matrice jacobienne est ?2-2x1-2y?. 3 Autrement dit, la matrice jacobienne d"une fonction, c"est son gradient vu comme un vecteur ligne.Exemple 1.16SoitF(t) =?cos(t)
sin(t)? . Sa matrice jacobienne est?-sin(t) cos(t)?Autrement dit, la matrice jacobienne d"une courbe, c"est sa d´eriv´ee vue comme un vecteur colonne.
Exemple 1.17SoitF(r,θ) = (rcos(θ),rsin(θ)). Sa matrice jacobienne est ?cos(θ)-rsin(θ) sin(θ)rcos(θ)?1.8 Matrice jacobienne d"une fonction compos´ee
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