[PDF] Théorie des Nombres et Applications

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CHAPITRE 2

Fonctions de plusieurs variables : Calcul dierentiel La condition de continuite pour une fonction de plusieurs variables est une no- tion de regularite pratique et naturelle mais elle est trop generale et recouvre un ensemble important de phenomemes tres dierents. Dasn ce chapitre on va discuter une condition de regularite plus restreinte : la dierentiabilite.

1. Dierentiabilite

La dierentiabilite generalise aux fonctions de plusieurs variables la notion deriva- bilite pour les fonctions d'une variable. Cependant pour enoncer cette generalisation il est utile de reformuler la notion de derivabilite de maniere adequate.

1.1. Rappels sur la derivabilite.Traditionellement, on dit qu'une fonction

f(x) d'une variable est derivale enx02Rsi la limite du taux d'accroissement enx0 existe :fest derivable enx0si et seulement si lim x!x0x6=x0f(x)f(x0)xx0 existe; on appelle alors cette limitela deriveedefenx0et on la notef0(x0) On montre alors que sifest derivable enx0alors elee est continue, ainsi la notion de derivabilite est un notion de regularite plus forte que la continuite. Pour passer aux fonctions de plusieurs variables, il sera commode de formuler la derivabiiltee sous une forme equivalente : l'expression (1.1) lim x!x0x6=x0f(x)f(x0 )xx0=f0(x0) est equivalente

1a l'identite

f(x) =f(x0) +f0(x0)(xx0) + (xx0)"(xx0); avec"(h)!0 quandh!0:En particulier, cette formulation montre immediatement quefest continue enx0; elle s'interprete en disant quequandxest proche dex0la fonctionf(x)est bien approximee par la fonction ane x7!f(x0) +f0(x0)(xx0):1. le verier! 15

16 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFF

ERENTIEL

Remarque1.1.On a vu que la continuite (enx0)

f(x) =f(x0) +"1(xx0)avec"1(h)!0 quandh!0: s'interprete en disant quequandxest proche dex0f(x)est approximee par la fonction constantex7!f(x0). La derivabilite implique la continuite car la fonction h7!f0(x0)h+h"(h) tend bien vers 0 quandhtend vers 0 cependant la derivabilite dit plus car pour la continuite, l'erreur d'approximation par une fonction constante est simplement une fonction"1(h) qui tend vers 0 enh= 0, alrs que pour la derivabilite l'erreur d'approximation par une fonction ane est une fonction de la formeh"(h) qui tend vers 0 enh= 0 maisa priori plus vitepuisque produit de deux fonction qui tendent vers 0 :"(h) et la fonctionh. On parle pour la continuite d'approximation a l'ordre 0 et pour la derivabilite d'approximation a l'ordre 1.

1.2. Denition de la dierentiabilite.

1.2.1.fonctions de deux variables.On commence par le cas de deux variables qui

est plus simple du point de vue des notations : f: (x;y)2D(f)R2!R une fonction de deux variables et (x0;y0)2D(f) un point de reference. D efinition2.1.On dit quefest dierentiable au point(x0;y0)si il existe deux nombres reels,a1;a22R, une fonction":R2!Rveriant "(u;v)!0quand(u;v)!(0;0) et telle qu'on ait l'egalite (k:kdesigne une norme quelconque) f(x;y) =f(x0;y0) +a1(xx0) +a2(yy0) +k(xx0;yy0)k"(xx0;yy0):

Alternativement, posant

(u;v) = (xx0;yy0); fest dierentiable au point(x0;y0)si on a l'egalite f(x0+u;y0+v) =f(x0;y0) +a1u+a2v+k(u;v)k"(u;v): On dit que la fonctionf(x;y)est dierentiable surD(f)R2si elle est dierentiable en tout point(x0;y0)deD(f). Remarque1.2.En d'autres terms une fonction est dierentiable si quand (x;y) est proche de (x0;y0) la fonction est bien approximable par la fonction ane (x;y)7!f(x0;y0) +a1(xx0) +a2(yy0) =a1u+a2v le term d'erreur de cette approximation etant de la formek(xx0;yy0)k"(x x

0;yy0) =k(u;v)k"(u;v) qui tend "tres vite" vers 0 puisquek(xx0;yy0) tend

vers 0 etk"(xx0;yy0) tend vers 0 : On parle d'approximation a l'ordre 1. Notons egalement que comme la fonction (u;v)7!a1u+a2v!0;(u;v)!(0;0)

1. DIFF

ERENTIABILITE 17

on a f(x;y) =f(x0;y0) +"1(xx0;yy0); "1(u;v) =a1u+a2v+k(u;v)k"(u;v); la fonctionfest donc continue en (x0;y0).

1.2.2.Denition dans le cas general.Dans le cas d'un fonction de plusieurs va-

riables generale on repete la denition avec des notations dierentes. Soitn>1 et une fonction denvariables f:~x= (x1;:::;xn)2D(f)Rn7!f(~x)2R D efinition2.2.On dit quefest dierentiable en~x0= (x0;1;:::;x0;n)2D(f), si il existe~a= (a1;:::;an)2Rnet une fonction"(~h)qui tend vers0quand~h!~0 tel que on ait (1.2)f(~x) =f(~x0) +a1(x1x0;1) ++an(xnx0;n) +k~x~x0k"(~x~x0):

De maniere equivalente en ecrivant~x=~x0+~h

f(~x0+~h) =f(~x0) +a1h1++anhn+k~hk"(~h): On voit que pourn= 1 cette denition n'est autre que celle de la derivabilite avec a

1=f0(x0).

De plus sifest dierentiable en~x0alors elle est continue au m^eme point : est eet, consideront la fonction

1:~h= (h1;:::;hn)7!a1h1++anhn+k~hk"(~h);

alors"1(~h) tend vers 0 quand~h!0 et on af(~x) =f(~x0) +"1(~x~x0).

1.2.3.Notation sous forme de produit scalaire.On peut ecrire la dierentiabilite

de maniere plus compacte en terme de produit scalaire : si ~x= (x1;;xn) et~y= (y1;;yn) sont des vecteurs deRn, leur produit scalaire est donne par et note ~x:~y=x1y1++xnyn:

Posant alors~a= (a1;;an) on a

a

1(x1x0;1) ++an(xnx0;n) =~a:(~x~x0)

et donc f(~x) =f(~x0) +~a:(~x~x0) +k~x~x0k"(~x~x0) ou encore f(~x0+~h) =f(~x0) +~a:~h+k~hk"(~h):

18 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFF

ERENTIEL

1.3. Dierentielle; derivees partielles.Soitfune fonction dierentiable en

~x

0, alors les coecientsa1;:::;an(ou ce qui revient au m^eme le vecteur~a) est denit

de maniere unique : soiti= 1:::n, denissons la fonction d'une variable f i:x7!f(x0;1;:::;x;:::;x0;n) ou la variablexest placee a lai-ieme coordonnee : on a en particulier f i(x0;i) =f(x0;1;:::;x0;i;:::;x0;n) =f(~x0) et on voit par ( 1.2 f i(x) =fi(x0;i) +a1:0 ++ai:(xx0;i) ++an:0 =fi(x0;i) +ai:(xx0;i) +jxx0;ij"i(xx0;i) en posant i(h) ="((0;:::;h;:::;0)): Cette fonction tend vers 0 quandhtend vers 0 et donc la fonctionx7!fi(x) est une fonction derivable enx0;ide derivee f

0i(x0;i) =ai:

En d'autres termes le coecientaiest la derivee au pointx0;ide la fonction d'une variable obtenue a partir def(x1;:::;xi;:::;xn) en xant toutes les coordonneesxj pourj6=ia la valeurx0;jet en replacant lai-ieme coordonnee parx. D efinition2.3.Le coecientai(ie la deriveee defi(x)enx0;i) s'appelle la derivee partielle defdans la directionxiau point~x0et on la note a i=f0i(x0;i) =@f@x i(~x0): Exemple1.3.1.Soitf(x;y) =x2y+xy3+2xy; on va voir que cette fonction est dierentiable en tout point (x0;y0) deR2. calculons ses derivees partielles @f@x (x0;y0);@f@y (x0;y0):

Pour calculer

@f@x (x0;y0), on derive suivantxen consideranty0comme une constante et on evalue le resultat enx0: on regarde la derivee enx0de la fonction x7!f(x;y0) =x2y0+xy30+ 2xy0:

Cette derivee vaut

(x7!f(x;y0) =x2y0+xy30+ 2xy0)0= 2xy0+y30+ 2y0 et donc@f@x (x0;y0) = 2x0y0+y30+ 2y0: De m^eme pour la derivee enyon considere la derivee eny (x7!f(x0;y) =x20y+x0y3+ 2x0y)0=x20+ 3x0y2+ 2x0

1. DIFF

ERENTIABILITE 19

et donc @f@y (x0;y0) =x20+ 3x0y20+ 2x0:

1.3.2.Regles de dierentiation.On dispose comme pour les fonctions d'une va-

riable des criteres suivants pour determiner si une fonction est dierentiable : (1) Le sfo nctionsc onstanteset l esfon ctionsco ordonnees x i:~x= (x1;:::;xn)7!xi sont dierentiables surRn; les derivees partielles des fonctions constantes sont nulles et @x i@x j(~x) =( 1i=j

0i6=j:

(2) S ommes,p roduits: S if;g:Rn7!Rsont dierentiables en~x0alorsf+get fgsont dierentiables en~x0. (3)

Qu otients: S id ep lusg(~x0)6= 0 alorsfg

est dierentiable en~x0. (4) Com position: S if:Rn7!Rdierentiable en~x0et':R7!Rest derivable (il sut en fait qu'elle soit derivable au pointf(~x0)) alors 'f:~x7!'(f(~x)) est dierentiable en~x0. On a alors les valeurs suivants pour les derivees partielles : pour toutj= 1:::n (1) @f+g@x j(~x0) =@f@x j(~x0) +@g@x j(~x0): (2) @fg@x j(~x0) =@f@x j(~x0)g(~x0) +f(~x0)@g@x j(~x0): (3) @f=g@x j(~x0) =1g(~x0)2(@f@x j(~x0)g(~x0)f(~x0)@g@x j(~x0)): (4) @'f@x j(~x0) ='0(f(~x0))@f@x j(~x0):

20 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFF

ERENTIELFigure 1.f(x;y) =x2y=(x2+y2)

1.4. Dierentiabilite et derivees partielles : ATTENTION!.Comme on

vient de la voir la dierentiabilite d'une fonctionf:D(f)Rn!Ren~x0implique l'existence des derivees partielles en ce point @f@x j(~x0) = limxj!x0;jf j(xj)f(~x0)x jx0;j; j= 1:::n: ATTENTION la reciproque n'est PAS vraie : par exemple la fonction f(x;y) =x2yx

2+y2;(x;y)6= (0;0); f(0;0) = 0

est dierentiable surR2f(0;0)gmais en (0;0) elle n'est pas dierentiable bien que ses deux derivees partielles existent en (0;0) @f@x (0;0) = limx!0f(x;0)f(0;0)x = 0;@f@y (0;0) = limy!0f(0;y)f(0;0)y = 0: Supposons cette fonction dierentiable en (0;0), on aura alors pour (x;y) proche de (0;0) f(x;y) =f(0;0) +@f@x (0;0)x+@f@y (0;0)y+k(x;y)k"(x;y) =k(x;y)k"(x;y):

Prenons (x;y) = (x;x) et calculons

lim x!0f(x;x)f(0;0)x D'apres la derniere egalite cela vaut (k(x;y)k=jxjk(1;1)k) lim x!0jxj"(x;x)x = 0:

1. DIFF

ERENTIABILITE 21

D'autre part

f(x;x)f(0;0)x =1x x2xx

2+x2=12

contradiction. On a cependant le resultat plus positif suivant en faisant un hypothese de regularite des derivees partielles : Th eoreme2.1.Soitf:D(f)Rn!Rune fonction denvariables. On suppose que en tout point~x0deD(f)les derivees partielles @f@x j(~x0) = limxj!x0;jf j(xj)f(~x0)x jx0;j; j= 1:::n existent et que les fonctions @f@x j:~x0!@f@x j(~x0) sont continues en~x0, alorsfest dierentiable surD(f).

1.5. Dierentielle; Gradient.Le vecteur des derivees partielles

~a= (a1;:::;an) = (@f@x

1(~x0);:::;@f@x

n(~x0)) est appelele gradientdefau point~x0et est note r(f)(~x0) = (@f@x

1(~x0);:::;@f@x

n(~x0)):

On trouve aussi comme notation du gradient

!Grad(f)(~x0):

Ladierentielledefen~x0est la fonction surRn

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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